кйллавлдДь оЦСЦкДсаь еазалнЦклнЗй йЕкДбйЗДзаь а зДмда

оЙЕйм Зий ныеЦзлдав ЙйлмСДклнЗЦззхв мзаЗЦкланЦн

азлнанмн СалнДзсайззйЙй йЕкДбйЗДзаь азлнанмн еДнЦеДнада а дйеиъынЦкзхп зДмд

З. З. еДумгал

ЗхлтДь еДнЦеДнадД

ì˜Â·ÌÓ ÔÓÒÓ·ËÂ

5-В ЛБ‰‡МЛВ, ФВрВр‡·УЪ‡ММУВ Л ‰УФУОМВММУВ

í˛ÏÂ̸ àÁ‰‡ÚÂθÒÚ‚Ó

н˛ПВМТНУ„У „УТЫ‰‡рТЪ‚ВММУ„У ЫМЛ‚ВрТЛЪВЪ‡

2014

УДК 51(075.8)

ББК В11я73

М379

В. В. Мачулис. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА: учебное пособие. 5-е изд., перераб. и доп. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2014. 304 с.

Доступно изложены ключевые понятия и методы дискретной математики, основы анализа и теории вероятности. Включает в себя курс лекций, практикум, задания для контроля, содержит все основные разделы курса.

Предназначено для студентов гуманитарных направлений всех форм обучения.

Рабочая программа размещена на сайте Университета http://utmn.ru/ и в разделе web-кабинета информационной системы Института дистанционного образования: https://iside.distance.ru «Учебно-методическое обеспечение».

Рекомендовано к печати Учебно-методической комиссией Института математики и компьютерных наук ТюмГУ, кафедрой математического моделирования ИМиКН ТюмГУ.

Рецензенты: А. В. Татосов, д-р физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой математического моделирования ТюмГУ А. Г. Обухов, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры «Высшая математика» ТюмГНГУ

Ответственный за выпуск: А. В. Трофимова, зав. отделом учебно-методических ресур-

сов ИДО ТюмГУ

ISBN 978-5-400-01005-7

©ФГБОУВПОТюменскийгосударственныйуниверситет, 2014

©В. В. Мачулис, 2014

—2 —

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.............................................................................................	6
Раздел I. ВВЕДЕНИЕ В ДИСКРЕТНУЮ МАТЕМАТИКУ.....................	7
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫТЕОРИИМНОЖЕСТВ..............................................	7
§ 1. Понятие множества..............................................................................	7
§ 2. Операции над множествами ................................................................	9
§ 3. Эквивалентность множеств. Счетные и несчетные множества......	12
ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ ...........................................................	16
§ 1. Высказывания и высказывательные формы.....................................	16
§ 2. Виды высказываний...........................................................................	17
§ 3. Логические операции.........................................................................	19
§ 4. Формулы и функции логики высказываний.....................................	23
§ 5. Равносильные формулы.....................................................................	25
§ 6. Тождественно истинные формулы....................................................	27
§ 7. Анализ рассуждений. Правило вывода.............................................	30
§ 8. Некоторые правила вывода................................................................	32
§ 9. Общее определение логического следования..................................	35
§ 10. Теорема дедукции.............................................................................	37
§ 11. Недостаточность логики высказываний.........................................	39
§ 12. Понятие о предикате ........................................................................	41
§ 13. Кванторы...........................................................................................	46
§ 14. Формулы логики предикатов...........................................................	49
§ 15. Предикат равенства..........................................................................	51
§ 16. Равносильные формулы...................................................................	53
§ 17. Общезначимые формулы.................................................................	57
§ 18. Простейшие правила вывода на языке логики предикатов ..........	59
ГЛАВА 3. МАТРИЦЫ..........................................................................................	63
§ 1. Матрицы и действия над ними..........................................................	63
§ 2. Определитель квадратной матрицы. Обращение матриц...............	70
§ 3. Системы линейных алгебраических уравнений...............................	78
§ 4. Матричный метод решения систем линейных
алгебраических уравнений........................................................................	82
§ 5. Ранг матрицы ......................................................................................	85
ГЛАВА 4. ОТНОШЕНИЯ......................................................................................	87
§ 1. Понятие отношения............................................................................	88
§ 2. Операции над отношениями..............................................................	91

— 3 —

§ 3. Алгебраические свойства операций..................................................	97
§ 4. Свойства отношений........................................................................	100
§ 5. Отношение эквивалентности...........................................................	103
§ 6. Свойства эквивалентности...............................................................	105
§ 7. Отношение толерантности...............................................................	107
§ 8. Отношение порядка..........................................................................	111
РЕЗЮМЕ...........................................................................................................	115
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ......................................................................	115
Раздел II. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ...........................................................	116
ГЛАВА 1. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ.............................................................	116
§ 1. Числовые последовательности........................................................	116
§ 2. Предел числовой последовательности............................................	117
§ 3. Предел функции................................................................................	119
§ 4. Простейшие приемы вычисления пределов...................................	121
§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции .....................	122
§ 6. Непрерывность функции..................................................................	125
ГЛАВА 2. ПРОИЗВОДНАЯ.................................................................................	127
§ 1. Определениепроизводнойиправиладифференцирования..............	127
§ 2. Дифференциал ..................................................................................	130
§ 3. Производные и дифференциалы порядка выше первого..............	131
§ 4. Применение производных к исследованию функций ...................	132
§ 5. Функции многих переменных. Частные производные
и полный дифференциал.........................................................................	136
§ 6. Экстремумы функций многих переменных ...................................	138
ГЛАВА 3. ИНТЕГРАЛ........................................................................................	142
§ 1. Неопределенный интеграл...............................................................	142
§ 2. Методы интегрирования..................................................................	145
§ 3. Определенный интеграл...................................................................	147
§ 4. Приложения определенного интеграла ..........................................	150
§ 5. Несобственные интегралы...............................................................	152
ГЛАВА 4. ПОНЯТИЕ О ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ...............................	155
§ 1. Предварительные замечания ...........................................................	155
§ 2. Линейное программирование. Общие понятия и примеры..........	159
§ 3. Геометрический способ решения задачи
линейного программирования................................................................	162
§ 4. Общая задача линейного программирования.................................	164
§ 5. Симплексный метод.........................................................................	166

— 4 —

§ 6. Метод искусственного базиса .........................................................	174
§ 7. Двойственные задачи линейного программирования...................	177
§ 8. Геометрическая интерпретация двойственных задач....................	179
§ 9. Двойственный симплекс-метод.......................................................	181
РЕЗЮМЕ...........................................................................................................	183
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ......................................................................	183
Раздел III. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ........................	184
§ 1. Некоторые формулы комбинаторики.............................................	184
§ 2. Биномиальная формула Ньютона....................................................	187
§ 3. Основные понятия теории вероятностей........................................	189
§ 4. Пространство элементарных событий............................................	191
§ 5. Случайные события и действия над ними......................................	192
§ 6. Алгебра событий. Аксиомы теории вероятностей ........................	197
§ 7. Свойства вероятностей. Полная группа событий..........................	200
§ 8. Условная вероятность......................................................................	202
§ 9. Формула полной вероятности и формула Байеса..........................	206
§ 10. Повторение опытов.........................................................................	208
РЕЗЮМЕ...........................................................................................................	211
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ......................................................................	211
ЗАКЛЮЧЕНИЕ...........................................................................................	212
ПРАКТИКУМ..............................................................................................	213
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.......................................................	276
ТЕСТЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ...........................................................................	276
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ..............................................................	296
ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ (ЭКЗАМЕНУ)....................................................................	300
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.........................................................................	302

— 5 —

икЦСалгйЗаЦ

Математику сегодня следует рассматривать как одну из важнейших общеобразовательных дисциплин в подготовке студентагуманитария. Это объясняется не только тем, что математические методы служат мощным средством решения многих прикладных задач, но и тем, что они составляют одну из главных частей общей культуры человека.

Впрочем, для юриста значение математики этим не исчерпывается. В юриспруденции используются те же методы рассуждений, что и в математике, цель которых — выявить истину. Изучая математику, будущий правовед формирует свое профессиональное мышление, так как учится применять индуктивный и дедуктивный методы, рассуждать логически.

Курс математики служит цели развития мышления, в особенности абстрактного. При этом развиваются такие качества мышления как гибкость, сила, конструктивность и критичность. Для гуманитария важно не столько знать конкретные математические факты, определения и теоремы, сколько использовать математические методы в своей профессиональной деятельности.

— 6 —

к‡Б‰ВО I. ЗЗЦСЦзаЦ З СалдкЦнзмы еДнЦеДнадм

ÉãÄÇÄ 1. щгЦеЦзнх нЦйкаа езйЬЦлнЗ

§ 1. Понятие множества

Теория множеств, созданная около 100 лет назад немецким математиком Георгом Кантором, занимается исследованием общих свойств множеств, не зависящих от природы элементов, образующих эти множества.

Понятие множества является одним из первичных понятий математики. Согласно канторовскому определению, множество есть

любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое.

Это определение не накладывает никаких ограничений на природу элементов множества, что предоставляет нам значительную свободу. В частности допустимо рассматривать множества, элементы которых по той или иной причине нельзя точно указать (например, множество простых чисел или множество всех ворон, сидящих на проводах в данный момент времени). Из определения следует, что множество считается заданным, если можно утверждать, принадлежит ли ему данный объект (элемент) или нет.

Примеры. Множество страниц учебника. Множество целых чисел. Множество обезьян в московском зоопарке. Множество корней данного уравнения и т. п.

Множества мы будем обозначать большими буквами латинского алфавита A, B, C... Запись

A = {a, b, c}

означает, что множество A состоит из трех элементов (букв) a, b, c. Конечно не всегда можно (и нужно) записывать все элементы некоторого множества, в этих случаях в скобках указывают характеристическое свойство его элементов. Например, запись

— 7 —

B = { x: x — число, кратное 3}

означает, что элементами множества B служат числа, кратные трем. Существуют и специальные символы для обозначения некоторых важных множеств.

Для успешного изучения всех множеств договоримся, прежде всего, различать множества конечные и бесконечные.

Множество называется конечным, если количество его элементов может быть выражено некоторым числом.

Притом неважно, известно это число или нет, важен лишь факт его существования (множество всех ворон).

Может оказаться и так, что во множестве нет ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается .

Кроме конечных множеств существуют и бесконечные, т. е. такие, у которых количество элементов нельзя выразить числом (множество всех точек прямой, множество всех треугольников и т. п.).

Если элемент x входит во множество A, то это записывают так: x A .

Значок переводится на русский язык как «принадлежит». Если x не входит в A, то мы пишем

x A.

В том случае, когда все элементы множества A являются одновременно и элементами множества B, т. е. принадлежат множеству B, употребляются знаки включения

A B и A B.

Разница между и заключается в том, что знак предполагает возможное совпадение A и B.

Если A B или A B, то множество A называется частью или подмножеством множества B.

Для любого множества B справедливы включения:

B B и B.

— 8 —

Сами множества B и называются несобственными подмножествами множества B. Все остальные подмножества B называ-

ются его собственными подмножествами.

Примеры. Множество натуральных чисел N есть подмножество множества Z целых чисел. Множество студентов A психологического факультета ТГУ есть несобственное подмножество множества B студентов психологического факультета ТГУ A B (в данном случае, разумеется, A = B). Множество A действительных корней некоторого алгебраического уравнения есть подмножество множества B всех его корней A B (знак показывает, что A может совпадать с B). Множество A может быть и пустым.

Если A B и B A, то говорят, что множества A и B равны (совпадают) и пишут A = B.

§ 2. Операции над множествами

Операции над множествами, а также различные отношения между ними удобно иллюстрировать графически. Для этого используются так называемые диаграммы Венна (иначе круги Эйлера).

Каждое множество изображается в виде
круга или какой-либо другой простой
области. Если два множества имеют общие
элементы, не совпадают и ни одно из них не
является частью другого, то круги
располагаются так, как показано, например,
на рис. 1. Такое расположение двух кругов
называется стандартным.	Рис. 1
Теперь сформулируем определения.

Объединением (суммой) множеств A и B называется множество C = A B, состоящее только из тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A или B.

Множества A и B могут при этом иметь общие элементы или не иметь их. Общие для A и B элементы входят в A B только один

— 9 —

раз. Объединение множеств A и B изображено на рис. 1 («гантель»).

Примеры. Множество целых чисел есть объединение множества A четных чисел, множества B нечетных чисел и множества C простых чисел. Множество точек отрезка [0; 2] есть объединение точек отрезков [0; x] и [x; 2], где 0 < x < 2.

Разностью множеств A и B называется множество C = A – B, содержащее только те элементы множества A, которые не входят в B.

Очевидно, что A – A = . Разность множества A и множества B показана на рис. 2 («серп»).

Примеры. Множество натуральных чисел есть разность множества целых чисел и множества неположительных целых чисел.

Если R — множество действительных чисел, а Q — множество рациональных чисел, то:

1)R – Q — множество иррациональных чисел;

2)Q – R — пустое множество.

Пересечением множеств A и B называется множество C = A ∩ B, состоящее только из тех элементов, которые одновременно принадлежат как множеству A, так и множеству B.

Пересечение двух множеств графически изображается в виде «лунки» (рис. 3).

Рис. 2

Рис. 3

Из определения следует, что A ∩ A = A, и A ∩ B = A, если

A B.

Операции разности и пересечения множеств связаны соотношением

— 10 —

A – B = A – (A ∩ B)

(1.2.1)

(проверьте это равенство с помощью диаграмм).

Примеры. Пересечение множества прямоугольников и множества ромбов есть множество квадратов.

Пересечение множества чисел отрезка [0; 2] и чисел отрезка [2; 4] есть множество {2} (содержит один элемент — число 2).

Симметрической разностью двух множеств A и B называется объединение разностей A – B и B – A, т. е.

A ∆ B = (A – B) (B – A).

Два темных «серпа» на рис. 4 — графическая иллюстрация симметрической разности.

Очевидно, что A ∆ B = (A B) – (A ∩ B).

Обычно все рассматриваемые в ходе какого-либо рассуждения множества являются подмножествами некоторого множества U, которое называют универсальным. Например, для числовых множеств универсальным является R, для точечных множеств на плоскости — множество точек всей плоскости и т. д. На диаграммах Венна универсальное множество U изображается прямоугольником, а все его подмножества — кругами, расположенными внутри этого прямоугольника.

Дополнением множества A (до универсального) называется разность U – A, т. е.

¬A=U −A .

Часть прямоугольника, расположенная за пределами круга A («кусок сыра»), изображает дополнение A до U (или просто дополнение A).

Рис. 4

Рис. 5

— 11 —