Лекция по электростатике

Из соображений симметрии цилиндра радиуса R следует, что линии напряженности направлены по радиусам круговых сечений цилиндра во все стороны.

В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса r и высотой h. Поток вектора напряженности сквозь

торцы цилиндра равен нулю, так как торцы параллельны линиям напряженности E .
Поток через боковую поверхность: Фбок En dS E 2 r h .
Sбок
По теореме Гаусса: E 2 rh				1		h . Отсюда E				1	.
										2 0
			0								r
Если r<R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не
содержит, поэтому напряженность поля внутри цилиндра
Е=0.
	Eцилвне	1					,	при r R ,
		2 0
					r
								Eцилвнутри 0		при
r <R.

8.6. Поле равномерно заряженного с поверхностной плотностью

бесконечного цилиндра.

Рассуждения проводятся аналогично предыдущему случаю.

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность радиуса r R :

ФЕ En dS	En dS 2 En dS En dS E 2 r h .
S	Sбок					Sосн		Sбок
По теореме Гаусса: E 2 rh				q			1	2 Rh . Отсюда напряженность поля
							0
				0
цилиндра:
	Ецилвне		1 R					при r R .
		0 r
§ 9. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля.
Установленная связь	между		напряженностью поля E и потенциалом

позволяет по известной напряженности поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.

;

2

d Er dr ;

1 2

Er dr

E ; Er

.

r

1

9.1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Пусть точки находятся на расстояниях x1

и х2

от плоскости. Известно, что

напряженность поля заряженной плоскости: E

.

2 0

x

x

x

1

2 2 Ex dx 2 Edx 2

dx

x2 x1 .

2

0

2

0

x1

x1

x1

11

9.2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей.

Пусть расстояние между плоскостями d. Напряженность поля между плоскостями:

E .0

		2	d	d
	1 2	Er dr Edr				dr		d .
					0		0
		1	0	0

9.3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

R

1

Рассмотрим обе точки вне сферы: r >R и r

>R. Напряженность: E

1

q

.

1

2

4 0

r 2

2

r2

r2

q

dr

q

1

1

Er dr Edr

1 2

.

4

0 r

2

4

r

r

1

r1

r1

0

1

2

Если

принять

r1 R; r2

, то

потенциал

на

поверхности

сферы:

1

q

.

4 0

R

Тогда потенциал вне сферы:

сферывне

1

q

.

4 0

r

Если

выбрать

пространство

внутри

сферы,

то

напряженность

Е 0 ,

2

R .

внутри поверхност ь

1

q

.

сферы

сферы

4 0 R

9.4. Поле объемно заряженного шара.
Вне шара r R, подобно примеру 9.3 напряженность: E вне																																		1		q	,
																																шара		4 0		r 2
										q																1
			1 2															1										.
								4																	r
												0				r
																1										2
Внутри шара	r R, r		R :	E внутри												1								q				r , разность потенциалов между
	1	2		шара										4 0									R3
двумя точками:
		r		r			1			q																		q			r22		.
1 2		2	Edr 2													rdr																r12
																								8 0 R3
		r		r 4 0 R3
		1		1
9.5. Поле равномерно заряженного с линейной плотностью
бесконечного цилиндра
Вне цилиндра r R, r R :			E вне				1		,
1	2		цил			2 0				r
						r						dr																	r2
		1	2 2																									ln		.
							2												2
						r1			0				r													0			r
																													1

12