2012_phys_lp

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

151

4.Снова накачайте в баллон воздух, доведя показания манометра до 200 делений в состоянии равновесия. Повторите измерения по пунктам 2 и 3 при t = 3 ñ.

5.Повторите измерения для всех t , указанных в табл.20.1. Следите за тем, чтобы начальное давление в каждом опыте было одним и тем же. Все результаты измерений занесите в таблицу 20.1.

Обработка результатов измерений

	1.	Рассчитайте	′′
			ln n2 .	′′	= f (t) (рис.20.3). В среднем
	2.	По данным измерений постройте график
				ln n2

по точкам проведите прямую, аппроксимируя её до пересечения с осью ординат.

Рис. 20.3

3. Найдите точку y пересечения графика с осью ординат: это y = ln n2 .

4. Определите n2 = e y . По формуле (20.15) вычислите величину g.

	γ =		n1	.	(20.15)
		n1	- n2

5. Оцените абсолютную и относительную погрешность g.

	Dγ =		¶γ	2		¶γ		2
			¶n			¶n
				× Dn1	+		2	× Dn2 .
			1

6. Запишите все результаты в таблицу 20.2.

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

152

Таблица 20.1.

t , с

2

3

4

5

6

7

8

′′

, дел.

n2

′′

ln n2

Таблица 20.2

y

n2

= e y , дел.

n1, дел.

γ

γ

γ

γ

200

Контрольные вопросы

1.Запишите первое начало термодинамики для изохорного, изотермического и адиабатического процессов.

2.Почему теплоемкость газа зависит от способов и условий нагревания?

3.Какая физическая величина в первом начале термодинамики не зависит от характера процесса?

4.Почему СP больше СV ? Получите соотношение Майера.

5.Какой процесс называется адиабатическим? Как связаны параметры состояния идеального газа при адиабатическом процессе?

6.Объясните, каким образом и почему меняется температура газа в баллоне.

7.	Нарисуйте на p − V – диаграмме все процессы, происходящие с газом в
	этом опыте.
8.	Получите рабочую формулу (20.15) для определения γ .
9.	′′	= f (t) ?
	Объясните, почему необходимо измерять зависимость ln n2

Используемая литература

[2] §83, 88; [3] §9.1-9.6; [7] §55; [4] §34; [5] §34.1-34.4; [10] §10.10; [11] §31-33.

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

153

Лабораторная работа 1-21

Определение отношения теплоемкостей CP акустическим методом

CV

Цель работы: изучение распространения звуковых волн в газах, определение адиабатической постоянной воздуха.

Теоретическое введение

Термодинамические соотношения, определяющие величины теплоёмкостей при постоянном давлении (CP ) и при постоянном объёме ( CV ), приведе-

ны в работе 1-20 “ Определение отношения теплоемкостей для воздуха методом

адиабатического расширения”. Там же отмечено, что отношение CP = γ опре-

CV

деляет скорость распространения звука в газах. Поэтому, измеряя величину скорости звука в газе, можно определить значение адиабатической постоянной

γ .

Рассмотрим, чем определяется скорость звуковых волн в газе и как она зависит от температуры. Звуковыми или акустическими волнами называют упругие волны малой интенсивности, т.е. слабые механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде. В сплошной среде любую малую деформацию можно представить в виде элементарных деформаций растяжения (сжатия) и сдвига. Поэтому упругие свойства изотропных твердых тел вполне определяются двумя упругими константами – модулем Юнга E (растяжение, сжатие) и модулем сдвига G (чистый сдвиг). И, соответственно, в твердых телах могут распространяться продольные волны (волны сжатия, растяжения) и поперечные волны (волны сдвига).

Что же касается газов, то они, в отличие от твердых тел, способны как угодно изменить свою форму под действием сколь угодно малых сил. Лишь для изменения самого объема газа, как и для твердых тел, необходимы конечные внешние силы. Т.е. газы ведут себя как упругие тела только в отношении изменения объема. Из двух элементарных деформаций – растяжения (сжатия) и сдвига – только первая связана с изменением объема. Поэтому только в отношении деформации растяжения и сжатия газы ведут себя как упругие тела. Однако и в отношении этой деформации есть существенное различие в поведении газов от твердых тел. Твердое тело можно растянуть или сжать в каком– либо одном направлении. Его можно также сжать во всех направлениях, т.е. подвергнуть всестороннему сжатию или растяжению. В газах же имеем дело только со всесторонним сжатием (только деформации сжатия). Какой бы объем ни занимала дан-

Вологодский государственный технический университет

Рис. 21.1

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

154

ная масса газа, газ всегда оказывается сжатым, так как в отсутствие внешних сил объем газа будет увеличиваться беспредельно. Итак, газы ведут себя как упругие тела только в отношении деформации всестороннего сжатия.

Давление в газе зависит от степени его сжатия. Так же, как и в твердых телах, связь между давлением (напряжением) и сжатием (деформацией) определяется упругими свойствами тела. Упругие свойства газа характеризуются объемной упругостью (сжимаемостью), то есть соотношением между изменением объема (плотности) данной массы газа и изменениями давления в нем. Объемная упругость жидкостей и газов количественно может быть охарактеризована отношением действующего давления к величине относительного изменения объема, которое этим давлением вызвано.

Пусть объём газа при некотором давлении равен V и при изменении дав-

ления на Dp он изменится на DV .	Следовательно, относительное изменение
объёма есть DV /V , а коэффициент сжимаемости K определяют как:
K = −	V /V = −				1			V	(21.1)
								p
	p			V
Обратная величина называется модулем сжатия:
K =	1	= −V				p			(21.2)
1	K				V
Знак минус взят затем, чтобы	K было положительно ( DV и								Dp всегда
противоположны по знаку).
Если выразить (21.2) через плотность ρ ( m = ρ ×V ), то получим:
K1 = ρ				p					(21.3)
				ρ
Найдем теперь, как связана скорость звуковых
волн в газе с его упругими свойствами –									с модулем

сжатия. Звуковая волна в газе представляет собой последовательные чередующиеся области сжатия и разрежения, распространяющиеся со скоростью, зависящей от упругих свойств газа.

Как может возникнуть область сжатия в газе? Представим себе пластину очень больших раз-

меров, помещённую в газ (АА на рис.21.1), которой в некоторый момент времени сообщают быстрое перемещение со скоростью u вдоль нормали к ней. В

прилегающем слое газа возникнет сжатие и вследствие этого повышение давления. Это давление вызовет движение следующего слоя газа и т.д., то есть

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

155

возмущение будет передаваться от слоя к слою. Возмущение за время Dt распространится до линии ВВ на расстояние l =υ × Dt , где υ – скорость распространения упругой волны, и охватит область среды объёмом V = Sυ × Dt ( S – площадь пластины) с массой Dm = ρ ×V = ρ × Sυ × Dt .

В возмущённой области всё вещество в любой момент времени движется с постоянной скоростью u . Следовательно, изменение импульса возмущённой области равно D(m × v) = Dm ×u = ρ × Sυ × Dt ×u . По второму закону Ньютона из-

менение импульса за время			Dt равно	импульсу действующей силы:
D(m × v) = F × Dt . Таким образом,		сила, действующая на площадку слева, равна
F = ρ × Sυ ×u , а увеличение давления, вызванное этой силой,
Dp =	F		= ρ ×υ ×u .	(21.4)
	S
Распространение возмущения в газе связано с увеличением его плотности
в возмущённой области на Dρ = ρ - ρ0 ( ρ –				плотность газа в области сжатия,

ρ0 – плотность недеформированного газа). Относительное изменение плотно-

сти в возмущённой области объёмом V = Sυ × Dt равно относительному изменению объёма при смещении пластины на Dl = u × Dt :

Dρ DV				S × Dl				S ×υ × Dl	υ
ρ = V		=					=		= u .	(21.5)
					S ×l			S ×u ×l
Из (21.4) и (21.5) получим		p			=υ 2 , или
	Dρ
	υ =					Dp	.			(21.6)
						Dρ

Таким образом, скорость распространения области сжатия в газе определяется тем, как изменяется его плотность при изменении давления.

Чтобы получить теперь окончательное выражение для скорости звука в газе, необходимо принять во внимание, что упругие свойства газов зависят от температуры. При быстром сжатии газа выделяется теплота, которая не успевает распространиться в соседние объёмы. Сжатие газа без отвода теплоты – это адиабатический процесс. При адиабатическом изменении состояния газа вместо закона Бойля-Мариотта, который справедлив при неизменной температуре (изотермическое сжатие), связь между объёмом и давлением дается уравнением Пуассона

pV γ = const ,	pV	γ = p V γ		,	(21.7)
		0	0

где γ = CP .

CV

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

156

Так как плотности обратно пропорциональны объемам, то уравнение Пу-

ассона можно переписать так:	p	=	p0			, или
	ρ γ		ρ γ
		0
		p =			p0		× ρ γ .	(21.8 )
				ρ γ
					0

Дифференцируя (21.8), находим

	dp	=	γ × p0	ρ γ −1 .	(21.9)
	dρ		ρ0γ

Если сравнить выражение υ = Eρ ( E – модуль Юнга), определяющее

скорость распространения продольных звуковых волн в твердых телах, и (21.6)

с (21.9), то видно, что величина γ × p0 ρ γ −1 играет в газе такую же роль, какую

ρ0γ

E

величина ρ в твердом теле. Эта величина и определяет скорость распростране-

ния области сжатия. В отличие от модуля Юнга твердого тела, модуль сжатия газа зависит от того значения плотности ρ , которое имеет газ в области сжатия.

Только в том случае, когда		сжатие столь мало, что можно положить
ρ » ρ0 , модуль сжатия перестает зависеть от					ρ , и скорость распространения
области сжатия не зависит от величины сжатия (деформации).
В этом случае, как следует из (21.9)
	dp	» γ	p0	,	(21.10)
	dρ
			ρ0

и скорость распространения слабых импульсов сжатия:

υ = γ	p	.	(21.11)
	ρ

Звуковые волны можно рассматривать как ряд таких импульсов сжатия, следующих вплотную друг за другом и распространяющихся с одинаковой скоростью. Пока сжатия в звуковой волне не велики, она должна распространяться со скоростью, определяемой (21.11).

Используем уравнение состояния для идеального газа pV = mμ RT ( μ – мо-

лярная масса, R – универсальная газовая постоянная, T – температура) в виде

Вологодский государственный технический университет

Рис. 21.2

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

157

p= RT

ρμ . Тогда выражение для скорости звуковых волн в идеальном газе при-

нимает такой вид:

υ = γ ×		RT		(21.12)
		μ
Отсюда отношение газовых теплоемкостей:
γ = υ 2		μ		(21.13)
		RT
Из него следует, что для определения адиабатической				постоянной

γ = CP / CV достаточно при постоянной температуре в газе измерить скорость звука.

Отметим еще, что формула (21.12) имеет ясный физический смысл: передача возмущений в звуковой волне в газе осуществляется за счет теплового движения молекул, поэтому не удивительно, что скорость звука равна по по-

рядку величины скорости теплового движения молекул υтепл = υ 2 =	3RT	.
	μ

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: звуковой генератор, осциллограф, стеклянная труба с вмонтированным в ее торцы микрофоном и телефоном.

Методика измерений

Наиболее удобный метод определения скорости звуковых волн основан на измерении длины волны стоячих звуковых волн. Стоячей звуковой волной называется волна, образующаяся в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, которые распространяются навстречу друг другу и имеют одинаковые частоты и амплитуды. Точки, в которых амплитуда стоячей волны равна нулю, называются узлами, а точки, в которых амплитуда волны максимальна

– пучностями. Расстояние между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны λ бегущих волн (рис.21.2). Эту величину называют длиной стоячей волны: λст = λ / 2 .

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

158

В случае свободных колебаний струн, стержней, столбов газа в них устанавливаются стоячие волны, частоты которых удовлетворяют определенным условиям, то есть могут принимать только определенные дискретные значения, называемые собственными частотами. Если l – длина столба газа, υ – фазовая скорость волны, λ – длина волны, то для столбов газа в трубах, закрытых или открытых с обоих концов, на длине l укладывается целое число длин стоячей волны – условие стоячей волны

	l = n × λ , ( n = 1, 2, 3, ... ).			(21.14)
	2
Поскольку частота ν	и длина волны λ связаны соотношением υ = λν ,				то
ограничение на частоты стоячей волны должно быть следующим:
	ν п = υ	п	.	(21.15)
		2 ×l
Для измерения скорости звука в воздухе используется установка, пред-
ставленная на рис.21.2.
			Звуковые колебания в воз-
			духе, находящемся	в трубке 1,
Рис. 21.3			возбуждаются динамиком		2,
			подключенным к звуковому ге-

нератору. Микрофон 3, соединенный с электронным осциллографом, позволяет анализировать характер распространения звука в трубе.

Другими словами, левому торцу трубы (динамик) сообщаются гармонические колебания от внешнего источника (генератора звуковых колебаний). В столбе газа распространяются звуковые волны, которые отражаются от правого торца трубы (микрофона). Возникновение стоячей волны в этом столбе газа при заданном внешнем воздействии на одном из торцов трубы представляет собой не что иное, как явление резонанса. Значительная амплитуда стоячей волны (резонанс) появляется, когда частота внешнего воздействия (звукового генера-

тора) совпадает с собственной частотой (21.15).
Измеряя частоту для последовательных резонансов ν п											и ν п+1 , из (21.15)
можно записать уравнение для определения скорости звуковой волны в газе
ν п+1 -ν п =υ		п +1		-υ	п	=	υ	;
		2 ×l 2 ×l 2 ×l
υ = 2 × l × (ν n+1 -ν n ),											(21.16)
и тогда из (21.13) получим для показателя Пуассона γ =									CP	:
									CV
γ =	4 × l 2		(ν n +1 -ν n )2 × μ ,								(21.17)
	RT

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

159

где μ = 0.029 кг/моль – средняя молярная масса воздуха.

Порядок выполнения работы

1.Ознакомьтесь с краткой теорией вопроса и принципом действия установки.

2.Измерьте длину l трубки от динамика до микрофона.

3.Запишите в табл.21.1 температуру T .

4.Подключите приборы к сети.

5.Изменяя частоту генератора от 500 до 2000 Гц, установите частоты ν n , при которых на экране осциллографа наблюдается резкное увеличение амплитуды сигнала.

6.Все результаты измерений занесите в таблицу 21.1.

7.Выключите установку.

8. Вычислите ν n+1 −ν n , найдите среднее значение этой величины (ν n+1 −ν n )ср. ,

и по (21.17) определите γ .

9.Вычислите погрешность γ .

γ

Замечание 1: относительная погрешность γ вычисляется по стандартной методике расчёта погрешностей косвенных измерений. Исходя из (21.17) полу-

	Dγ			2D l 2
чим:	γ	=
				l

		2 × D(ν n+1 -ν n )		2
	+	(ν n+1 -ν n )

+D T 2

. Абсолютная погрешность

T

разностей частот		(ν n+1 −ν n ) определяется по методике расчёта случайных
погрешностей прямых измерений:
		D(ν n+1 -ν n ) = tn,α			∑n (D(ν n+1 -ν n )i )2
				×	i =1	,	(21.18)
					n × (n -1)
где (ν n+1 −ν n )i	= (ν n+1 −ν n )ср. − (ν n+1 −ν n )i		–	отклонение от среднего результата i-того
опыта; tn,α –	коэффициент Стьюдента для n опытов.
Замечание 2:		можно рассчитать γ			в каждом опыте,	а затем усреднить и
получить γ ср. . Тогда погрешность			γ	рассчитывается по формуле, аналогичной

(21.18).

10. Запишите результаты в виде g = gср ± Dg. При записи результата подумайте, сколько знаков после запятой следует поставить.

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

160

Таблица 21.1

n	ν n ,	ν n+1 −ν n ,	ν ,	l ,	l ,	T ,	T ,	γ	γ
	Гц	Гц	Гц	м	м	К	К
0		-
1		ν1 −ν 0 =
2		ν 2 −ν1 =
3
4
5
6
7
8
Средн.	-

Контрольные вопросы

1.Дайте определения CP и CV , используя первое начало термодинамики.

2.Представьте примеры, в которых на опыте измеряют CP и в которых – CV .

3.Сравните значения скорости звука в газах и твёрдых телах и модули упругости в них.

4.В чём отличие зависимости p(V )для газов и твёрдых тел?

5.Сравните зависимости p(V ) в газах для изотермического и адиабатического процессов.

6.Почему распространение звука в газах – адиабатический процесс?

7.Объясните, почему модуль сжатия характеризует упругие свойства газов.

8.Запишите условие стоячих волн в трубке.

9.Объясните, как выводится соотношение для скорости упругих волн в газах.

10.Выведите (21.17).

Используемая литература

[2] §67, 69; [3] §9.1-9.6; [7] §55; [4]§ 34; [10] §10.10; [11] §31-33.

Вологодский государственный технический университет