Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

Кафедра высшей математики

МАТЕМАТИКА

Часть 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Научный редактор – доц., канд. физ.-мат. наук Л.П. Мохрачева

Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов специальностей направления 6533500

«Строительство» всех форм обучения

Екатеринбург

УрФУ

2010

УДК 517.1(075.8) ББК 22.161 я 73, М 34

Рецензенты:

кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета; доктор физ.-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН

Авторы: Вигура М.А., Кеда О.А., Мохрачева Л.П., Рыбалко А.Ф., Рыбалко Н.М.

М 34 МАТЕМАТИКА. Часть 3. Математический анализ: пределы последовательностей и функций, дифференциальное исчисление функций

одной	переменной:	учебное	пособие	/	Вигура	М.А.,
Кеда О.А., Мохрачева		Л.П.,	Рыбалко	А.Ф.,	Рыбалко	Н.М.
УрФУ, 2010. 224 с.

ISBN 978-5-321-01782-1

Данное пособие представляет собой третью часть курса высшей математики и предназначено для бакалавров, программа обучения которых предусматривает равные количества аудиторных часов и часов для самостоятельной работы студентов. В учебном пособии изложены основы теории числовых последовательностей и операций над ними, начала математического анализа, теоретические основы дифференциального исчисления и его применение для построения графиков функций.

Пособие включает теоретические сведения, примеры решения задач, тексты домашних заданий, титул и варианты индивидуальной расчетной работы, образец контрольной работы и справочный материал по теме.

Подготовлено кафедрой высшей математики УДК 517.1(075.8)

ББК 22.161 я 73

ISBN 978-5-321-01782-1

© УрФУ, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

I. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИЙ……………………………………..…..…..…………………………………………....7
1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ…………………………..…………………...……..…..7
1.1. Элементы математической логики...................................................................................	7
1.2. Множества и операции над множествами. ..................................................................12
1.3. Числовые множества. Верхние и нижние грани...........................................................	14
1.4. Числовые последовательности.......................................................................................	14
1.5. Свойства ограниченных последовательностей.............................................................	16
1.6. Предел числовой последовательности...........................................................................	16
1.7. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.................................	17
1.8. Свойства бесконечно малых последовательностей......................................................	17
1.9. Свойства сходящихся последовательностей.................................................................	19
1.10. Монотонные последовательности................................................................................	20
1.11. Признак сходимости монотонной последовательности.............................................	21
1.12. Число е как предел монотонной последовательности................................................	22

2.ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА…………………………………………………………....…..22

2.1.Понятие функции. График функции. Способы задания функции………………..….22

2.2.Основные характеристики функции………………………………………………...…23

2.3.Обратная функция. Сложная функция…………...………………..………………..…25

2.4.Основные элементарные функции………………………………………………...…...25

3.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ……………………….………………………………………..……..…..28

3.1. Предел функции в точке..................................................................................................	28
3.2. Предел функции в бесконечности..................................................................................	29
3.3. Односторонние пределы .................................................................................................	30
3.4. Бесконечно малые функции и их свойства....................................................................	31
3.5. Сравнение бесконечно малых функций.........................................................................	31
3.6. Бесконечно большие функции и их свойства................................................................	33
3.7. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями……………34
3.8. Свойства функций, имеющих предел в точке...............................................................	34
3.9. Предельный переход в неравенствах ............................................................................	36

4.НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ………….…………………………………………………..36

4.1.Непрерывность функций в точке…………...………………………………….….…..35

4.2.Непрерывность функций на множестве………………………………………...….....39

4.3.Свойства функций, непрерывных в точке……..… ……………………………….…39

4.4.Непрерывность основных элементарных функций………………………………….39

5.ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ………….………………………………..…………….…...40

5.1.Первый замечательный предел………………...…………………….………………..40

3

5.2.Второй замечательный предел……………………………………...............................41

5.3.Эквивалентные бесконечно малые функции при х→ 0 …………..……………….41

5.4.Предел степенно-показательной функции y = ( f (x))ϕ(x) ( f (x)> 0) .…….…..42

6.СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ………….………………………….…………..43

6.1.Теорема об устойчивости знака непрерывных функций ……………………...……..43

6.2.Непрерывность обратной функции………………………………….…………….......43

6.3.Непрерывность сложной функции………………………………….………………....43

6.4.Свойства функций, непрерывных на отрезке…….…………………………………..44

7.ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ……....……………………………………..44

7.1.Точки устранимого разрыва……………………………………….………………….45

7.2.Точки разрыва первого рода.………………………………….………………………46

7.3.Точки разрыва второго рода ………………………………….………………………46

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ…………………………………………………………………..…...48

1.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ……....…………………………..…………………….….…..48

1.1.Основные определения………………………………………………………………...48

1.2.Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции……………………………………………………...…....49

1.3.Механический смысл производной……...……………………….…………………....50

1.4.Производная суммы, разности, произведения и частного функций………………...50

1.5.Производная обратной функции…………………………………….………………...50

1.6.Производная сложной функции…………………………………………………..…...51

1.7.Таблица производных……………………………………………….….........................52

1.8.Логарифмическая производная……………………………………….………………..53

1.9.Производная функции, заданной неявно………………………….….……………….54

1.10.Производная функции, заданной параметрически……………..….………………...54

1.11Производные высших порядков……………………………….…….………………..55

1.12.Вторая производная от функции, заданной неявно ………………...........................56

1.13.Вторая производная от параметрически заданной функции…….…………………56

1.14.Механический смысл второй производной………………………...………………..56

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.................................................................................................57

2.1.Основные определения……………………………………………..……………..…....57

2.2.Дифференциал независимой переменной…………………………………………......57

2.3.Свойства дифференциалов………………………………………….………………….58

2.4.Геометрический смысл дифференциала………………………….……………….......58

2.5.Применение дифференциала к приближенным вычислениям….……………….......58

2.6.Дифференциал сложной функции…………..…………………………………….…...59

2.7.Дифференциалы высших порядков………..…………………….…………….….......59

3.ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА………………………………….……………..………60

3.1.Теорема Ролля (о нуле производной)……………………………………………........60

4

3.2.Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях)………….…………….……61

3.3.Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях)……………………….62

3.4.Правило Лопиталя – Бернулли…………………………………….…………..…..…..63

3.5.Примеры применения правила Лопиталя…………………………………..….….......64

3.6.Формула Тейлора……………………………………………………………….............65

3.7.Частные случаи формулы Тейлора………………………………................................67

3.8.Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.……….....67

3.9.Оценка остаточного члена……………………………………….………………….....70

3.10.Приложения формул Тейлора и Маклорена…………………….………………......71 III. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ …………………….……72

1. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ……....………………..………….………………….72

1.1.Вертикальные асимптоты ………………………………………………………….......72

1.2.Горизонтальные асимптоты …………………………………………………………...72

1.3.Наклонные асимптоты ……...……………………………….…….…………………...73

2.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ………………………………………………………………...….74

2.1.Монотонность функции ………………………………………………..........................74

2.2.Локальный экстремум функции …………………………………….………………....75

2.3.Необходимые условия экстремума ………………………..……….………………….75

2.4.Достаточные условия экстремума ……………………...………….……………….....76

2.5.Правило отыскания экстремумов функции ……………………………………….. 77

3.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ………………………………………………………………...….78

3.1.Исследование функций на максимум и минимум

спомощью второй производной ……………………..………………...........................78

3.2.Направление выпуклости и точки перегиба кривой ……………....………………....78

3.3.Общая схема исследования функции и построения графика …….………………….80

3.4.Примеры исследования функций ………………………………....………………...…81

4. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ....................................................................................................			87
1.	Предел последовательности...............................................................................................		87
2.	Предел функции..................................................................................................................		96
3.	Функции. Непрерывность................................................................................................		103
4.	Дифференцирование. Теоретические упражнения........................................................		111
5.	Производная функции......................................................................................................		113
6.	Дифференциал...................................................................................................................		119
8.	Формула Тейлора..............................................................................................................		121
5. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ........................................................................................................			128
ДЗ № 1.		Пределы числовых последовательностей............................................................	128
ДЗ № 2.		Пределы функций...................................................................................................	130
ДЗ № 3.		Функции. Непрерывность......................................................................................	135
ДЗ № 4.		Дифференцирование функций..............................................................................	140

5

	ДЗ № 5.	Дифференцирование функций .............................................................................	142
	ДЗ № 6.	Дифференциал. Правило Лопиталя.....................................................................	144
	ДЗ № 7.	Формула Тейлора ...................................................................................................	146
	ДЗ № 8.	Исследование функций..........................................................................................	148
6.	РАСЧЕТНАЯ РАБОТА.............................................................................................................		151
	Расчетная работа № 3. Часть 1. Варианты..........................................................................		152
	Расчетная работа № 3. Часть 2. Варианты..........................................................................		181
7.	ПРИМЕР ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ...............................................................		207
8.	ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ.......................................................................		208
9.	БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК......................................................................................		223

6

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ:

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

I. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

1.ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

1.1.Элементы математической логики

Высказывания и операции над высказываниями. Равносильные формулы.

Основным понятием в математической логике является понятие элементарного высказывания. Под высказыванием понимают связное утверждение, которому можно приписать значение «ложь» или «истина».

ПРИМЕРЫ элементарных высказываний:

1.2 > 3 - «ложь»

2.Екатеринбург находится в Свердловской области - «истина»

3.Ворона – птица - «истина».

Высказывания, получающиеся из элементарных с помощью связок «если…, то…», «и», «или», «не» и др. , называются сложными .

ПРИМЕРЫ сложных высказываний :

1.Если числа а и b чётные, то и их сумма есть чётное число. Использована связка «если…, то….».

2.Студенты любят учиться и студенты любят отдыхать. Использована связка «и».

Элементарные высказывания обозначают малыми буквами x, y, z,.. ,

а значения высказываний «ложь» и «истина» заменяют на 0 и 1 соответственно. Над высказываниями определены следующие логические операции:

1. Отрицание. Отрицанием высказывания х называется высказывание х , которое истинно, если х ложно, и ложно, если х истинно. Операция отрицания описывается с помощью таблицы истинности

х	х
1	0
0	1

2. Конъюнкция (логическое умножение). Конъюнкция двух высказываний х и y (x y) определяется следующей таблицей истинности:

x	y	x y
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

7

3. Дизъюнкция (логическое сложение). Дизъюнкция высказываний х и y (x y)имеет таблицу истинности

x	y	x y
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

4. Импликация (логическое следование). Импликация высказываний х и y (x y) описывается таблицей истинности

x	y	x y
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

5.Эквиваленция (логическая тождественность). Эквиваленция высказываний

хи y (x y )имеет таблицу истинности

x	y	x y
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

С помощью логических операций над высказываниями из данного набора высказываний можно строить сложные высказывания. При этом элементарные высказывания и промежуточные сложные высказывания заключают в скобки. Сложные высказывания будем обозначать большими буквами.

ПРИМЕР 1. А= ((3 > 2) (5 > 2)) (3 +5 > 2). Высказывание А имеет значение 1.

Расставив скобки иначе, например, так В = (3 > 2) ((5 > 2) (3 +5 > 2)),

получим совершенно другую логическую формулу. В нашем случае данное сложное высказывание В также имеет значение 1.

Обобщим первую логическую формулу следующим образом

(х y) (x y), где х и y некоторые высказывания. Таблица истинности

этой формулы имеет вид
	x	y	x y	x y	x y x y
	1	1	1	1	1
	1	0	0	1	1
	0	1	0	1	1
	0	0	0	0	1

т.е. формула (х y) (x y) тождественно истинна.

8

Обобщение второй формулы даёт х (y (x y)). Приведём таблицу

истинности этой формулы						x (y x y)
	x		y	x y	y (x y)
						1
	1		1	1	1
	1		0	1	1	1
	0		1	1	1	0
	0		0	0	1	0

Видно, что формулы А и В имеют разные таблицы истинности,

т.е. неравносильны.

Определение. Две логические формулы называются равносильными, если они принимают одинаковые значения на любом наборе значений входящих в них элементарных высказываний.

Равносильность формул будем обозначать символом ≡, т.е. А≡ В означает равносильность формул А и В.

ПРИМЕРЫ основных равносильностей:

1.x х ≡ х.

2.x х ≡ х.

3.x ≡ х.

4.x (y х)≡ х.

5.x (y х)≡ х.

Если высказывание y тождественно истинное, то

6.x y ≡ х,

7.x y ≡ y ,

8.x х ≡ y - закон исключённого третьего.

Если высказывание y тождественно ложное, то

9.x y ≡ y ,

10.x y ≡ х,

11.x х ≡ y - закон противоречия.

Равносильности могут выражать одни логические операции через другие и свойства самих операций:

12.x y ≡ (x y) (y x).

13.x y ≡ х y .

_____

14. х у ≡ х у .

_____

15.х у ≡ х у .

16.Коммутативность конъюнкции и дизъюнкции

х у ≡ у х, х у ≡ у х.

17. Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции

х (у z)≡(x у) z, х (у z)≡ (x у) z .

9

18.Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции

х(у z)≡ (x y) (x z).

19.Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции

х(у z)≡(x y) (x z).

Структура высказываний. Предикаты и кванторы.

Ранее мы рассматривали высказывания как нераздельные целые. Однако высказывание, как и обычное повествовательное предложение, может иметь структуру – подлежащее, сказуемое, дополнение. В качестве «подлежащего» в высказывании выделяют субъект высказывания, т.е. то, о чём что-то утверждается, а в качестве «сказуемого» - предикат, т.е. то, что утверждается о субъекте. В качестве предикатов выступают высказывательные формы, зависящие от одной или нескольких переменных. Например, выражение 2 = 3 есть высказывание, имеющее значение 0. Если вместо 2 поставить х, т.е. записать х = 3 , то получим высказывательную форму, которая превращается в высказывание, имеющее конкретное значение, при подстановке вместо х конкретного числа. Таким образом, высказывательную форму можно рассматривать как функцию переменной х, принимающую значение 0 или 1. Высказывательная форма может зависеть от нескольких переменных. Например х > y зависит от двух переменных х и у. Приведённые рассуждения

поясняют приведённые ниже строгие определения предикатов.

Определение. Одноместным предикатом Р(х) называется произвольная функция переменного х, определённая на множестве М и принимающая значения из множества {0,1}.

Пусть х принимает значения из множества М1 , а у – из множества М2 .

Определение. Двухместным предикатом Р(х, у) называется произвольная функция переменных х и у, определённая на множестве М = М1 ×М2 и принимающая значения из множества {0,1}.

Так как предикаты, как и высказывания, принимают значения 0 и 1, то к ним применимы все операции, определённые для высказываний. В частности:

1. Конъюнкцией предикатов		Р(х)	и Q(х)	x M называется предикат
Р(х) Q(х), который принимает значение 1				при тех и только тех значениях
x M , при которых каждый из предикатов принимает значение 1.
2. Дизъюнкцией предикатов		Р(х) и Q(х)		x M называется предикат
Р(х) Q(х), который принимает значение 0				при тех и только тех значениях
x M , при которых каждый из предикатов принимает значение 0.
3. Импликацией предикатов		Р(х)	и Q(х)		x M называется	предикат
Р(х) Q(х), который принимает значение 0 при тех и только тех значениях
x M , при	которых одновременно		Р(х) имеет		значение 1, а	Q(х) имеет
значение 0	и имеет значение 1 во всех остальных случаях.

10