Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_2_Vekt_i_anal_2010_07_29

.pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
29.05.2015
Размер:
4.52 Mб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

Кафедра высшей математики

МАТЕМАТИКА

Часть 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Научный редактор – доц., канд. физ.-мат. наук Л.П. Мохрачева

Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов специальностей направления 6533500

«Строительство» всех форм обучения

Екатеринбург

УрФУ

2010

УДК 512.643(075.8) ББК 22.143 я 73, М 33

Рецензенты:

кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета; доктор физ.-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН

Авторы: Соболев А.Б., Вигура М.А., Рыбалко А.Ф., Рыбалко Н.М., Л.Ю.Трояновская Л.Ю., Кассандров И.Н.

М 33 МАТЕМАТИКА. Часть 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия: учебное пособие / Соболев А.Б., Вигура М.А., Рыбалко А.Ф., Рыбалко Н.М., Л.Ю.Трояновская Л.Ю., Кассандров И.Н.

Екатеринбург: УрФУ, 2010. 172 с.

ISBN 978-5-321-01784-5

Данное пособие представляет собой вторую часть базового курса высшей математики и предназначено для бакалавров, программа обучения которых предусматривает равные количества аудиторных часов и часов для самостоятельной работы студентов.

Содержание пособия охватывает следующие разделы программы: векторная алгебра, аналитическая геометрия в пространстве, на плоскости, кривые второго порядка, поверхности.

Пособие включает теоретические сведения, примеры решения задач, тексты домашних заданий, титул и варианты индивидуальной расчетной работы, образец контрольной работы и справочный материал по теме.

Подготовлено кафедрой высшей математики

УДК 512.643(075.8) ББК 22.143 я 73

ISBN 978-5-321-01784-5

© УрФУ, 2010

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

1.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ........................................................................................

4

 

1.1. Определение вектора.......................................................................................

4

 

1.2. Линейные операции над векторами и их свойства.......................................

4

 

1.3. Базис и координаты..........................................................................................

5

 

1.4. Скалярное произведение векторов.................................................................

8

 

1.5. Векторное произведение векторов.................................................................

9

 

1.6. Смешанное произведение векторов.............................................................

11

2.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ................................

13

 

2.1. Уравнения поверхностей и линий................................................................

13

 

2.2. Плоскость в пространстве.............................................................................

14

 

2.3. Прямая линия в пространстве.......................................................................

19

 

2.4. Прямая и плоскость........................................................................................

22

3.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ....................................

24

 

3.1. Простейшие задачи на плоскости.................................................................

24

 

3.2. Прямая линия на плоскости..........................................................................

25

 

3.3. Кривые второго порядка................................................................................

28

 

3.4. Преобразования координат...........................................................................

32

 

3.5. Линии в полярной системе координат.........................................................

37

 

3.6. Параметрическое задание линий..................................................................

41

4.

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА............................................................

43

5.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ..............................................................................

48

6.

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ...................................................................................

103

 

ДЗ № 1. Векторная алгебра ................................................................................

103

 

ДЗ № 2. Прямая и плоскость..............................................................................

107

 

ДЗ № 3. Прямая на плоскости............................................................................

109

 

ДЗ № 4. Кривые на плоскости............................................................................

112

 

ДЗ № 5. Поверхности в пространстве...............................................................

117

7.

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА ......................................................................................

120

8.

ПРИМЕР ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ........................................

146

9.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ..........................................................

147

10. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК..............................................................

171

3

I.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.1.Определение вектора

Понятие вектора возникло как математическая абстракция объектов, характеризующихся не только скалярной величиной, но и направлением, например: перемещение, скорость, напряженность электрических и магнитных полей.

Вектором называется направленный отрезок прямой, у которого один конец (точка A) называется началом вектора, а другой конец (точка B ) – концом вектора.

Вектор обозначается либо значком AB , либо одной строчной буквой a .

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором: 0 . Нулевому вектору приписывают любое направление.

Вектор характеризуется модулем (или длиной), который равен длине отрезка AB : AB = a .

Вектор BA = −a называется противоположным ненулевому вектору

AB = a .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

Точка приложения вектора может быть выбрана произвольно, векторы иногда называют свободными.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

1.2. Линейные операции над векторами и их свойства

Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на вещественное число.

4

Суммой a +b двух векторов a и b называется вектор, проведенный из начала вектора a в конец век-

тора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a .

Правило сложения векторов, изложенное в этом определении, обычно на-

зывают правилом треугольника.

Разностью a b называется вектор x , такой, что x + b = a .

Операция сложения векторов обладает свойст-

вами:

1)a +b = b + a ;

2)(a +b )+ c = a +(b + c );

3)a +0 = a ;

4)a +(a)= 0.

 

 

 

 

 

 

Произведением αa вектора a на вещественное число

α

(α 0, a 0) называется вектор, коллинеарный вектору a , имеющий длину

 

 

α

 

 

 

a

 

и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора a

в

 

 

 

 

случае α > 0 и противоположное направлению вектора a в случае α < 0 . Если

α = 0 , то αa = 0 .

Геометрический смысл операции умножения вектора на число:

при умножении вектора a на число α вектор a "растягивается в α раз".

Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

1)α (βa )= (αβ )a ;

2)(α+β )a =αa + βa ;

3)α (a +b )=αa +αb ;

4)1 a = a .

1.3. Базис и координаты

Декартов прямоугольный базис и декартова система координат

Базисом B в пространстве будем называть три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

5

Базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов), называется ортонормированным (ОНБ).

Базисом B на прямой будем называть любой ненулевой вектор этой прямой. Если a – произвольный вектор какой-либо прямой, то любой вектор на

этой прямой b может быть записан в виде b =αa .

Базисом B на плоскости будем называть два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определен-

ном порядке. Если a и b – произвольные неколлинеарные векторы на плоскости, то любой вектор на этой плоскости

с может быть записан в виде с =αa + βb ={α,β} .

Каждый вектор пространства может быть разложен по базису в пространстве.

Если a , b , с – три некомпланарных вектора в пространстве, то любой вектор d может быть записан в виде d =αa + βb +γc ={α,β,γ}.

Геометрически вектор d представляет собой пространственную диагональ параллелепипеда, по-

строенного на векторах a , b и с .

Числа α, β, γ называются координатами вектора в соответствующем базисе.

Теорема. Разложение вектора по базису единственно.

Декартова прямоугольная система координат

Декартова система координат в пространстве определяется заданием точки О – начала координат и базисных векторов i , j , k (трех взаимно перпендикулярных векторов единичной длины).

Вектор OM , идущий из начала координат в точку M (x,y,z), называется радиус-вектором

точки M .

Координаты радиус-вектора OM и

коор-

динаты точки M совпадают OM ={x,y,z} .

 

Если известны координаты точек начала

A (ax ,ay ,az ) и конца B (bx ,by ,bz )

вектора,

то ко-

ординаты вектора AB ={bx ax ,by

ay ,bz az }.

6

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе.

Необходимым и

достаточным условием коллинеарности векторов

a ={ax ,ay ,az } и b ={bx ,by ,bz}, b 0 , является пропорциональность их соответ-

ствующих координат: ax

=αbx , ay =αby , az =αbz .

Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над их координатами: a +b ={ax +bx , ay +by , az +bz}, αa ={αax ,αay ,αaz}.

Проекция вектора на ось

Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором e (ортом), задающим положительное направление на прямой.

Проекцией прe a вектора a на ось называется направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению (a e ).

Для вектора a = AB проекция на прямую OL равна числу aOL = прOL a = ± A ' B ' = a cos ϕ .

Проекции обладают свойствами:

1)прe (a +b )= прe (a)+прe (b );

2)λ прe a =прe λa .

 

 

Декартовы

прямоугольные координаты вектора

OM = a =

{ax ,ay ,az } равны проекциям этого вектора на

оси

 

Ox ,

Oy ,

Oz соответственно: ax =

 

a

 

cosα ,

 

 

ay =

 

 

 

a

 

 

cos β , az =

 

 

 

a

 

 

 

cos γ , где α, β,γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

углы, которые составляет вектор a с координат-

ными осями Ox , Oy , Oz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Косинусы углов ( cosα ,

 

cos β , cosγ ) векто-

ра a = {ax ,ay ,az }

с векторами базиса i , j , k

 

назы-

ваются направляющими косинусами вектора a .

 

 

Вектор

a

=

 

a

 

={cosα, cos β, cosγ}

представляет собой вектор единич-

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ной длины в направлении вектора a .

7

1.4. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением (a b ) ненулевых векторов a иb называется

число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла ϕ между ними:

(a b )= a b cosϕ , ϕ [0,π].

Скалярное произведение обладает свойствами:

1.(a b )= (b a);

2.((αa ) b )=α (a b );

3.((a +b ) c )= (a c )+(b c );

4.(a a )> 0 , если a 0 ;

5.(a a)= 0 , если или a = 0 , или b = 0 , или a b .

Выражение скалярного произведения векторов в декартовых координатах

Теорема. Если два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами a ={ax , ay , az }, b ={bx ,by ,bz }, то скалярное произве-

дение этих векторов равно сумме произведений их соответствующих координат, то есть

(a b )= axbx +ayby +azbz .

Доказательство. (a b )= ((axi +ay j + az k ) (bxi +by j +bz k ))= axbx ( i i ) +

+axby (i j )+axbz (i k )+aybx (j i )+ayby (j j )+aybz (j k )+azbx (k i )+azby (k j )+azbz (k k ).

2

 

 

 

2

=1, аналогично (j j )=1, (k k )=1;

Но (i i )=|i |

cos i

,i

=|i |

 

 

 

 

 

 

(i j )= (i k )= (j i )= (j k )= (k i )= (k j )=1 1 cos 90o = 0;

(a b )= axbx +ayby +azbz .

8

Геометрические приложения скалярного произведения векторов в декартовой системе координат

1.

 

a

 

= (a a ) = ax2 + ay2 + az 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a b )

 

 

 

a

b + a

b

y

+ a b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

y

 

z z

 

2.

cos a , b

=

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

b

 

 

ax2

+ ay2

+ az2

 

 

bx2 +by2 +bz2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проекция прb a вектора a на вектор b

 

 

 

 

 

 

пр a =

(a b )

=

axbx + ayby + azbz

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

b

 

 

 

bx2 +by2 +bz2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Направляющие косинусы вектора a :

 

 

 

 

 

 

 

ax

 

 

 

ay

 

, cosγ =

az

cosα =

 

 

 

,

cosβ =

 

 

.

 

ax2 + ay2 + az2

 

ax2 + ay2 + az2

ax2 + ay2 + az2

4. Для направляющих косинусов справедливо соотношение cos2α +cos2 β +cos2γ =1.

1.5.Векторное произведение векторов

Впространстве различают правые и левые тройки векторов. Упорядо-

ченная тройка некомпланарных векторов a ,b , c , приведенных к одному на-

чалу, называется правой, если из конца третьего вектора c кратчайший пово-

рот первого вектора a ко второму b виден совершаемым против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

с

b

c

 

 

a2

a a

правая левая

Тройку векторов базиса i , j , k принято считать правой.

При перестановке местами двух соседних векторов ориентация тройки

меняется.

Если тройки abc, cab, bca - правые, то acb, cba, bac - левые.

При круговой (циклической) перестановке векторов ориентация тройки

не меняется.

9

Векторным произведением

a, b

ненулевых и неколлинеарных векто-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ров a и b называется вектор

 

 

 

 

 

 

= a ×b , удовлетворяющий сле-

c = a,

b =

a ×b

дующим трем требованиям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) длина вектора c равна произведению длин векторов a

и b на синус

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

угла между ними, т. е.

c

 

=

 

 

=

a

 

 

b

sin a , b

;

 

 

a ×b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)вектор c ортогонален к каждому из векторов a и b , т.е. c перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a и b ;

3)вектор c направлен так, что тройка a b c является правой.

Векторное произведение равно нулю, если a = 0 или (и) b = 0 , или они коллинеарны.

Векторное произведение обладает свойствами:

1.a ×b = − b ×a ;

2.αa ×b =α a ×b ;

3.(a +b)×c =[a ×c]+ b ×c ;

4.[a ×a]= 0 для любого вектора a ;

5.a,b = 0 , если векторы a и b коллинеарны или хотя бы один является

нулевым.

Приведем некоторые схемы для вычисления различных векторных произведений векторов базиса i , j , k :

i ×i = j × j = k ×k = 0, i × j = − j ×i = k ,

i ×k

= − k ×i

= − j,

j ×k

= − k × j

= i ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

i ×i

 

=

j × j

 

=

k ×k

=

1 1 sin 0

= 0 .

 

 

 

10

Соседние файлы в папке Arkhiv_ZIP_-_WinRAR