Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_6_FNP

.pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
29.05.2015
Размер:
934.06 Кб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

МАТЕМАТИКА

Часть 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Научный редактор – доц., канд. физ.-мат. наук Л.П. Мохрачева

Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов специальностей направления 6533500

«Строительство» всех форм обучения

Екатеринбург

УрФУ

2011

УДК 517(075.8) ББК 22.161.5 я 73 Д 50

Рецензенты:

кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета; доктор физ-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН

Авторы: М.А. Вигура, О.А. Кеда, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко, О.К. Хребтова

Д 50 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ: учебное пособие / М.А. Вигура, О.А. Кеда, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко, О.К. Хребтова, науч. ред. Л.П.Мохрачева. Екатеринбург:

УрФУ, 2011. 74 с.

ISBN 978 – 321 – 02034 - 0

Данное пособие представляет собой шестую часть курса высшей математики и предназначено для бакалавров, программа обучения которых предусматривает равные количества аудиторных часов и часов для самостоятельной работы студентов.

Пособие включает теоретические сведения теории функции нескольких переменных, примеры решения задач, тексты домашних заданий, текст индивидуальной расчетной работы, образец контрольной работы и справочный материал по теме.

Подготовлено кафедрой высшей математики

УДК 517(075.8) ББК 22.161.5 я 73

ISBN 978 – 5 – 321 – 02034 - 0

© УрФУ, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ…………………...…..4

1.1.Понятие функции двух переменных. Область определения…………...…….4

1.2.Предел функции двух переменных…………………………………….………5

1.3.Непрерывность функции двух переменных…………………………...………6

1.4.Частное и полное приращения функции двух переменных…………...……..7

1.5.Частные производные первого порядка функции двух переменных…..........7

1.6.Первый дифференциал функции……………………………………………….8

1.7.Частные производные высших порядков……………………………...……..10 1.8. Дифференциалы высших порядков………………………………...………...11

1.9.Формула Тейлора……………………………………………………...…........13

1.10.Производная сложной функции………………………………...…………...14

1.11.Инвариантность формы полного первого дифференциала……...………...15

1.12.Производная от функции, заданной неявно………………….......................15

1.13.Локальные экстремумы функции двух переменных……………..………...16

1.14.Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа……………...…........19

1.14.1Метод исключения переменной…………………………………………19

1.14.2Метод Лагранжа………………………………………………………….20

1.15.Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области…….23

1.16.Геометрические приложения функций двух переменных……...................24

1.16.1.Уравнения касательной к пространственной кривой…………….24

1.16.2.Нормальная плоскость и ее уравнение……………………………..26

1.16.3.Касательная плоскость и нормаль к поверхности………………..27

1.16.4.Примеры геометрических приложений функций нескольких

переменных………………………………………………………………………….29

2.ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ……………………………………………….31

3.ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ……………………………………………………...47 РАСЧЕТНАЯ РАБОТА ……………………………………………………...53

ПРИМЕР ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ…………………………..71

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ……………………………………………………...72

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………………………..74

3

1.ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.1.Понятие функции двух переменных. Область определения

Пусть D – некоторое множество пар действительных чисел ( x, y) . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если каждой паре значений двух независимых

переменных величин ( x, y) D соответствует определенное число z , то говорят, что на множестве D определена функция двух переменных z = f ( x, y) .

Например,

1)площадь прямоугольника S = xy , x, y > 0 ;

2)объем параллелепипеда V = xyz , x, y, z > 0 ;

3) дальность полета тела,

брошенного под углом α к горизонту со

 

υ 2sin2α

 

 

π

 

скоростью υ : l =

 

, α

0,

 

 

, υ > 0 .

 

 

 

g

 

 

2

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество пар чисел ( x, y) D , при которых функция z имеет определенное действительное значение, называется областью определения функции двух переменных.

Совокупности чисел ( x, y) интерпретируются как точки М( x, y) координатной плоскости Oxy, а область определения функции z = f (M ) двух

переменных изобразится в виде некоторого множества точек на плоскости Oxy. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество точек, удаленных от точки ( x0 , y0 ) не больше,

чем на ε ,

ε > 0 , называется ε

- окрестностью точки ( x0 , y0 ) . ε

– окрестность

задается

неравенством ( x - x

)2 + ( y - y

)2 < ε2

и геометрически

представляет

 

0

0

 

 

 

открытый круг радиусом ε с центром в точке ( x0 , y0 ) .

Точку называют внутренней точкой множества, если существует

ε− окрестность этой точки, целиком содержащаяся в этом множестве. Множество, все точки которого являются внутренними, называется

открытым.

Точку называют граничной точкой множества, если любая

ε− окрестность этой точки содержит точки, принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему. Множество всех граничных точек множества называют его границей.

Множество, которое содержит все свои граничные точки, называется

замкнутым.

Например, геометрически область определения функции двух переменных может быть изображена на плоскости ( x, y) областью D с границей L , точка

M1 D , M1

 

L – внутренняя, а

M 2 L – граничная

 

точка области.

 

ПРИМЕР

y

x

0 2

4

Областью определения функции z = 4 x2 y 2 является множество точек,

определяемое

неравенством

4 x 2 y 2

0 ,

которое представляет собой

замкнутую область: x 2 + y 2

4

– внутренность круга с радиусом 2 , с центром в

точке (0,0) , включающую границу области.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИМЕР

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Областью определения функции z =

 

 

1

 

 

 

является

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 + y 2 4

 

 

незамкнутое

множество

x2 + y2 4 > 0 ,

которое

представляет

2

x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

собой внешние точки круга без точек границы.

 

 

 

 

 

 

 

Геометрическое изображение функции двух переменных

 

 

Функция

z = f ( x, y)

определяет

в

 

пространстве поверхность

S ,

проектирующуюся на плоскость Oxy в область определения D .

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M ( x, y, z)

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

N ( x, y,0)

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИМЕР

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поверхность, задаваемая равенством z =

sin

x2 + y 2

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + y2

 

 

ПРИМЕР

Поверхность, задаваемая равенством z = cos x 2 + y 2 .

5

1.2. Предел функции двух переменных

Пусть z = f ( x, y) , где ( x, y) D и ( x0 , y0 ) D .

 

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если

M ( x, y ) D,

M 0 ( x0 , y0 ) D ,

то M ( x, y )

стремится

к M 0 ( x0 , y0 )

( M ( x, y ) M 0 ( x0 , y0 ) ) , если ρ( M , M 0 ) 0 ,

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ( M , M

0

) =

 

( x x )2 + ( y y )2 -

расстояние

между точками

M ( x, y )

и

 

 

0

0

 

 

 

 

 

M 0 ( x0 , y0 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число A называется пределом функции z = f ( x, y) в точке

( x0 , y0 ) при стремлении точки ( x, y)

 

к точке ( x0 , y0 ) , если

для любого ε > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< ε

 

 

 

найдется

такое

r ,

что

f ( x, y ) A

 

при всех ( x, y ),

принадлежащих

r окрестности точки ( x0 , y0 ) : A = lim

f ( x, y) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИМЕР

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

3x +4

 

=

0 +4

=

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 x2 + y2 1 4 1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИМЕР

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выясним, имеет ли функция z =

 

 

2xy

 

предел при x 0 ,

y 0 .

 

x

2 + y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть точка M ( x, y) стремится к точке M 0 (0,0) .

 

Рассмотрим изменение x и y вдоль прямой y = kx .

 

Получим, что

lim z = lim

 

 

2kx2

 

=

 

2k

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

x0 x2 + k 2 x

2

 

 

1 + k

2

 

 

y0

Результат имеет различные значения в зависимости от выбранного k , т.е. зависит от пути приближения к (0,0) , и поэтому функция не имеет предела в точке (0,0).

1.3. Непрерывность функции двух переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция

f ( x, y) называется непрерывной в точке ( x0 , y0 ) ,

если предельное значение этой функции в точке

( x0 , y0 ) существует и равно

частному значению f ( x0 , y0 ) : lim

f ( x, y) = f ( x0 , y0 ) .

 

xx0

 

 

yy0

 

 

Для непрерывности f ( x, y)

в точке ( x0 , y0 )

необходимо выполнение

следующих условий:

 

 

1) f ( x, y) определена в некоторой окрестности точки ( x0 , y0 ) ;

2) существует предел f ( x, y) при стремлении точки ( x, y) к точке ( x0 , y0 ) ;

3) lim f ( x, y) = f ( x0 , y0 ) .

xx0 yy0

6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f ( x, y) , непрерывная в каждой точке области D , называется непрерывной в этой области.

Функция f ( x, y) разрывна в точке ( x0 , y0 ) , если не выполняется какое-либо из условий непрерывности.

 

Например, функция z = x 2 + y 2 – непрерывна на всей плоскости xoy ; функция

z =

2xy

не определена в точке (0,0) , которая является точкой разрыва. Разрыв

x 2 + y 2

 

 

не устраним, т.к. предел функции z в точке (0,0) не существует.

1.4. Частное и полное приращения функции двух переменных

Пусть z = f ( x, y) , ( x, y) D .

 

 

 

 

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дадим переменной x приращение

x ,

оставляя

переменную y неизменной, тогда разность

x z = f ( x +

x, y) f ( x, y) называется

частным

приращением

f ( x, y) по

x

в

точке

( x, y) ,

а

разность

y z = f ( x, y +

y) f ( x, y) частное приращение z по y .

 

 

 

Полное

приращение функции

z = f ( x, y)

в

точке

( x, y)

равно

z = f ( x, y) = f ( x + x, y + y) f ( x, y) .

 

 

 

 

 

 

ПРИМЕР

 

 

 

 

 

 

 

Для функции z = x y

частные приращения равны:

x z = ( x +

x) y xy = x y ;

y z = x y ;

 

полное

 

приращение

 

равно

z = ( x + x)( y + y) xy = x y + x y + x y =

x z +

y z + x y .

 

 

 

Видим, что z x z +

y z .

 

 

 

 

 

 

1.5. Частные производные первого порядка функции двух переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Частной производной по x от функции z = f ( x, y ) в

точке ( x, y ) называется предел

lim

x z

= lim

f ( x + x, y) f ( x, y)

=

z

=

( x, y) =

f ( x, y)

.

 

 

 

 

x

x

= z x

x

f x

x

x0

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично:

z

=

z

= f ( x, y) =

f ( x, y)

=

 

 

y

 

y

y

y

 

 

 

 

 

= lim

y z

= lim

f ( x, y + y) f ( x, y)

 

 

y0 y

y0

y

ПРИМЕР

z = x3 sin y + y 4 .

z

= 3x 2 sin y ;

z

= x3 cos y + 4 y 3 .

 

 

x

y

7

y = const .
z = f ( x, y)

Геометрический смысл частных производных

Пусть z = f ( x, y) задаёт поверхность S и M S .

Положим y = const . Кривая

Гx есть

сечение поверхности S плоскостью,

параллельной плоскости oxz .

 

MK – касательная к кривой Гx

в точке

M ( x, y, z) , а угол, который она составляет с осью ox , равен α.

z

=

dz

 

 

 

= tgα.

 

 

 

 

 

x dx

 

y =const

 

 

 

z

Итак, частная производная

x

численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности плоскостью

 

 

z

 

 

z

S

 

M

 

0

y

 

 

 

x

 

x

z

S x

M

0

x

α

K

y

y

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

S

Аналогично

z

= tg β.

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6. Первый дифференциал функции

Пусть

z = f ( x, y) ,

тогда

полное

приращение функции равно

z = f ( x + x, y + y) f ( x, y) .

 

 

и M ( x +

x, y + y) , отстоящие друг от друга на

Рассмотрим две точки: M ( x, y)

 

 

 

 

 

 

расстоянии ρ = ( x )2 + (

y )2 .

 

 

Устремим точку M к точке M , при этом ρ 0 .

8

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Функция z = f ( x, y )

называется дифференцируемой в

точке( x, y ) , если

её приращение в этой

точке

можно представить

в

виде

z = A

x + B y + α x + β y , где А и В постоянные, не зависящие от x

и

y , а

α 0 ,

β 0 при

x 0,

y 0 .

 

 

 

 

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Функция z = f ( x, y )

называется дифференцируемой в

области D , если она дифференцируема в любой точке этой области.

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Выражение ( A x + B y) отличается от

z на величину

более высокого порядка малости по сравнению с

x,

y и называется главной

линейной частью полного приращения функции

z ,

где γ 0

при

x 0 ,

y 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Главная линейная часть полного

приращения функции

z = f ( x, y) называется первым

дифференциалом : dz = A x + B y , где A, B const .

Например, для z = xy

геометрически проиллюстрируем

разницу между z и dz .

 

y

z

 

y

dz

 

 

 

 

x

x

 

 

z = ( x + x)( y + y) xy = y x + x y + x y = dz + x y , т.к. dz = ydx + xdy – главная

(большая) линейная часть приращения функции.

Замечание. Из определения дифференциала следует, что дифференциалы независимых переменных равны их приращениям: dx = x , dy = y .

Теорема. Дифференциал функции равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых

переменных.

Доказательство:

Пусть

z = f ( x, y) .

По

определению

dz = A x + B

y ,

а

z = A x + B

y + α x + β

y , где α, β – бесконечно малые при x 0 и

y 0 .

 

z

x

Положим

y = 0 , тогда

 

z = A

x + α

x , откуда

x z

= A + α .

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Устремим

x 0 , тогда

lim

x z

=

 

z

= A .

x

 

x

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично: B =

z

, значит, dz =

z

dx +

z

dy .

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

x

 

 

y

Теорема.

Если z = f ( x, y) обладает непрерывными частными производными

= f x( x, y) и

 

z

= f y( x, y) в данной области, то она дифференцируема в этой

 

 

 

 

y

области.

Геометрический смысл первого дифференциала функции z = f ( x, y) : dz в

точке ( x0 , y0 ) изображается приращением аппликаты точки касательной плоскости, проведенной к поверхности z = f ( x, y) в точке M 0 ( x0 , y0 ) .

ПРИМЕР

Найдите дифференциал функции z = x y .

9

2,02

dz =

z

dx +

z

dy , так как

z

= yx y 1 ,

z

= x y ln x , то dz = yx y 1dx + x y ln xdy .

 

 

 

 

 

x

 

y

 

x

y

С точностью до бесконечно малых более высокого порядка: z dz .

Значит: f ( x + x, y + y) f ( x, y) + f ( x, y)

x

x +

f ( x, y)

y .

y

 

 

Это равенство используется в приближенных вычислениях. ПРИМЕР Вычислим приближенное значение (2,01) .

Функция имеет вид: z = x y . Из приближенного равенства

z( x0

+ x, y0

+ y) z( x0

, y0 ) +

z

 

 

 

 

x +

z

x

( x

, y

)

y

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

y

( x0 , y0 )

при x0 = 2 ,

y0

= 2 , x = 0,01 , y = 0,02 получаем

 

z( x0 , y0 ) = 22 = 4 ,

 

z

 

= yx y 1 ,

z

 

 

 

 

 

= 2 2 = 4 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

( 2, 2)

 

 

 

z

= x y ln x ,

z

 

 

= 22 ln 2 ,

 

 

 

 

 

y

 

y

 

 

( 2,2 )

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2,01) 2,02 4 + 4 0,01 + 4 ln 2 0,02 = 4(1,01 + 0,02 ln 2) = = 4,04 + 0,02 ln 2 .

1.7. Частные производные высших порядков

Частные

производные первого

порядка от

функции

двух переменных

z = f ( x, y) ,

равные

z

= f x( x, y) и

z

= f y( x, y) ,

в свою

очередь являются

 

 

 

 

x

y

 

 

функциями переменных x и y , и от них можно снова находить частные производные, которые называются производными второго порядка и имеют следующие обозначения:

2 z

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

′′

( x, y) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

= f xx

 

 

 

x

x

 

 

 

2 z

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

= f ′′

( x, y) ;

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yy

 

 

 

 

 

 

y

y

 

 

 

2 z

 

 

 

 

∂ ∂z

′′

;

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= f xy ( x, y)

yx

 

 

x

 

 

 

2 z ∂ ∂z

== f ′′ ( x, y) . xy x y yx

Две последние производные по разным переменным называются

смешанными.

Аналогично можно определить производные третьего, четвертого и более высоких порядков.

10

Соседние файлы в папке Arkhiv_ZIP_-_WinRAR