TOEIsaev

1

1

R2

R2

Z ( p) =

C p

+ Lp + R1

+

C

2

p

= 0 .

1

R2

+

1

R2

+

1

C1 p

C2 p

Корни характеристического уравнения

p1, p2 , p3 должны полностью

совпасть с собственными

числами

λ1, λ2 , λ3

матрицы состояния

A, det(A - l ×1) = 0 . Затем следует проверить принуждённые составляющие решений. В схеме после коммутации их легко найти, в нашем случае они определяются соотношениями:

					E ×(R + R )
					2 1
					2R2 + R1
		uC1пр							54,545
					E × R2
	xпр	(t) = uC 2пр		=				=	45, 455
					2R2 + R1
		iLпр			E				0, 455
					2R2 + R1

С помощью матричных соотношений их легко проверить:

				54,545
xпр (t) = -A	−1	× BF =		45, 455
					.
			0, 455

Таким образом, мы убедились, что система уравнений состояния составлена правильно.

151

Документ Mathcad

Аналитический метод решения переходных процессов методом переменных состояния

Находим матрицу состояния A, используя операции Given и Find. Составляем уравнения относительно переменных состояния Uс1, Uc2 и iL .

Given

iL

ic2 +

Uc2

iL×R1 + UL - Uc1 + Uc2

0

E

(iL + ic1)×R2 + Uc1

R2

E - iL×R2 - Uc1

R2

Find(ic1, ic2, UL) ®

iL×R2 - Uc2

R2

Дано:

-iL×R1 + Uc1 - Uc2

C2 := 60×10− 6

L := 0.01 R2 := 100

R1

:= 20

C1 := 20×10− 6 E := 100

Записываем матрицу переменных состояния A и матрицу столбец правых частей BF, где B - матрица связи (размерности n x n), F-матрица столбец (размерности n x 1).

Внимание!!! Произведение матриц BF здесь обозначено как B!

	1											1
	-						0					-
		R2×C1											C1							4				E
																		-500	0	-5 ´ 10
								1					1							4			C1×R2
A :=	0						- R2×C2						C2			A =		0	-166.667 1.667´ 10			B :=		0
			1						1				-R1							3				0
							-										100		-100	-2 ´ 10
			L						L				L
	4
5 ´ 10
B =	0
	0

152

Определяем собственные числа матрицы состояния A => λ

			-1210.96+ 2454.41i
l := eigenvals (A)
	l =		-1210.96- 2454.41i
			-244.75

Для проверки определяем корни характеристического уравнения через импеданс схемы Z(p)

R2×

1

R2×

1

-1210.96- 2454.41i×

C1×p

C2×p

solve , p

p :=

+ L×p + R1

+

float, 6

®

-1210.96+ 2454.41i×

1

1

R2 +

R2 +

-244.752

C1×p

C2×p

Для проверки определяем принуждённые составляющие

i

:=

E

u := i

×(R + R )

u

:= i

×R

Lпр

R1 +

R2 + R2

C1

Lпр

1 2

C2

Lпр

2

54.545

uC1 = 54.545 iLпр = 0.455 uC2 = 45.455 -A− 1×B = 45.4550.455

Теперь обращаемся к одной из стандартных процедур решения системы дифференциальных. уравнений

D(t , x) := A×x + B
Расширенная матрица					t :=		1		t = 0.0041 T := 6×t
							¾¾¾¾→
							max(Re(l))
	0									0
y := rkfixed	0		,	0, T , N, D	Метод Рунге Кутта					t := y
	0

60
50
40
y 1 30
20
10
0	0.0041	0.0082	0.0123	0.0163	0.0204	0.0245
0
			t

153

	50
	40
2	30
y	20
	10
	0	0.0041	0.0082	0.0123	0.0163	0.0204	0.0245
	0
				t
	1
	0.8
3	0.6
y	0.4
	0.2
	0	0.0041	0.0082	0.0123	0.0163	0.0204	0.0245
	0
				t

Given

UL + iL×R

UL + iL×R +

iL +

×R

E

9×R

Find(UL) ®

9

×E -

19

×iL×R

10

10

Uo := 100

R := 10

L := 0.1

p :=

R×9×R

+ R + L×p solve , p

® -190

10×R

a := 2×

p

a = 380

E(t) := Uo×e- a×t

R i(t)

	E(t)	R
		9R
		L

B(t) :=

9

×

E(t)

A :=

-19

×

R

D(t , x) := A×x + B(t)

L

L

10

10

N := 103

T :=

4

p

y := rkfixed(0, 0, T , N, D)

t := y 0

9

1

B = -4.737 A := -B

B :=

×Uo×

10

19

R×

- L×a

10

154

	1.25
y 1	1
	0.75
i( t)	0.5
	0.25
	0	0.0053	0.0105	0.0158	0.0211
			t

Given

R

UL + iL×R×2

Uc + ic×R

(iL + ic)×R + (UL + iL×R×2)

E

L

ORIGIN:= 1

E

C

-5

×iL×R +

1

×E +

1

2 R

2

2

2

×Uc

R

Find(UL, ic) ®

-1 × iL×R - E +

Uc

2

R

R := 25

C := 100×10− 6

L := 0.1

E := 100

R

L

E

C

2 R

R

5×R

1

-625

1 E

500

-

2×L

2×L

A =

5

2 ×

L

B =

A :=

B :=

-

1

-

1

-5000 -200

1 ×

E

20000

2×C

2×R×C

2 R×C

1

-554.473

(L×p + 2×R)×

+ R

C×p

l := eigenvals (A)

z(p) := R +

l =

1

-270.527

L×p + 2×R +

+ R

C×p

solve , p

-554.473

-A

− 1

1.333

p := z(p)

®

×B =

float, 6

-270.527

66.667

iLpr :=

E

iLpr = 1.333

Ucpr := iLpr×R×2

Ucpr = 66.667

3×R

10

2

T := -Re(l1)

D(t , x) :=

A×x + B

N := 10

i := 1.. N

0

1

x := rkfixed

, 0, T, N, D

t := x

0

155

(x 2 ) 1
i
0	0.01	0.02
0
	ti

(x 3 ) 50
i
0	0.01	0.02
0
	ti

РГР №3. РАСЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

Цепь I-го порядка

Рассчитать ток источника ЭДС ie (t) и напряжение на источнике тока

U J (t) :

1)при постоянном источнике e(t) = E или

i(t) = I (E = U0 , I = I0 = 6 A) классическим и операторным мето-

дом и построить временной график;

2)при гармоническом источнике e(t) = Em sin(ωt + ψ) или

i(t) = Im sin(ωt + ψ) (Em = U0 , I = I0 = 6 A) классическим методом;

3)операторным методом и с помощью интеграла Дюамеля при экспоненциальном воздействии e(t) = U0e−αt или i(t) = I0e−αt ,

гдеa = 2 / t = 2 × p1 , t = 1/ p1 - постоянная времени;

4)с помощью интеграла Дюамеля в буквенном виде при импульсном воздействии

U	(1 + t / t ), t £ t		J		(1 + t / t ), t £ t
e(t) = 0	1	1 или	i(t) =	0	1	1
0,		t > t1	0,			t > t1

	t
0	t1

где t1 = 0,5τ, τ – постоянная времени цепи.

Построить качественный график ie(t) или Ui(t) для времени 0 ÷ 4t1. Предварительно привести подобные в аналитических выражениях.

156

Цепь II-го порядка

При постоянном воздействии E = Uo:

5)Классическим методом определить ток iL, и напряжение на конденсаторе UC;

Определить iL(t) - студентам с фамилиями на А – Л и UC(t) - с фамилиями на М – Я.

Построить графические зависимости iL (t) , или UC (t) ..

6)Методом переменных состояния определить ток индуктивности и напряжение на емкости iL (t) , UC (t) , напряжение на индуктивности UL (t) и ток емкостиiC (t) . Построить графические зависимо-

сти iL (t) ,UC (t) ,U L (t) , iC (t) .

7)Подтвердить расчеты пунктов 1,2, 6, 7 проделав работу на

ElectronicsWorkbench

ПРИМЕЧАНИЕ. На схемах показано положение ключей до комму-

тации.

Таблица 1

№ п/п		1		2	3		4		5	6	7		8		9		10
Uo,B		120		240	125		150		180	200	210		230		250		260
Ψ, град		90		0	180		-90		-90	-90	30		30		-30		-30
R, Ом		20		24	25		30		36	40	42		46		50		52
																Таблица 2
№ п/п	1			2	3		4		5	6		7		8		9		0
ω, с-1		100		200	400		400		500	500		800		125		250		50
L, Гн		0,5		0,25	0,2		0,1		0,08	0,16		0,05		0,6		0,3		0,4
C, мкФ		500		250	200		100		80	160		50		160		80		400

157

Схемы цепей I-го порядка
0		1			2
2R			R	R	R	8R
L				R		R
i(t)		e(t)		8R	e(t)	R
3R	R			L		L
3				4	7R
R		2R		R
	R				R
e(t)		8R		i(t)	2R
	L				L
5		6			7
R			R	R	R	4R
R				R		R
					i(t)
e(t)		i(t)		8R		R
С	R			С		С
8				9
R		2R		R	3R
	R				2R
e(t)		8R		i(t)	R
	С				С

158

Схемы цепей II-го порядка
1	2
	R	С	R

R		R
Е	R	С	Е
L			L

R

3		4	L
R	R	R
R			С

	L	R
	С Е
		Е

R

	Е		6
5				R
R	R	R	L	Е	С
	С	L

R

R

7	R			8
		R
				R
			Е
	С	R		R
			L

R	С
	Е
	R
	L

9				L
			0
	R
	R	С	R	R
				R
Е	R
			С	Е
	L

159

Лекция № 12

ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Электрическими линиями с распределенными параметрами называются такие линии, в которых для одного и того же момента времени ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от одной точки (сечения) линии к другой соседней точке.

Эффект непрерывного изменения тока и напряжения вдоль линии имеет место вследствие того, что линии обладают распределенными продольными и поперечными сопротивлениями.

Рис. 5.1

На рисунке 5.1 изображен участок линии с распределенными параметрами, через dx обозначен бесконечно малый элемент длины линии.

Врезультате утечки через поперечные сопротивления токи на соседних участках линии неодинаковы. Вследствие этого и падение напряжения на соседних поперечных сопротивлениях разделенных участком dx тоже отличаются.

Вэлектрических линиях с распределенными параметрами продольные сопротивления образованны активными сопротивлениями проводов линии и индуктивностями двух противостоящих друг другу участков линии длиной dx . Поперечные сопротивления состоят из сопротивлений утечки, появляющейся вследствие несовершенства изоляции между проводами линии, и емкостей, образованных противостоящими друг

другу элементами (участками) линии.

Линию с распределенными параметрами называют однородной, если равны друг другу все продольные сопротивления участков линии одинаковой длины, и если равны друг другу все поперечные сопротивления участков линии одинаковой длины.

160