Глава 19 минимизация издержек
Наша цель — изучение поведения фирм, максимизирующих прибыль как в конкурентной, так и в неконкурентной рыночной среде. В предшествующей главе мы начали наше исследование поведения фирмы, нацеленного на максимизацию прибыли в конкурентной среде, непосредственно с изучения задачи максимизации прибыли.
Однако ряд важных умозаключений может быть получен при более косвенном подходе к данной проблеме. Разделим задачу максимизации прибыли на два этапа. Вначале рассмотрим задачу минимизации издержек производства любого заданного объема выпуска, а затем выбор самого прибыльного объема выпуска. В настоящей главе мы проанализируем первый этап решения задачи —минимизацию издержек производства заданного объема выпуска.
19.1. Минимизация издержек
Предположим, что у нас имеется два фактора производства с ценами w11 и w22 и мы хотим найти самый дешевый способ производства заданного объема выпуска y. Если обозначить используемые количества каждого из двух факторов через x1 и x23, а производственную функцию для фирмы — через f(x1, x2)45, то эту задачу можно записать в виде
min w1x1 + w2x2
x1, x26
при f(x1, x2)7 = y.
При проведении подобного рода анализа следует сделать те же предупреждения, что и в предыдущей главе: убедитесь, что вы включили в подсчет издержек все издержки производства и что все измерения производятся в совместимом временном масштабе.
Решение этой задачи минимизации издержек — величина минимальных издержек, необходимых для достижения определенного объема выпуска, — будет зависеть от w1, w2 и y, поэтому мы запишем это решение как c(w1, w2, yH)9. Эта функция известна как функция издержек, и она будет представлять для нас значительный интерес. Функция издержек c(w1, w2, yJ)11 показывает минимальные издержки производства y единиц выпуска при ценах факторов, равных (w1, w212).
Чтобы понять решение этой задачи, изобразим функцию издержек и технологические ограничения для фирмы на одном графике. Изокванты дают нам технологические ограничения — все комбинации x1 и x213, с помощью которых можно произвести y.
Предположим, что мы хотим нанести на график все комбинации факторов, дающие один и тот же уровень издержек C. Мы можем записать это в виде выражения
w1x1 + w2x2 = C14,
которое может быть преобразовано в
x2 = —x115.
Легко увидеть, что это уравнение прямой, имеющей наклон —w1/w21617 и точку пересечения с вертикальной осью C/w218. Изменяя число C, мы получаем целое семейство изокост. Каждая точка изокосты выражает одни и те же издержки C, и более высокие изокосты связаны с большими издержками.
Таким образом, наша задача минимизации издержек может быть перефразирована следующим образом: найти на изокванте точку, с которой связана самая низкая изокоста. Такая точка показана на рис.19.1.
Обратите внимание на то, что если оптимальное решение предполагает использование некоторого количества каждого из факторов и если изокванта представляет собой гладкую кривую, то точка минимизации издержек будет характеризоваться условием касания: наклон изокванты должен быть равен наклону изокосты. Или, пользуясь терминологией гл.17, технологическая норма замещения должна равняться отношению цен факторов:
—= TRS(,) = —. (19.1)
(В случае краевого решения, когда один из двух факторов не используется, условие касания удовлетворяться не должно. Аналогичным образом, если производственная функция имеет "изломы", условие касания теряет смысл. Эти исключения подобны исключениям в ситуации с потребителем, поэтому в настоящей главе мы не будем акцентировать внимание на указанных случаях.)
Рис. 19.1 |
Минимизация издержек. Выбор количеств факторов, минимизирующих издержки производства, может определяться нахождением на изокванте точки, связываемой с самой низкой изокостой. |
|
Алгебра, скрывающаяся за уравнением (19.1), трудностей не представляет. Рассмотрим любое изменение структуры производства (Dx1, Dx2S), при котором выпуск остается постоянным. Такое изменение должно удовлетворять уравнению:
MP1(,)Dx1 + MP2(,)Dx2 = 0. (19.2)
Обратите внимание на то, что Dx1T и Dx2U должны иметь противоположные знаки; если вы увеличиваете используемое количество фактора 1, то для сохранения выпуска неизменным вам придется уменьшить используемое количество фактора 2.
Если мы находимся в точке минимума издержек, то данное изменение не может привести к снижению издержек, поэтому должно соблюдаться условие:
w1Dx1 + w2Dx2 0. (19.3)
Теперь рассмотрим изменение (—Dx1, —Dx2VW), при котором также производится постоянный объем выпуска и издержки также не могут снижаться. Это подразумевает, что
—w1Dx1 — w2Dx2 0. (19.4)
Сложив выражения (19.3) и (19.4), получим
w1Dx1 + w2Dx2 = 0. (19.5)
Решение уравнений (19.2) и (19.5) для Dx2/Dx1X дает нам
= —= —,
а это не что иное, как условие минимизации издержек, выведенное выше путем геометрических рассуждений.
Обратите внимание на некоторое сходство рис. 19.1 с решением задачи потребительского выбора, графически изображенным ранее. Хотя эти решения и выглядят одинаково, на самом деле они относятся к разным задачам. В задаче потребительского выбора прямая являлась бюджетным ограничением, и потребитель в поисках наиболее предпочитаемого положения двигался вдоль бюджетного ограничения. В задаче с производителем изокванта представляет собой технологическое ограничение, и производитель в поисках оптимального положения перемещается вдоль изокванты.
Выбор количеств факторов, минимизирующих издержки фирмы, вообще говоря, зависит от цен факторов и от того объема выпуска, который фирма хочет производить, поэтому мы записываем эти выбранные количества факторов в виде x1(w1, w2, yY)Z и x2(w1, w2, yAA)BB. Это так называемые функции условного спроса на факторы, или функции производного спроса на факторы. Они показывают взаимосвязь между ценами и выпуском и оптимальный выбор фирмой количества факторов при условии производства фирмой заданного объема выпуска y.
Обратите особое внимание на различие между функциями условного спроса на факторы и функциями спроса на факторы, максимизирующего прибыль, которые были рассмотрены в предыдущей главе. Функции условного спроса на факторы показывают выбор, минимизирующий издержки при заданном объеме выпуска; функции же спроса на факторы, максимизирующего прибыль, показывают выбор, максимизирующий прибыль при заданной цене фактора.
Функции условного спроса на факторы, как правило, не являются непосредственно наблюдаемыми: они представляют собой гипотетическое построение и отвечают на вопрос, сколько каждого фактора использовала бы фирма, если бы хотела произвести заданный объем выпуска самым дешевым способом. Однако функции условного спроса на факторы полезны в качестве способа отделения задачи определения оптимального объема выпуска от задачи определения метода производства, минимизирующего издержки.
ПРИМЕР: Минимизация издержек для случаев конкретных технологий
Предположим, что мы рассматриваем технологию, при которой факторы производства являются совершенными комплементами, так что f(x1, x2)29 = = min {x1, x2}DD.Тогда, если мы хотим произвести y единиц выпуска, нам явно потребуется y единиц x1EE и y единиц x2FF. Следовательно, минимальные издержки производства будут равны
c(w1, w2, y) = w1y + w2y = (w1 + w2)y. GG
Что можно сказать о случае технологии с использованием совершенных субститутов f(x1, x2)34 = x1 + x2II? Поскольку товары 1 и 2 выступают в производстве совершенными субститутами, ясно, что фирма будет использовать тот из них, который дешевле. Поэтому минимальные издержки производства y единиц выпуска составят w1yJJ или w2yKK в зависимости от того, какая из этих двух величин меньше. Другими словами:
c(w1, w2, y) = min{w1y, w2y} = min{w1, w2}y.
Наконец, рассмотрим технологию Кобба—Дугласа, описываемую формулой f(x1, x2)38 = MM. В этом случае мы можем применить технику дифференциального исчисления, чтобы показать, что функция издержек примет вид
c(w1, w2, yNN) = K,
где K есть константа, зависящая от a и от b. Подробности этого исчисления представлены в приложении.