vector

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

зависимость между ними.

( a , b , c ) =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

354.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

( a ,[ b , c ] ) = ([ a , b ], c )

поэтому этот символ можно убрать. Вычислительная формула x1 y1 z1

( a , b , c ) = x2 y2 z2 x3 y3 z3

справедлива только в декартовом базисе.

Смешанное произведение численно равно объему параллепипеда, построенного на перемножаемых векторах:

( a , b , c ) = ±V или |( a , b , c )| = V.

( a , b , c ) > 0, если ориентация тройки { a , b , c } совпадает с ориентацией { i , j , k }; ( a , b , c ) < 0,

если ориентации противоположны. Условие ( a , b , c ) = 0 есть условие компланарности векторов.

Пример 1. Доказать, что векторы a (2, -1, 3), b (3, 1, 2), c (2, -7, 6) компланарны и найти линейную

выполняется, поэтому векторы линейно зависимы; зависимость будем искать в виде c = λ a + μ b ,

так как

2¹ -1 ¹ 3 ,

31 2

векторы a , b линейно независимы и образуют базис множества { a , b , c }. Так как линейная зависимость означает такую же линейную зависимость координат, то получаем систему

2 = 2λ + 3μ,- = -λ + μ

7 ,6 = 3λ + 2μ.

Решив совместно два уравнения, получаем λ =4, μ =-3. В силу условия ( a , b , c ) =0 третье условие линейно зависит от первых, значит совместно с ними. Действительно, подставив для проверки λ и μ в третье, получаем тождество. Итак, c =4 a -3 b . Этот ответ можно было записать в виде c = (4, -3) в базисе { a , b }.

Пример 2. Доказать, что векторы a (3, -2, 2), b (1, -1, 2), c (2, -1, 1) образуют базис пространства и

найти координаты вектора d (4, -2, 1) в этом базисе. Так как

векторы a , b , c образуют базис пространства. Положив

d = x a + y b + z c

и подставив координаты, получаем систему на x , y , z с решением x =1, y =-2, z =1. Итак,

d = (1, -2, 1) в базисе { a , b , c }.

Пример 3. Найти высоту тетраэдра, построенного на векторах a (1, -2, 2), b (1, -6, -8), c (1, -2, 2).

Если отложить векторы из одной точки, то они определят тетраэдр (пирамиду) с ребрами a , b , c ;

объем											− 2
										1			2
										1			2
Vтетр.	= ±			1	( a , b , c ) = ±				1	1	− 6			− 8	= ±	1		(−60) = 10 .
Vтетр.	= ±			6	( a , b , c ) = ±					1	− 6			− 8	= ±			(−60) = 10 .
				6				6		1	− 4		12		6
										1	− 4		12
Площадь основания, построенного на векторах a , b есть площадь треугольника:
		1	[a, b] =			1	i	j			k		1
							i	j			k
S =							1	− 2			2	=		(28,10,−4)			=		(14,5,−2)	= 15.



	2			2			1	− 6 − 8					2

Тогда

H = 3V = 2.

8. Аффинная и декартова системы координат и простейшие задачи

Фигура {O, l1 , l 2 }, состоящая из точки O и векторного базиса {l1 , l 2 } называется аффинной системой координат (сокращенно- А.С.К.) на плоскости ( {O, l1 , l 2 , l 3 } в пространстве).

Всякая точка M определяет вместе с точкой О, называемой началом системы координат, вектор

OM , называемый радиусвектором точки М относительно данной системы координат. Будем обозначать радиус-вектор точки той же буквой, отличая его, как обычно, по стрелке:

OM = M .

Координатами точки называются координаты ее радиус-вектора. Итак,

M = x1 l1 + x2 l 2 M (x1 , x2 ) M (x1 , x2 ) .

Координаты вектора, заданного началом M '(x1' , x2' , x3' ) и концом M '(x1', x2' , x3') равны разностям соответствующих координат конца и начала:

M 'M ' = (x1' − x1' , x2' − x2' , x3' − x3' ) .

Каждой точке M (xi ) и вектору a(ai ) можно сопоставить точку M ' такую, что M 'M ' = a (см.

рис.6). из треугольника получаем

M ' = M + a ,

следовательно, M ' ( xi + ai ). Полученная точка M ' называется сдвигом точки M на вектор a .

M '

O Рис.6

Пример 1.По вершинам А(2, -1, 3), В(3, -2, 1), С(0, 1, 2) параллелограмма найти четвертую вершину D.

Возьмем вектор a = BA = (-1, 1, 2). Сдвиг точки С на вектор a дает точку D, следовательно D(-1, 2, 4).

Точка M прямой, определяемой данными точками M '(x' )								и M '(x ') , и удовлетворяющая
							i	i
условию M 'M ' = λ MM ' , называется делящей отрезок M 'M ' в отношении λ . Формула деления
имеет вид
M	'	=		M ' + λ M '
M		=			1 + λ
					1 + λ
или			x' + λx '
xi =			x' + λx '
				i	i	.
						.
				1 + λ

M Î [M 'M ' ] при λ ³ 0, M Ï [M 'M ' ] при λ < 0, т.е. лежит вне отрезка. При λ =1 получаем

x' + x '
координаты середины отрезка: C	i		i	. При	λ = -1 x		® ¥ , следовательно при
						i
		2

получаем бесконечно удаленную точку прямой.

Пример 2. Найти вектор медианы AC треугольника с вершинами M '(xi' ) , M '(xi') ,

		'	+ xi	'			'	'
Середина стороны M 'M ' есть точка C	xi				;	MC	xi	+ xi	- xi'	.
			2					2

λ = -1

M '(xi ') .

Задачи, связанные с вычислением длин, расстояний, площадей, объемов, углов, называют метрическими и решают до конца по координатам точек только в декартовой системе координат. Аффинная система координат с декартовым базисом называется декартовой системой координат (сокращенно- Д.С.К.).

В такой системе расстояние между точками M1 (x1 , y1 , z1 ) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) вычисляется по формуле

M1M 2 = M1M 2 = (x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 .

Площадь треугольника с вершинами M1 , M 2 , M 3

	S =			1	S	пар− ма			=	1	[M 1 M 2 , M 1M 3 ].


Объем тетраэдра-	2								2


Vтетр.	=	1	Vпар−да			=	1	(M 1M			2 , M 2 M 3 , M 1M 3 ) .

	6					6

9. Формулы преобразования координат.

Пусть на плоскости относительно аффинной системы {O, l1 , l 2 }, которую будем называть “ старой”, даны элементы

O* (c01 , c02 ) ,
l*	(c	, c ) ,	(1)
1	11	12

l*2 (c21 , c22 )

“новой” системы координат. Если точка M плоскости имеет старые координаты M (x1 , x2 )

и новые координаты M (x* , x* ) , то
1	2
	x = c		01	+ c x*		+ c	21	x*	,
	1		01	11	1		21	2
	x	= c	02	+ c	x* + c		22	x* .		(2)
	1		02	12	1		22	2

Эти формулы называются формулами преобразования А.С.К.. В частном случае, когда системы координат имеют разные начала O и O* , но общий базис {l1 , l 2 }, формулы преобразования приобретают вид

x1 = c01 + x1* , x2 = c02 + x2* ,

и называются формулами параллельного переноса системы координат.

Пример. Записать формулы перехода в аффинной системе координат с O* (2, -1), l*1 (3, 5),

l*2 (-4, 6) и найти новые координаты точки M (4, 15).

Коэффициентами первой (второй) формулы (2) должен быть столбец первых (вторых) координат в (1):

x1 = 2 + 3x1* − 4x2* , x2 = −1 + 5x1* + 6x2* .

Подставив в эти формулы вместо x1 , x2 координаты точки M , и вычислив x1* , x2* , получаем

M * (2, 1).

Формулы преобразования декартовой системы координат x = c01 + x* cosα − y* sin α , y = c02 + x* sin α − y* cosα

при O* = O (0,0) принимают вид

x = x* cosα − y* sin α ,

y= x* sin α − y* cosα ,

иназываются формулами поворота системы координат. Формулы параллельного переноса имеют вид:

x= c01 + x* ,

Задачи

Задача 1

Отложить от точки О векторы:

Векторы

Если дано

− 3b

= 2;

3a;−2b;2a

+ 4b;4a

= 3; (a, b ) = 30°

− 5b

= 3;

4a;−2b;3a

+ 2b;3a

=1; (a, b ) = 60°

+ 5b

= 2;

− 4a;3b;2a

− 3b;3a

= 3; (a, b ) = 45°

− 3b 0

= 3;

3a;−5b;2a

+ 4b; a

=1; (a, b ) = 30°

− b

= 2;

5a;−3b; a − 2b;3a

= 3; (a, b ) = 60°

=1;

− 4a;2b;3a

− 5b;2a − 3b

= 3; (a, b ) = 45°

+ 4b

= 2;

2a;−3b;4a

− b;5a

= 3; (a, b ) = 30°

+ 5b

= 3;

3a;−4b;2a

− 3b;4a

=1; (a, b ) = 60°

+ 2b

= 2;

4a;−2b;3a

− b;5a

= 3; (a, b ) = 45°

=1;

− 3a;4b;5a

− 2b;2a + 3b

= 3; (a, b ) = 30°

+ 5b

= 2;

2a;−3b;3a

− 4b; a

=1; (a, b ) = 60°

= 2;

− 2a;3b;4a

− b;2a + 3b

= 3; (a, b ) = 45°

+ 2b

=1;

3a;−2b;4a

− b;5a

= 3; (a, b ) = 30°

+ 4b

= 2;

4a;−3b;3a

− 2b; a

= 3; (a, b ) = 60°

+ b

=1;

5a;−4b;2a

−3b;3a

= 3; (a, b ) = 45°

= 3;

3a;−5b;3a

− b; a + 2b

= 2; (a, b ) = 30°

+ 2b

= 2;

2a;−4b;5a

−3b;3a

= 3; (a, b ) = 60°

+ b

= 3;

4a;−3b;3a

− 5b;2a

= 2; (a, b ) = 45°

+ b

=1;

3a;−4b;5a

− 2b;4a

= 3; (a, b ) = 30°

+ 5b

=1;

− 5a;3b;6a

− 3b;4a

= 2; (a, b ) = 60°

+ 2b

=1;

− 6a;5b;5a

− 3b;3a

= 3; (a, b ) = 45°

+ b

= 2;

4a;−3b;2a

− 4b;3a

= 3; (a, b ) = 30°

+ b

=1;

3a;−5b;2a

− 3b;6a

= 2; (a, b ) = 60°

+ 4b

= 2;

− 4a;3b;5a

−b;3a

= 3; (a, b ) = 45°

+ 3b

= 2;

5a;−2b;3a

− b;4a

= 4; (a, b ) = 30°

+ 5b

= 2;

3a;−6b;4a

− 2b;2a

=1; (a, b ) = 60°

+ 6b

= 2;

2a;−5b;3a

− 3b;5a

= 2; (a, b ) = 45°

+ 5b

= 2;

r r

4a;−3b;3a

− 4b;2a

= 1; (a, b ) = 60°

+ 3b

= 1;

r r

3a;−5b;5a

− 2b;6a

= 2; (a, b ) = 60°

+ 2b

= 2;

r r

5a;−4b;6a

− 3b;3a

= 3; (a, b ) = 45°

Задача 2

В правильном шестиугольнике ABCDEF с центром О:

N	Дано				Найти
1	r	r		= b	r	r	r
					AD, BE, CF
	AB = a, AC
2		r	r	= b	r		r
					AB, BC, CD
	AC = a, AE
3		r	r	= b	r	r	r
					AD, BE, CF
	AC = a, CE
4	r	r	r	= b		r
					AC, CE, EA
	AD = a, BE
5		r		= b	r	r	r
					BF , BD, DF
	AC = a, EC
6	r	r	r	= b		r
					AC, CE, EA
	FE = a, FD
7		r		= b	r		r
					AB, BC, CD
	EA = a, EC
8	r	r			r	r	r
					FB, BD, DF
	AD = a, FC = b
9	r	r	r			r
					AC, CE, EA
	AD = a, AB = b
10	r	r	r		r	r	r
					BF , BD, FD
	AE = a, AD = b
11	r	r	r	= b	r	r	r
					AD, BE, CF
	AF = a, AB
12		r		= b	r		r
					AB, BC, CD
	EC = a, EA
13	r	r	r		r	r	r
					BD, DF , FB
	AD = a, AE = b
14	r	r	r	= b	r		r
					AB, BC, CD
	BF = a, BD
15	r	r	r	= b		r
					AC, CE, EA
	BE = a, CF
16		r	r	= b	r	r	r
					BD, DF , FB
	AC = a, CE
17	r	r	r	= b		r
					AC, CE, EA
	AB = a, AF
18	r	r	r	= b	r	r	r
					AD, BE, CF
	FB = a, FD
19		r	r	= b		r
					AC, CE, EA
	OC = a, OE
20		r	r	= b		r
					OC, OE, OA
	AC = a, AE
21		r	r		r		r
					AB, BC, CD
	FC = a, FD = b
22	r	r	r		r	r	r
					BF , FD, DB
	OF = a, OD = b
23	r	r		= b		r	r
					BC, CD, DE
	FB = a, FC
24		r			r	r	r
					BF , FD, DB
	AC = a, AO = b
25	r	r				r
					AC, CE, EA
	OD = a, OC = b
26		r	r		r	r	r
					BF , FD, DB
	BC = a, CD = b
27	r	r			r		r
					AB, BC, CD
	AD = a, AC = b
28	r	r			r	r	r
					FB, BD, DF
	AD = a, FC = b
29	r	r	v	= b		r
					AC, CE, EA
	FD = a, FC
30		r	r		r		r
					OB, OC, OD
	EC = a, ED = b

Задача 3

В параллелограмме ABCD с центром О найти AB, AD , векторы высот BK (BK AD) ,

BL(BL DC) , если даны:

N	Дано	N	Дано
1	r	16	r
	DC = a, AC = b		DC = a, AO = b
2	r	17	r
	AO = a, OD = b		DC = a, OB = b
3	r	18	r
	AO = a, OB = b		OC = a, BO = b
4	r	19	r
	OD = a, OC = b		OC = a, AD = b
5	r	20	r
	CD = a, DO = b		BO = a, DC = b
6	r	21	r
	OB = a, OC = b		DO = a, OA = b
7	r	22	r
	AO = a, BO = b		DO = a, DA = b
8	r	23	r
	AC = a, AD = b		DO = a, CO = b
9	r	24	r
	OD = a, DC = b		DA = a, OB = b
10	r	25	r
	BD = a, OC = b		DA = a, OC = b
11	r	26	r
	BO = a, OA = b		DA = a, DO = b
12	r	27	r
	BD = a, AC = b		AD = a, OB = b
13	r	28	r
	AD = a, AO = b		OD = a, CO = b
14	r	29	r
	AC = a, DC = b		BO = a, AO = b
15	r	30	r
	AO = a,OB = b		AC = a, DC = b

Задача 4

В треугольнике ABC с медианами AE, BF , CY и медианной точкой М.

Найти AB, BC, CA , высоту BK и биссектрису AD , если дано:

N	Дано	N	Дано
1	r	16	r
	AY = a,YM = b		MY = a, MB = b
2	r	17	r
	AY = a, MC = b		MY = a, ME = b
3	r	18	r
	BY = a, AM = b		MF = a, AE = b
4	r	19	r
	YB = a, ME = b		MC = a, BF = b
5	r	20	r
	YA = a, AM = b		EM = a, EC = b
6	r	21	r
	BA = a, MY = b		EA = a, MB = b
7	r	22	r
	BF = a, AE = b		MA = a, MF = b
8	r	23	r
	FB = a, BE = b		MF = a, MY = b
9	r	24	r
	CE = a, BM = b		MY = a, ME = b
10	r	25	r
	EB = a, MY = b		MB = a, ME = b
11	r	26	r
	EC = a, MA = b		MB = a, MY = b
12	r	27	r
	BE = a, MC = b		MB = a, MC = b
13	r	28	r
	MB = a, BE = b		MB = a, MA = b
14	r	29	r
	CM = a, CE = b		MC = a, MY = b
15	r	30	r
	MF = a, ME = b		YC = a, EA = b

Задача 5

			r	r				r			r	r	r
			r	r				r			r	r	r
В недекартовом базисе			e1	, e2	найти		a		,	b		, (a, b ), cos(α) , если дано:
N	Вектор a														r		r	r	r
															r		r	r	r
					Вектор b										e1		e2	(e1	, e2 )

1	a(2,−1)				b (3,2)									3		3		60°

2	r													2		1		30°
	r	3)			b (1,	3)
	a(3,	3)			b (1,	3)
3	a(4,1)				b (3,−2)									1		3		120°

4	r													3		1		150°
	r	3)			b ( 3,−4)
	a(2,	3)			b ( 3,−4)
5	a(−1,3)				b (2,−5)									2		3		60°

6	r													1		3		30°
	r				b (2,−3 3)
	a(2 3,1)				b (2,−3 3)
7	a(5,1)				b (2,−3)									1		2		120°

8	r													2		1		150°
	r				b (1,3	3)
	a( 3,−2)				b (1,3	3)
9	a(4,1)				b (3,−2)									1		3		60°

10	r													2		3		30°
	r	3)			b (2	3,1)
	a(2,−	3)			b (2	3,1)
11	a(3,−2)				b (5,1)									1		4		120°

12	r													2		3		150°
	r				b (2	3,1)
	a( 3,2)				b (2	3,1)
13	a(4,1)				b (−5,2)									1		3		60°

14	r													2		1		30°
	r	3)			b (3,−2 3)
	a(2,	3)			b (3,−2 3)
15	a(3,−2)				b (1,4)									4		1		120°

16	r													2		1		150°
	r				b (2,	3)
	a( 3,−3)				b (2,	3)
17	a(3,2)				b (5,−2)									1		3		60°

18	r													2		1		30°
	r				b ( 3,−1)
	a(3,−2 3)				b ( 3,−1)
19	a(1,2)				b (−3,1)									3		2		120°

20	r													2		1		150°
	r				b (3,−2 3)
	a( 3,−1)				b (3,−2 3)
21	a(3,−2)				b (−1,4)									1		4		60°

22	r													3		1		30°
	r	3)			b ( 3,2)
	a(2,−	3)			b ( 3,2)
23	a(4,2)				b (1,4)									3		2		120°

24	r													1		4		150°
	r				b ( 3,2)
	a(3,−2 3)				b ( 3,2)
25	a(2,−5)				b (1,−3)									3		2		60°

26	r													1		3		30°
	r				b (−2, 3)
	a( 3,−4)				b (−2, 3)
27	a(4,2)				b (2,3)									3		1		120°

28	a(2,3)				b (1,4)											2		150°
28	a(2,3)				b (1,4)									3		2		150°

29	a(3,−4)				b (1,−2)									3		5		60°

30	a(5,1)				b (3,−1)									2				30°
30	a(5,1)				b (3,−1)									2		3		30°

Задача 6

В декартовом базисе i, j даны векторы a, b. Найти c, который с данными образует треугольник, площадь треугольника и косинус угла между данными векторами, скалярную и векторную проекцию вектора a на b.

N	Вектор a	Вектор b	N	Вектор a	Вектор b
1	a(3,−4)	b (3,−15)	16	a(10,24)	b (21,20)

2	a(−8,15)	b (5,12)	17	a(10,21)	b (4,3)

3	a(−5,12)	b (24,7)	18	a(3,4)	b (15,8)

4	a(7,−24)	b (24,10)	19	a(8,15)	b (12,5)

5	a(10,−24)	b (21,20)	20	a(5,12)	b (24,7)

6	a(20,−21)	b (4,3)	21	a(7,24)	b (24,10)

7	a(4,−3)	b (8,15)	22	a(10,24)	b (21,20)

8	a(15,−8)	b (5,12)	23	a(20,21)	b (15,8)

9	a(12,−5)	b (7,24)	24	a(8,15)	b (5,12)

10	a(24,−7)	b (10,24)	25	a(12,5)	b (7,24)

11	a(24,−10)	b (20,21)	26	a(24,7)	b (3,−4)

12	a(20,21)	b (4,3)	27	a(4,7)	b (12,5)

13	a(3,4)	b (15,8)	28	a(15,−8)	b (24,8)

14	a(8,15)	b (24,7)	29	a(4,−3)	b (5,−12)

15	a(7,24)	b (24,10)	30	a(10,24)	b (4,−3)

Задача 7

		r
Найти 1) {b : b a};
	r	если дан		r	.
	r			r
	2) b a,			b
N	Вектор a			r		N	Вектор a		r
N	Вектор a			b		N	Вектор a		b
				b					b


1	a(3,−4)		15			16	a(24,−7)	50

2	a(−8,15)		34			17	a(24,−10)	52

3	a(−5,12)		26			18	a(21,−20)	29

4	a(7,−24)		50			19	a(3,4)	15

5	a(10,−24)		13			20	a(8,15)	51

6	a(20,−21)		58			21	a(5,12)	39

7	a(4,3)		10			22	a(7,24)	75

8	a(15,8)		34			23	a(10,24)	52

9	a(12,5)		26			24	a(20,21)	58

10	a(24,7)		50			25	a(0,5)	10

11	a(24,10)		52			26	a(24,7)	30

12	a(21,20)		29			27	a(8,15)	51

13	a(4,−3)		20			28	a(5,12)	26

14	a(15,−8)		34			29	a(7,24)	25

15	a(12,−5)		26			30	a(3,0)	5

Задача 8

Найти { r}

1) b : b a ;

2)b a, если дан b .

N	a		r	N	a		r
N	a		b	N	a		b
			b				b


1	a(1,−2,2)	9		16	a(5,14,−2)	30

2	a(2,3,−6)	14		17	a(2,1,−2)	12

3	a(1,−4,8)	9		18	a(6,−3,2)	21

4	a(4,−4,7)	18		19	a(4,−1,8)	18

5	a(2,6,−9)	20		20	a(7,4,4)	27

6	a(6,6,7)	33		21	a(6,9,−2)	33

7	a(3,−4,−12)	26		22	a(6,7,6)	22

8	a(2,5,14)	30		23	a(4,−12,3)	13

9	a(1,2,2)	6		24	a(14,5,−2)	30

10	a(2,3,6)	21		25	a(2,2,1)	9

11	a(1,4,8)	18		26	a(2,6,−3)	21

12	a(7,4,4)	18		27	a(4,1,8)	18

13	a(9,−6,2)	22		28	a(7,4,4)	27

14	a(6,7,6)	33		29	a(6,9,2)	22

15	a(4,12,−3)	26		30	a(2,−9,6)	33

Задача 9

	r	r	если:
Найти c		a, b,	если:
N	a			b		r	N	a	b		r
						r					r
						c					c

1	a(1,2,2)			b (6,14,7)	30		16	a(8,4,1)	b (−6,−4,1)	9

2	a(1,4,8)			b (1,0,1)	18		17	a(−2,2,1)	b (−16,2,3)	15

3	a(2,−2,1)			b (14,−28,9)	60		18	a(−8,4,1)	b (5,−4,2)	18

4	a(4,−8,1)			b (−4,6,1)	9		19	a(−2,−2,1)	b (4,−10,3)	45

5	a(2,1,−2)			b (16,3,−2)	30		20	a(−8,−4,1)	b (4,4,3)	18

6	a(8,−1,−4)			b (−5,−2,4)	18		21	a(−2,1,−2)	b (−6,1,8)	15

7	a(1,−2,−2)			b (3,−10,4)	15		22	a(−4,1,−8)	b (0,1,−1)	27

8	a(1,−4,−8)			b (3,4,4)	27		23	a(2,1,2)	b (14,6,7)	30

9	a(2,1,2)			b (6,1,−8)	15		24	a(4,1,8)	b (−4,1,−6)	36

10	a(4,1,8)			b (0,1,1)	18		25	a(2,1,−2)	b (14,9,−28)	15

11	a(2,−1,2)			b (14,−6,7)	30		26	a(4,1,−8)	b (−4,2,5)	9

12	a(4,−1,8)			b (4,1,6)	9		27	a(2,−2,1)	b (2,−16,3)	45

13	a(2,−2,1)			b (7,−14,6)	30		28	a(4,−8,1)	b (−4,4,3)	18

14	a(8,−4,1)			b (1,0,1)	36		29	a(−2,2,1)	b (−10,−4,3)	15

15	a(2,2,1)			b (28,14,9)	15		30	a(−4,8,1)	b (0,1,1)	18

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>