Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

заочникам / диф ур / Lectures - 3

.pdf
Скачиваний:
32
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
2.49 Mб
Скачать

Оглавление

 

Введение

4

Лекция 1 Комплексные числа

5

Лекция 2 Дифференциальные уравнения первого порядка

14

Лекция 3 Дифференциальные уравнения первого порядка (окончание)

24

Лекция 4 Дифференциальные уравнения порядка выше первого

32

Лекция 5 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными

 

коэффициентами

41

Лекция 6 Системы дифференциальных уравнений

50

Лекция 7 Системы дифференциальных уравнений с постоянными

 

коэффициентами

58

Лекция 8 Основы теории рядов

67

Лекция 9 Основы теории рядов (окончание)

77

Лекция 10 Ряд Тейлора

85

Лекция 11 Ряды Фурье

94

Лекция 12 Двойной интеграл

103

Лекция 13 Тройной интеграл. Приложения двойных и тройных

 

интегралов к задачам геометрии и механики

113

Лекция 14 Криволинейные интегралы

122

Лекция 15 Функции комплексной переменной

131

Лекция 16 Элементарные функции комплексной переменной

141

Лекция 17 Аналитические функции комплексной переменной

151

Список литературы

162

Основные обозначения

163

Предметный указатель

164

3

Введение

Учебное пособие является продолжением первой и второй частей данного курса лекций и так же рассчитано на 34-часовой семестровый курс математики. Объем каждой лекции, приведенной в пособии, соответствует реальной двухчасовой устной лекции. Приведенные примеры предназначены в первую очередь для самоконтроля читателей. Определения и теоремы, как правило, снабжены поясняющими иллюстрациями. Всюду, где возможно, наиболее сложным понятиям даются геометрическая и (или) физическая интерпретации.

Курс лекций третьего семестра содержит основы теории рядов, основы теории функций комплексной переменной, основы теории дифференциальных уравнений и теории кратных и криволинейных интегралов.

4

Лекция 1(35) Комплексные числа

Арифметические операции с комплексными числами

К введению понятия комплексного числа привела невозможность извлечения квадратного корня из отрицательных чисел.

Определение: Полагаем 1 i . Это новое число i называется мнимой единицей.

Замечание 1: Из определения очевидно, что i 2 1

Замечание 2: Мнимая единица не является действительным числом, это новый объект, свойства которого будут изучены в данной лекции. Замечание 3: Введение в рассмотрение мнимой единицы позволяет извлекать квадратный корень из любого отрицательного числа. Например,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4 1

 

4 1 2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5 1

5 1 i 5

 

 

 

 

Определение:

Число

 

z a ib ,

где a,b - действительные числа,

называется комплексным числом. При этом действительное

число a

называется

действительной

частью

числа z a ib

и обозначается

a Re z ;

действительное число

b

называется

мнимой

частью

числа

z a ib и обозначается b Im z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание1: Любое действительное число

 

a является и комплексным, т.к.

a a i 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание

2: Запись

 

комплексного

числа виде

z a ib

называют

алгебраической формой комплексного числа.

 

 

 

 

Определение:

Комплексное

 

 

число

z a ib называется

числом,

комплексно сопряженным с числом z a ib .

 

 

 

 

Пример: 1) Если z 2 3i , то Re z 2 ,

Im z 3, z 2 3i

 

2) Если

z 5 , то Re z 5 ,

Im z 0 , z 5

 

 

 

Сложение,

вычитание,

умножение

и

деление

комплексных

чисел

z1 a ib и z2

с id определяются следующими правилами:

 

 

 

 

 

 

 

z1 z2 a c i b d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

z1 z2 a c i b d

z1 z2 a ib c id ac ibc iad i2bd ac bd i ad bc

т.е. при сложении, вычитании и умножении скобки раскрываются по

обычным правилам, учитывается условие i 2 1 и приводятся подобные.

 

z

 

a ib

 

 

a ib c id

 

ac bd i bc ad

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

c id

c id c id

c2 d 2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ac bd

i

bc ad

 

 

 

 

 

 

 

c2 d 2

 

 

 

 

 

c2 d 2

 

 

 

 

 

При делении необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число, комплексно сопряженное к знаменателю, раскрыть скобки и привести подобные.

Пример: Если z1 2 5i ,

z2

4 3i , то

 

 

 

 

 

z1 z2 2 4 i 5 3 6 8i ,

 

 

 

 

 

 

z1 z2 2 4 i 5 3 2 2i ,

 

 

 

 

 

 

z z

2

2 5i 4 3i 8 20i 6i 15i 2 7 26i ,

 

1

 

 

 

 

 

2 5i 4 3i

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

2 5i

 

8 20i 6i 15i 2

 

23 14i

 

 

1

 

 

 

 

 

4 3i 4 3i

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

4 3i

 

25

 

25

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

i

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидны следующие свойства комплексных чисел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. z1 z2

z2 z1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. z1 z2

z3 z1 z2 z3

 

 

 

 

3.z1 z2 z2 z1

4.z1 z2 z3 z1 z2 z3

5.z1 z2 z3 z1 z3 z2 z3

Теорема (связь арифметических операций и комплексного сопряжения)

__

1. z z

________

2. z1 z2 z1 z2 (число, сопряженное к сумме равно сумме

6

сопряженных чисел)

________

3. z1 z2 z1 z2 (число, сопряженное к разности равно разности сопряженных чисел)

________

4. z1 z2 z1 z2 (число, сопряженное к произведению равно произведению сопряженных чисел)

 

________

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

z

 

 

 

 

5.

 

1

 

1

 

(число, сопряженное

 

к частному

равно частному

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

сопряженных чисел)

 

 

 

Доказательство: 1. Очевидно.

 

 

 

Пусть z1

a ib ,

z2 с id , тогда z1

a ib , z2

с id

2., 3.

z1 z2

a c i b d , z1 z2

a c i b d и

________

z1 z2 a c i b d a ib c id z1 z2

________

z1 z2 a c i b d a ib id c z1 z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. z1 z2 ac bd i ad bc , z1

z2

ac bd i ad bc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

______

 

 

 

 

z1 z2 a ib c id ac bd i ad bc z1 z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

ac bd

 

bc ad

 

z

 

 

 

ac bd

 

bc ad

 

5.

 

1

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

,

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

c

2

d

2

c

2

d

2

 

 

2

 

c

2

d

2

c

2

 

d

2

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ib c id

 

 

ac bd i ad bc

 

____

 

z

 

 

 

a ib

 

 

 

z

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

c id

 

c id c id

 

 

 

 

 

 

 

c

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

Теорема доказана.

Замечание: Понятий «больше» и «меньше» для комплексных чисел не существует. Доказано, что невозможно ввести для комплексных чисел эти понятия таким образом, чтобы они были согласованы с арифметическими операциями.

7

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

 

В прямоугольной

системе координат на плоскости отложим

от начала

координат вектор

a;b

и сопоставим этот вектор комплексному числу

z a ib . Очевидно,

что такое сопоставление будет

взаимно

однозначным, т.е. каждому комплексному числу соответствует ровно один вектор и каждому вектору соответствует ровно одно комплексное число.

Из определений сложения векторов и сложения комплексных чисел следует, что сложение комплексных

чисел

 

можно

 

производить

геометрически

как

сложение

соответствующих им векторов.

Аналогично

можно

производить

вычитание

комплексных чисел как

соответствующих им векторов.

Пусть

z x iy

-

комплексное

число.

Рассмотрим

полярную

систему координат, совмещенную с прямоугольной обычным образом: полюс совпадает с началом прямоугольной системы координат, и полярная ось направлена по положительному направлению оси абсцисс. Тогда, поскольку

x cos

 

 

 

 

,

 

y sin

 

 

то z cos i sin .

 

Замечание: Запись комплексного числа в

виде

z cos i sin

называют

геометрической формой комплексного

числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение: Величина

 

x2

y 2

называется

модулем комплексного

числа

z x iy

и обозначается

 

z

 

. Величина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется аргументом комплексного числа z x iy .

Пример: Найти геометрическую форму комплексного числа z 1 i

8

Из рисунка 2 видно, что

 

 

 

 

3

 

2 ,

(это можно было определить и

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аналитически), значит,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

3

i sin

3

 

 

 

 

2 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

Пусть z1 1 cos 1 i sin 1 , z2 2 cos2 i sin2 , тогда

1z2 1 2 cos 1 i sin 1 cos 2 i sin 2

1 2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i cos 1 sin 2 sin 1 cos 2

1 2 cos 1 2 i sin 1 2

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

z1 1 cos 1 i sin 1

1 cos 1 i sin 1 cos 2 i sin 2

22 cos 2 i sin 2 2 cos 2 i sin 2 cos 2 i sin 2

1 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i sin 1 cos 2 sin 2 cos 1

2 cos 2 2 sin 2 2

1 cos 1 2 i sin 1 2

2

Значит, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Замечание: Из вышесказанного следует, что для любых комплексных чисел

z , z

2

имеют место равенства

 

z

z

2

 

 

 

z

 

 

 

z

2

 

и

z

1

 

 

 

z1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

z2

 

 

 

 

z cos i sin ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

тогда,

 

поскольку

 

 

при умножении

комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

 

 

z 2 2

cos 2 i sin 2

 

 

z3 z 2

z 3 cos 3 i sin 3

 

 

z 4 z3

z 4 cos 4 i sin 4 и т. д.

Кроме того,

 

 

 

 

 

 

 

z 1

1

 

 

 

cos i sin

1

cos i sin ,

cos i sin

 

 

 

 

 

 

9

z 2 z 1 2 2 cos 2 i sin 2 и т. д.

Таким образом, имеет место формула Муавра1:

 

z n n cos n i sin n при n Z .

Пример: Найти z 4 , если z 1 i

 

 

 

Решение: Поскольку z

 

 

3

i sin

3

 

 

2 cos

 

 

, то

 

 

 

 

 

4

 

4

 

 

4

 

 

4

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

2

cos 4

 

 

 

i sin 4

 

 

4 1

0

i 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

Определение:

Корнем

степени n из комплексного числа

z называется

комплексное число w такое, что wn z .

 

 

Очевидно,

 

что

если

z cos i sin ,

то

число

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w0 n

i sin

где под выражением n подразумевается

cos

 

,

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

арифметический корень степени n из действительного числа, является корнем степени n из числа z .

Кроме того, при любом целом

значении

числа k

комплексное число

 

 

 

 

2 k

i sin

2 k

также является корнем степени

 

 

 

wk n cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n из числа z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 k

 

i sin n

2 k

 

 

 

wn cos n

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2k i sin 2k cos i sin z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 k

 

 

 

2 k

 

 

 

 

 

wk n

 

 

i sin

Среди

чисел

 

cos

 

 

 

различными

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

являются только n чисел. Эти числа получаются, если числу k последовательно придавать значения k 0,1,2,..., n 1.

1 Муавр Абрахам де (1667-1754) английский математик

10

Пример1: Вычислить

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение: Найдем геометрическую форму числа i :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модуль числа равен 1, аргумент равен

, поэтому i cos

 

 

i sin

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Поскольку извлекается корень второй степени ( n 2 ), в формулу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 k

 

 

2 k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wk

n

cos

 

n

 

 

 

i sin

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

надо будет подставлять два значения:

k 0 и k 1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При k 0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

2

 

 

 

 

 

 

i sin

2

 

 

cos i sin

 

1

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

w

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При k 1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

i

 

w

 

 

 

 

1

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

i sin

 

 

 

 

 

cos

i sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2: Вычислить 6 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение: Модуль комплексного числа z 1 равен 1, аргумент равен 0.

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w0

 

 

 

 

1 cos

 

 

 

i sin

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

2

 

 

i sin

2

cos

 

i sin

 

 

1

 

i

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w1

 

1 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

i sin

 

4

cos

 

2

i sin

2

 

 

1

i

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w2

 

 

 

1 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

i sin

 

6

cos i sin 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w3

 

 

 

1 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

6

 

 

 

8

i sin

8

cos

4

 

i sin

4

 

 

1

 

i

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

w4

 

1 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

3

 

3

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

10

 

 

 

 

5

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

i sin

 

cos

i sin

 

1

i

 

3

 

 

 

 

w5

 

1 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

6

 

 

3

 

3

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание1: Если комплексные числа,

являющиеся корнями степени n из

1, отметить на комплексной плоскости, то они будут являться вершинами правильного n -угольника с центром в начале координат.

Замечание 2: Для любого комплексного числа с уравнение xn c имеет ровно n различных комплексных корней.

Комплексные корни алгебраических уравнений

Понятие комплексного числа позволяет решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом и даже с комплексными коэффициентами.

Пример 1: Решить уравнение x2 4x 13 0

 

 

 

 

 

 

4

4 2 4 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

4

 

36

 

 

4 6i

2 3i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2: Решить уравнение x2 1 2i x i 1 0

 

 

 

 

1 2i

 

 

 

1 2i 1

. x i; x

 

 

x

1 2i 2 4 i 1

 

1 i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1,2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание: Если комплексное число z a ib является корнем уравнения с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное к нему число z a ib также является корнем того же уравнения.

Значит, любой многочлен второй степени можно представить в виде

произведения двух многочленов первой степени. Так, в примере 1:

x2 4x 13 x 2 3i x 2 3i , а в примере 2: x2 1 2i x i 1 x i x i 1

Всвязи с этим основную теорему алгебры, сформулированную в лекции 8 второго семестра можно переформулировать так: любой многочлен с комплексными коэффициентами может быть представлен в виде произведения многочленов первой степени с комплексными коэффициентами.

Вдальнейшем удобно будет считать, что многочлен степени n имеет

ровно n комплексных корней (среди которых могут быть и одинаковые).

12

Соседние файлы в папке диф ур