Оглавление |
|
Введение |
4 |
Лекция 1 Комплексные числа |
5 |
Лекция 2 Дифференциальные уравнения первого порядка |
14 |
Лекция 3 Дифференциальные уравнения первого порядка (окончание) |
24 |
Лекция 4 Дифференциальные уравнения порядка выше первого |
32 |
Лекция 5 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными |
|
коэффициентами |
41 |
Лекция 6 Системы дифференциальных уравнений |
50 |
Лекция 7 Системы дифференциальных уравнений с постоянными |
|
коэффициентами |
58 |
Лекция 8 Основы теории рядов |
67 |
Лекция 9 Основы теории рядов (окончание) |
77 |
Лекция 10 Ряд Тейлора |
85 |
Лекция 11 Ряды Фурье |
94 |
Лекция 12 Двойной интеграл |
103 |
Лекция 13 Тройной интеграл. Приложения двойных и тройных |
|
интегралов к задачам геометрии и механики |
113 |
Лекция 14 Криволинейные интегралы |
122 |
Лекция 15 Функции комплексной переменной |
131 |
Лекция 16 Элементарные функции комплексной переменной |
141 |
Лекция 17 Аналитические функции комплексной переменной |
151 |
Список литературы |
162 |
Основные обозначения |
163 |
Предметный указатель |
164 |
3
Введение
Учебное пособие является продолжением первой и второй частей данного курса лекций и так же рассчитано на 34-часовой семестровый курс математики. Объем каждой лекции, приведенной в пособии, соответствует реальной двухчасовой устной лекции. Приведенные примеры предназначены в первую очередь для самоконтроля читателей. Определения и теоремы, как правило, снабжены поясняющими иллюстрациями. Всюду, где возможно, наиболее сложным понятиям даются геометрическая и (или) физическая интерпретации.
Курс лекций третьего семестра содержит основы теории рядов, основы теории функций комплексной переменной, основы теории дифференциальных уравнений и теории кратных и криволинейных интегралов.
4
Лекция 1(35) Комплексные числа
Арифметические операции с комплексными числами
К введению понятия комплексного числа привела невозможность извлечения квадратного корня из отрицательных чисел.
Определение: Полагаем 1 i . Это новое число i называется мнимой единицей.
Замечание 1: Из определения очевидно, что i 2 1
Замечание 2: Мнимая единица не является действительным числом, это новый объект, свойства которого будут изучены в данной лекции. Замечание 3: Введение в рассмотрение мнимой единицы позволяет извлекать квадратный корень из любого отрицательного числа. Например,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
4 1 |
|
4 1 2i |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
5 |
5 1 |
5 1 i 5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Определение: |
Число |
|
z a ib , |
где a,b - действительные числа, |
||||||||||||||||||||||
называется комплексным числом. При этом действительное |
число a |
|||||||||||||||||||||||||
называется |
действительной |
частью |
числа z a ib |
и обозначается |
||||||||||||||||||||||
a Re z ; |
действительное число |
b |
называется |
мнимой |
частью |
числа |
||||||||||||||||||||
z a ib и обозначается b Im z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Замечание1: Любое действительное число |
|
a является и комплексным, т.к. |
||||||||||||||||||||||||
a a i 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Замечание |
2: Запись |
|
комплексного |
числа виде |
z a ib |
называют |
||||||||||||||||||||
алгебраической формой комплексного числа. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Определение: |
Комплексное |
|
|
число |
z a ib называется |
числом, |
||||||||||||||||||||
комплексно сопряженным с числом z a ib . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Пример: 1) Если z 2 3i , то Re z 2 , |
Im z 3, z 2 3i |
|
||||||||||||||||||||||||
2) Если |
z 5 , то Re z 5 , |
Im z 0 , z 5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Сложение, |
вычитание, |
умножение |
и |
деление |
комплексных |
чисел |
||||||||||||||||||||
z1 a ib и z2 |
с id определяются следующими правилами: |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z1 z2 a c i b d |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
z1 z2 a c i b d
z1 z2 a ib c id ac ibc iad i2bd ac bd i ad bc
т.е. при сложении, вычитании и умножении скобки раскрываются по
обычным правилам, учитывается условие i 2 1 и приводятся подобные. |
|||||||||||||
|
z |
|
a ib |
|
|
a ib c id |
|
ac bd i bc ad |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z |
c id |
c id c id |
c2 d 2 |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ac bd |
i |
bc ad |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
c2 d 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
c2 d 2 |
|
|
|
|
|
При делении необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число, комплексно сопряженное к знаменателю, раскрыть скобки и привести подобные.
Пример: Если z1 2 5i , |
z2 |
4 3i , то |
|
|
|
|
|||||||||||
|
z1 z2 2 4 i 5 3 6 8i , |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
z1 z2 2 4 i 5 3 2 2i , |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
z z |
2 |
2 5i 4 3i 8 20i 6i 15i 2 7 26i , |
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
2 5i 4 3i |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z |
|
|
|
|
2 5i |
|
8 20i 6i 15i 2 |
|
23 14i |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
4 3i 4 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z |
|
4 3i |
|
25 |
|
25 |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
i |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
25 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Очевидны следующие свойства комплексных чисел: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. z1 z2 |
z2 z1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. z1 z2 |
z3 z1 z2 z3 |
|
|
|
|
3.z1 z2 z2 z1
4.z1 z2 z3 z1 z2 z3
5.z1 z2 z3 z1 z3 z2 z3
Теорема (связь арифметических операций и комплексного сопряжения)
__
1. z z
________
2. z1 z2 z1 z2 (число, сопряженное к сумме равно сумме
6
сопряженных чисел)
________
3. z1 z2 z1 z2 (число, сопряженное к разности равно разности сопряженных чисел)
________
4. z1 z2 z1 z2 (число, сопряженное к произведению равно произведению сопряженных чисел)
|
________ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
5. |
|
1 |
|
1 |
|
(число, сопряженное |
|
к частному |
равно частному |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|||
сопряженных чисел) |
|
|
|
||||||
Доказательство: 1. Очевидно. |
|
|
|
||||||
Пусть z1 |
a ib , |
z2 с id , тогда z1 |
a ib , z2 |
с id |
|||||
2., 3. |
z1 z2 |
a c i b d , z1 z2 |
a c i b d и |
________
z1 z2 a c i b d a ib c id z1 z2
________
z1 z2 a c i b d a ib id c z1 z2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
________ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. z1 z2 ac bd i ad bc , z1 |
z2 |
ac bd i ad bc |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
______ |
|
|
|
||||
|
z1 z2 a ib c id ac bd i ad bc z1 z2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
________ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
z |
|
ac bd |
|
bc ad |
|
z |
|
|
|
ac bd |
|
bc ad |
|
||||||||||||||||||||
5. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z2 |
c |
2 |
d |
2 |
c |
2 |
d |
2 |
|
|
2 |
|
c |
2 |
d |
2 |
c |
2 |
|
d |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ib c id |
|
|
ac bd i ad bc |
|
____ |
||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
a ib |
|
|
|
z |
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z2 |
|
|
|
c id |
|
c id c id |
|
|
|
|
|
|
|
c |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
Теорема доказана.
Замечание: Понятий «больше» и «меньше» для комплексных чисел не существует. Доказано, что невозможно ввести для комплексных чисел эти понятия таким образом, чтобы они были согласованы с арифметическими операциями.
7
Геометрическая интерпретация комплексных чисел |
|
||
В прямоугольной |
системе координат на плоскости отложим |
от начала |
|
координат вектор |
a;b |
и сопоставим этот вектор комплексному числу |
|
z a ib . Очевидно, |
что такое сопоставление будет |
взаимно |
однозначным, т.е. каждому комплексному числу соответствует ровно один вектор и каждому вектору соответствует ровно одно комплексное число.
Из определений сложения векторов и сложения комплексных чисел следует, что сложение комплексных
чисел |
|
можно |
|
производить |
геометрически |
как |
сложение |
||
соответствующих им векторов. |
||||
Аналогично |
можно |
производить |
||
вычитание |
комплексных чисел как |
|||
соответствующих им векторов. |
||||
Пусть |
z x iy |
- |
комплексное |
|
число. |
Рассмотрим |
полярную |
систему координат, совмещенную с прямоугольной обычным образом: полюс совпадает с началом прямоугольной системы координат, и полярная ось направлена по положительному направлению оси абсцисс. Тогда, поскольку
x cos |
|
|
|
|
|
, |
|
y sin |
|
|
|
то z cos i sin . |
|
||
Замечание: Запись комплексного числа в |
|||
виде |
z cos i sin |
называют |
|
геометрической формой комплексного |
числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение: Величина |
|
x2 |
y 2 |
|||||
называется |
модулем комплексного |
числа |
||||||
z x iy |
и обозначается |
|
z |
|
. Величина |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется аргументом комплексного числа z x iy .
Пример: Найти геометрическую форму комплексного числа z 1 i
8
Из рисунка 2 видно, что |
|
|
|
|
3 |
|
||||||
2 , |
(это можно было определить и |
|||||||||||
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
аналитически), значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z |
|
|
3 |
i sin |
3 |
|
|
|||||
|
|
|||||||||||
2 cos |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
Пусть z1 1 cos 1 i sin 1 , z2 2 cos2 i sin2 , тогда
1z2 1 2 cos 1 i sin 1 cos 2 i sin 2
1 2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i cos 1 sin 2 sin 1 cos 2
1 2 cos 1 2 i sin 1 2
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
z1 1 cos 1 i sin 1 |
1 cos 1 i sin 1 cos 2 i sin 2 |
22 cos 2 i sin 2 2 cos 2 i sin 2 cos 2 i sin 2
1 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i sin 1 cos 2 sin 2 cos 1
2 cos 2 2 sin 2 2
1 cos 1 2 i sin 1 2
2
Значит, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Замечание: Из вышесказанного следует, что для любых комплексных чисел
z , z |
2 |
имеют место равенства |
|
z |
z |
2 |
|
|
|
z |
|
|
|
z |
2 |
|
и |
z |
1 |
|
|
|
z1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
z2 |
|
|
||||
|
|
z cos i sin , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть |
тогда, |
|
поскольку |
|
|
при умножении |
комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются: |
||||||||
|
|
z 2 2 |
cos 2 i sin 2 |
|
||||
|
z3 z 2 |
z 3 cos 3 i sin 3 |
|
|||||
|
z 4 z3 |
z 4 cos 4 i sin 4 и т. д. |
||||||
Кроме того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
1 |
|
|
|
cos i sin |
1 |
cos i sin , |
|
cos i sin |
|
|||||||
|
|
|
|
|
9
z 2 z 1 2 2 cos 2 i sin 2 и т. д.
Таким образом, имеет место формула Муавра1: |
|
|||||
z n n cos n i sin n при n Z . |
||||||
Пример: Найти z 4 , если z 1 i |
|
|
|
|||
Решение: Поскольку z |
|
|
3 |
i sin |
3 |
|
|
||||||
2 cos |
|
|
, то |
|||
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z |
|
|
2 |
cos 4 |
|
|
|
i sin 4 |
|
|
4 1 |
0 |
i 4 |
||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
Определение: |
Корнем |
степени n из комплексного числа |
z называется |
|||||||||
комплексное число w такое, что wn z . |
|
|
||||||||||
Очевидно, |
|
что |
если |
z cos i sin , |
то |
число |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w0 n |
i sin |
где под выражением n подразумевается |
||||||||||
cos |
|
, |
||||||||||
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
арифметический корень степени n из действительного числа, является корнем степени n из числа z .
Кроме того, при любом целом |
значении |
числа k |
комплексное число |
||||||||||||||
|
|
|
|
2 k |
i sin |
2 k |
также является корнем степени |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
wk n cos |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n из числа z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Действительно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 k |
|
i sin n |
2 k |
|
|
|
|||||||
wn cos n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
k |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos 2k i sin 2k cos i sin z |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k |
|
|
|
2 k |
||
|
|
|
|
|
wk n |
|
|
i sin |
|||||||||
Среди |
чисел |
|
cos |
|
|
|
различными |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
являются только n чисел. Эти числа получаются, если числу k последовательно придавать значения k 0,1,2,..., n 1.
1 Муавр Абрахам де (1667-1754) английский математик
10
Пример1: Вычислить |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Решение: Найдем геометрическую форму числа i : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Модуль числа равен 1, аргумент равен |
, поэтому i cos |
|
|
i sin |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
Поскольку извлекается корень второй степени ( n 2 ), в формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k |
|
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wk |
n |
cos |
|
n |
|
|
|
i sin |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
надо будет подставлять два значения: |
k 0 и k 1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При k 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
i sin |
2 |
|
|
cos i sin |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
w |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При k 1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
i |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
w |
|
|
|
|
1 |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
cos |
i sin |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2: Вычислить 6 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: Модуль комплексного числа z 1 равен 1, аргумент равен 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
w0 |
|
|
|
|
1 cos |
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
i sin |
2 |
cos |
|
i sin |
|
|
1 |
|
i |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
w1 |
|
1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
i sin |
|
4 |
cos |
|
2 |
i sin |
2 |
|
|
1 |
i |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
w2 |
|
|
|
1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
i sin |
|
6 |
cos i sin 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
w3 |
|
|
|
1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
|
|
6 |
|
|
|
8 |
i sin |
8 |
cos |
4 |
|
i sin |
4 |
|
|
1 |
|
i |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
w4 |
|
1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
6 |
|
|
3 |
|
3 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
10 |
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
6 |
|
|
i sin |
|
cos |
i sin |
|
1 |
i |
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
w5 |
|
1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
6 |
|
6 |
|
|
3 |
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Замечание1: Если комплексные числа, |
являющиеся корнями степени n из |
1, отметить на комплексной плоскости, то они будут являться вершинами правильного n -угольника с центром в начале координат.
Замечание 2: Для любого комплексного числа с уравнение xn c имеет ровно n различных комплексных корней.
Комплексные корни алгебраических уравнений
Понятие комплексного числа позволяет решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом и даже с комплексными коэффициентами.
Пример 1: Решить уравнение x2 4x 13 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4 |
4 2 4 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
4 |
|
36 |
|
|
4 6i |
2 3i |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1,2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 2: Решить уравнение x2 1 2i x i 1 0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 2i |
|
|
|
1 2i 1 |
. x i; x |
|
|
|||||||||||
x |
1 2i 2 4 i 1 |
|
1 i |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
1,2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание: Если комплексное число z a ib является корнем уравнения с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное к нему число z a ib также является корнем того же уравнения.
Значит, любой многочлен второй степени можно представить в виде
произведения двух многочленов первой степени. Так, в примере 1:
x2 4x 13 x 2 3i x 2 3i , а в примере 2: x2 1 2i x i 1 x i x i 1
Всвязи с этим основную теорему алгебры, сформулированную в лекции 8 второго семестра можно переформулировать так: любой многочлен с комплексными коэффициентами может быть представлен в виде произведения многочленов первой степени с комплексными коэффициентами.
Вдальнейшем удобно будет считать, что многочлен степени n имеет
ровно n комплексных корней (среди которых могут быть и одинаковые).
12