заочникам / ряды / ряды

ТЕОРИЯ РЯДОВ

11

Пример 16. Заменяя в предыдущем примере x на 2x и деля обе части полученного равенства

пополам, мы придём к разложению

π

x

∞ sin 2nx

X

(23)

4

−

2

=

2n

,

0 < x < π.

n=1

Если теперь из равенства (22) вычесть равенство (23), мы получим

π

=

∞

sin(2n − 1)x

,

0 < x < π.

(24)

X

4

2n

−

1

n=1

В частности, при x = π получается уже известный ряд Лейбница

2

π

1

1

1

= 1 −

+

−

+ . . .

4

3

5

7

Пример 17. Рассмотрим функцию

f (x) =

x2

−

πx

4

2

и разложим её по косинусам на отрезке [0, π]. Вычисляя коэффициенты Фурье по формулам

1

π

x2

πx

2

π

x2

πx

a0 =

Z0

−

dx,

an =

Z0

−

cos nx dx,

π

4

2

π

4

2

получаем

x2

πx

π2

∞

cos nx

X

4

−

2

= −

6

+

n2

.

n=1

В частности, при x = 0 получается знаменитый ряд Эйлера

π2

∞

1

=

X

.

6

n=1

n2