- •Контрольные вопросы:
- •Сумма целых неотрицательных чисел существование и единственность суммы
- •Основные законы сложения целых неотрицательных чисел
- •Произведение целых натуральных чисел
- •Контрольные вопросы:
- •Разность целых неотрицательных чисел
- •Частное целых неотрицательных чисел
- •Контрольные вопросы:
- •Раздел VI. Рациональные числа
- •Контрольные вопросы:
- •Множество рациональных чисел Положительные рациональные числа
- •Арифметические операции во множестве рациональных чисел
- •Свойства операций на множестве рациональных чисел
- •Свойства множества положительных рациональных чисел
- •Контрольные вопросы:
- •Раздел VII. Текстовые задачи
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные вопросы:
4-й семестр
Лекция № 28. ОПЕРАЦИИ НАД ЦЕЛЫМИ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ (КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ).
Контрольные вопросы:
1. Определение суммы двух целых неотрицательных чисел. Операция сложения.
2. Существование и единственность суммы.
3. Законы сложения.
4. Произведение двух целых неотрицательных чисел. Операция умножения.
5. Существование и единственность произведения.
6. Законы умножения.
7. Определение произведения двух целых неотрицательных чисел.
8. Связь с начальным курсом математики
Литература: (2) гл. II, 12 пп 54-56; (3) гл. III, §§ 13, 15; (4) гл. II, 10-15; (5) гл. II, 5 пп 38-43; (6) гл. VIII, с. 240-249.
Сумма целых неотрицательных чисел существование и единственность суммы
Определение: Суммой целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число a + b, равное числу элементов в объединении непересекающихся множеств А и В, таких, что m(A) = a, m(B) = b
a + b – сумма, a и b – слагаемые.
Теорема: сумма любых двух целых неотрицательных чисел существует и она единственна.
Доказательство:
Существование: пусть a и b – целые неотрицательные числа, тогда a=m(A), b=m(B), где А и В – множества любой природы и АВ=Ø. Так как А ≠Ø и В≠Ø, то АВ≠Ø и является конечным множеством =>с Z0, что с = m(AB). Тогда по определению суммы целых неотрицательных чисел с и есть сумма чисел a и b.
II Единственность: покажем, что сумма a+b единственна и не зависит от выбора представителей в классах эквивалентности.
Пусть числа a и b кроме множеств А и В определяют множества А1 и B1, и пусть с1 = m (A1B1). Покажем, что с = с1 (а это будет тогда, когда АВ~A1B1).
Дано: A ~ A1, B ~ B1, A1 B1=A B = Ø.
Доказать: A B ~ A1 B1.
Для того, чтобы показать, что А В ~ , нужно показать, что между ними существует хотя бы одно взаимно однозначное соответствие. Построим его.
Т.о. будет взаимно однозначно поставлен элемент из множестваА1В1 =>.
Операция отыскания суммы называется сложением.
Основные законы сложения целых неотрицательных чисел
1. Коммутативный закон: (а,b Z0◦) [a + b = b + a]
Пусть, а = m (A), b = m (B), A B = Ø.
Так как на множестве всех множеств справедлив коммутативный закон операции объединения: АВ =ВA, а равные множества имеют равные численности, то m (AB) = т(BA).
Тогда:
2. Ассоциативный закон: (а,b, c Î Z0) [(a + b) + c = a + (b + c)]
Доказательство опирается на свойство ассоциативности объединения множеств:
(A B)C = A(BC) => m ((AB)C) = m (A(BC))
Пусть даны К конечных множеств, причем никакие два из них не имеют общих элементов: тогда, если а1 = m (A1), a2 = m (A2)… ak = m (Ak), то a1 + a2 + …+ ak = m (A1 A2 … Ak).
Произведение целых натуральных чисел
Определение: Произведением целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число a * b, удовлетворяющее следующим условиям:
1) a * b = a + a +…+ a, при b > 1,
2) a * 1 = a, при b = 1,
3) a * 0 = 0, при b = 0.
Действие нахождения произведения чисел a и b называется умножением, а числа а и b – множителями.
Дадим теретико-множественное обоснование этого определения.
Пусть Аi ∩Аj= Ø и m (Aj) = m (Aj) = a.
Если множеств будет «b», а каждое из них содержит по «а» элементов, то множество A1A2…Ab будет содержать а * b элементов, т.к. m (A1A2…Ab) = m (A1) + m (A2) +…+ m (Ab) = a + a +…+ a = a * b.
Существование и единственность произведения целых неотрицательных чисел при таком подходе вытекает из существования и единственности суммы любого конечного числа слагаемых. Существование и единственность произведений а * 1 и а * 0 принимается по определению.
Именно с таким подходом к определению произведения целых неотрицательных чисел знакомятся учащиеся в начальной школе.
Однако для вывода законов умножения и правил, связывающих умножение с другими действиями, удобен другой подход.
Определение: Произведением целых неотрицательных чисел а и b называется целое неотрицательное число а * b, равное числу элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что m (A) = a, m (B) = b.
a * b = m (A B), a = m (A),где b = m (B) .
1. Если b = 1, то m (B) = 1 => B = {y1}, пусть A = {x1, x2,…xa}, т.е. m (A) = a
A B = {(x 1 y1), (x 2 y1),..., (x a y1)} и тогда очевидно, что m (A B) = a. A так как m (A B) = m (A) * m (B) (правило произведения), то a * 1 = a.
2. Если b = 0, то m (B) = 0 => B = Ø, тогда A B = Ø => m (AB) =0= m (A) * m (B).Откуда получаем: a * 0 = 0.
Теорема: Произведение любых двух целых неотрицательных чисел существует и оно единственно.
Доказательство:
I. Существование.
Так как по определению a * b = m (A B), то для доказательства достаточно показать существование такого декартового произведения множеств. Но для любых конечных множеств множество (АВ) существует, значит существует и целое неотрицательное число m (A B), которое принимается за произведение чисел a и b, где a = m (A), b = m (B).
II Единственность.
Пусть A ~ A1 и B ~ B1 и m (A) = m (A1) = a, m (B) = m (B1) = b. Найдем A B и A1 B1 .
Пусть a * b = m (A B)и a * b = m (A1 B1).
Чтобы показать единственность произведения, достаточно показать, что А * В ~ А1 * В1. А для этого нужно показать, что между этими множествами существует взаимно однозначное соответствие.
Так как A ~ A1, то существует взаимно однозначное соответствие , при котором
Так как В ~ B1, то существует взаимно однозначное соответствие при котором
Тогда зададим соответствие f (x, y) таким образом, что
, т.е.
Очевидно, что f является взаимно однозначным соответствием, т.к. любой паре (x,y) ставится в соответствие единственная пара (x1, y1) и наоборот.
Основные законы действия умножения
2)
3)
4)
Доказательство этих законов предлагается провести самостоятельно.
Лекция № 29. ОПЕРАЦИИ НАД ЦЕЛЫМИ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ (КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ).