Операции над высказываниями

Основой для выполнения операций над высказываниями являются логические связки.

Логические связки – это союзы: «и»; «или»; «если…, то»; частица «не»; слова «неверно, что»; «тогда и только тогда,…когда»; «если и только если,…если»; «либо, либо».

С помощью этих слов из высказываний строятся другие высказывания, а процедура эта называется операцией над высказыванием.

Отрицание высказываний

Определение: Отрицанием высказывания А называется высказывание «не А» (неверно, что А), которое истинно, если А - ложно и ложно, если А – истинно.

Операцию построения отрицания высказывания также называют отрицанием высказывания. Определение можно оформить с помощью таблицы истинности:

и	л
л	и

При построении отрицания А с помощью словосочетания «неверно, что» это словосочетание ставится перед всем предложением, частица «не» ставится перед сказуемым.

Например, А: 5 – 12 = 10 – ложное высказывание;

: Неверно, что 5 – 12 = 10 или 5 - 12 не равно 10: (5-12 ≠ 10).

В: Дети нашли три жёлудя – истинное высказывание;

: Дети не нашли три жёлудя (отрицание высказывания В) – ложное высказывание

- Неверно, что дети нашли три жёлудя. – ложное высказывание.

Законы отрицания:

Пусть дано высказывание – отрицание высказывания А, – отрицание отрицания А или двойное отрицание.

Закон двойного отрицания: .

Докажем его:

и	л	и
л	и	л

Очевидно, что А и одновременно истинны или ложны. А и равносильны: Например, пусть А: 5 – 12 = 10. Тогда : 5 – 12 ≠ 10. : 5 – 12 = 10. или : неверно, что 5 – 12 ≠ 10. Откуда .

Конъюнкция двух высказываний

Определение: Конъюнкцией двух высказываний А,В, называется высказывание

А и В , которое истинно в том и только в том случае, когда оба высказывания одновременно истинны.

Операцию построения конъюнкции двух высказываний также называют конъюнкцией.

Строится конъюнкция с помощью логической связки «и», обозначается: . И тогда высказывание «А и В» имеет вид: .

Таблица истинности конъюнкции

высказываний

А	В
и и л л	и л и л	и л л л

Пусть даны высказывания: А: 5 – 12 = 10 – ложное высказывание:

В: Киев – столица Украины - истинное высказывание;

: (5 – 12 = 10) и Киев – столица Украины - ложное высказывание, т.к. одно из высказываний ложно, а второе истинно.

Замечание: В математической логике смысл предложения не является важным, главным является структура предложения.

А: 5 – 12 = - 7 – истинное высказывание;

В: Киев – столица Украины – истинное высказывание.

: ( 5-12 = -7) и Киев – столица Украины – истинное высказывание, т.к. оба высказывания истинны.

Определение: Дизъюнкцией двух высказываний А, В называется высказывание

А или В (), которое ложно тогда и только тогда, когда одновременно ложны оба высказывания А и В.

Операция построения дизъюнкции высказываний также называется дизъюнкцией.

Пример:

: (5 - 12 = 10) или Киев – столица Украины. – истинное высказывание, т.к. только одно из высказываний ложно.

Таблица истинности дизъюнкции

высказываний

А	В
и и л л	и л и л	и и и л

Определение: Высказывание, которое ложно при любых значениях истинности, входящих в него элементарных высказываний называется абсолютно ложным и такое высказывание будем обозначать большой буквой Л.

Например: = Л – абсолютно ложное высказывание.

Определение: Высказывание, которое истинно при любых значениях входящих в него элементарных высказываний, называется абсолютно истинным. (И)

Пример: = И – абсолютно истинное высказывание.

Наши рассуждения можно представить в виде таблицы истинности:

и	л	Л	И
л	и	Л	И

Задание на дом: Выяснить, является ли высказывание абсолютно истинным: .