Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Курс лекций за 1 курс.doc
Скачиваний:
268
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
2.51 Mб
Скачать

Отрицание высказываний, содержащих кванторы

Пусть даны высказывания:

Отрицать высказывания, содержащие кванторы, можно двумя способами:

1 способ: С помщью словосочетания «неверно, что», которое ставится перед предложением: неверно, что

неверно, что

2 способ: 1) кванторы заменяются на противоположные.

2) предложение, стоящее после квантора, заменяется его отрицанием.

Пример: Пусть на множестве R задан предикат: .

Обратим этот предикат в высказывание:

ложное высказывание.

истинное высказывание.

1 способ отрицания:

Неверно, что это истинное высказывание;

Неверно, что это ложное высказывание.

2 способ отрицания:

Замечание: Второй спосб построения отрицания высказывания имеет место и в случае построения отрицания многоместных предикатов.

Отношение логического следования и равносильности на множестве предложений

Пусть А(х) и В(х) заданы на множестве Х и пусть их импликация А(х) В(х)истинна для т.е. истинно высказывание . В этом случае говорят, что В(х) логически следует из А(х).

Известно, что . Из определения логического следования предикатов следует, что , т.е. . Тогда .

Очевидно, это возможно, если .

Таким образом, В(х) логически следует из А(х).

Пример: На множестве N заданы предикаты А(х): натуральное число и

В(х): натуральное число .

Очевидно, что .

Построим импликацию:

.

Эта импликация истинна на всей области определения, т.е. - истинное высказывание. Значит, делимость натурального числа на 2 логически следует из его делимости на 4.

Если В(х) логически следует из А(х), то В(х)необходимое условие для А(х), А(х)- достаточное. условие для В(х).

Допускают и другие фразеологии:

Из предиката А(х) логически следует предикат В(х), А(х) достаточное условие для В(х), а В(х)необходимое условие для А(х).

Тогда если высказывание: - истинно, то его можно прочесть так:

1) Из А(х) логически следует В(х);

2) Для того, чтобы выполнялось В(х) на множестве Х достаточно, чтобы выполнялось А(х) на множестве Х

3) Для того, чтобы выполнялось А(х) на множестве Х необходимо, чтобы выполнялось В(х) на множестве Х.

В нашем примере импликация истинна. Тогда ее можно прочитать так:

1) Из того, что логически следует, что .

2) Для того, чтобы натуральное число x делилось на 2 достаточно, чтобы оно делилось на 4.

3) Для того, чтобы натуральное число x делилось на 4 необходимо, чтобы оно делилось на 2.

Иногда говорят кратко: делимость на 2 – необходимое условие делимости на 4.

Замечание: Если импликация истинна на всей области определения, т.е. истинно высказывание , то также говорят, что предикат В(х) вступил в отношения логического следствия с предикатом А(х).

Пусть предикат А(х) и предикат В(х) заданы на множестве Х и пусть их эквиваленция истинна на всей области определения, т.е. истинно высказывание .

Это значит, что .

В этом случае говорят, что предикаты А(х) и В(х) равносильны на множестве Х. Это возможно только в том случае, когда т.е. .

Если , то это значит, что «и»

Если , то это значит, что - «и»

т.е. предикаты А(х) и В(х) логически следуют друг из друга на множестве Х.

Для понятия равносильности предикатов используют знак ~: ~

Если предикаты равносильны, то в этом случае говорят, что они являются, необходимым и достаточным условием друг для друга.

Например: На множестве N заданы предикаты А(х): и В(х): десятичная запись натурального числа x оканчивается цифрой 0. Тогда

Другими словами, эквиваленция:

.

Следовательно, предикаты А(х) и В(х) равносильные предикаты. Это значит:

для того, чтобы натуральное число необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась цифрой 0.

Выпишем, как читаются основные высказывания, связанные с отношениями логического следования и равносильности на русском и логическом языке:

На русском языке

На логическом языке

1) А достаточное условие для В.

2) А необходимое условие для В.

3) А необходимое, но не достаточное условие для В.

4) А достаточное, но не необходимое условие для В.

5) А необходимое и достаточное условие для В.

1) - истинна.

2) - истинна.

3)

4)

5)

Замечание: Необходимые и достаточные условия в математике называются признаками.