- •Математика
- •Пересечение множеств
- •Вычитание множеств
- •Свойства операций над множествами
- •Число элементов в объединении конечных множеств и в дополнении к подмножеству
- •Контрольные вопросы:
- •Способы задания декартова произведения двух множеств
- •Основные свойства декартова произведения.
- •Раздел II. Элементы комбинаторики
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные вопросы:
- •Перестановки без повторений
- •Бином Ньютона
- •Свойства сочетаний. Треугольник Паскаля.
- •1. Правило симметрии:
- •Раздел III. Математические утверждения и их структура
- •Контрольные вопросы:
- •Отношения между понятиями
- •Способы определения понятий
- •Требования к определению понятий
- •Контрольные вопросы:
- •Высказывания и операции над ними
- •Операции над высказываниями
- •Отрицание высказываний
- •Законы отрицания:
- •Конъюнкция двух высказываний
- •Импликация высказываний
- •Закон контрапозиции
- •Эквиваленция двух высказываний
- •Обращение предиката в высказывание
- •Операции над предикатами
- •Отрицание высказываний, содержащих кванторы
- •Отношение логического следования и равносильности на множестве предложений
- •Строение теоремы. Виды теорем
- •Закон контрапозиции. Теоремы
- •Умозаключения. Анализ рассуждений. Простейшие правила вывода
- •Простейшие схемы дедуктивных умозаключений
- •Способы установления истинности умозаключения
- •Индуктивные умозаключения
- •Раздел IV. Соответствия
- •Контрольные вопросы:
- •Полный образ и полный прообраз
- •Способы задания соответствий
- •Типы соответствий
- •Отображения
- •Виды отображений
- •Отношения
- •Свойства отношений на множестве
Отрицание высказываний, содержащих кванторы
Пусть даны высказывания:
Отрицать высказывания, содержащие кванторы, можно двумя способами:
1 способ: С помщью словосочетания «неверно, что», которое ставится перед предложением: неверно, что
неверно, что
2 способ: 1) кванторы заменяются на противоположные.
2) предложение, стоящее после квантора, заменяется его отрицанием.
Пример: Пусть на множестве R задан предикат: .
Обратим этот предикат в высказывание:
ложное высказывание.
истинное высказывание.
1 способ отрицания:
Неверно, что это истинное высказывание;
Неверно, что это ложное высказывание.
2 способ отрицания:
Замечание: Второй спосб построения отрицания высказывания имеет место и в случае построения отрицания многоместных предикатов.
Отношение логического следования и равносильности на множестве предложений
Пусть А(х) и В(х) заданы на множестве Х и пусть их импликация А(х) В(х) – истинна для т.е. истинно высказывание . В этом случае говорят, что В(х) логически следует из А(х).
Известно, что . Из определения логического следования предикатов следует, что , т.е. . Тогда .
Очевидно, это возможно, если .
Таким образом, В(х) логически следует из А(х).
Пример: На множестве N заданы предикаты А(х): натуральное число и
В(х): натуральное число .
Очевидно, что .
Построим импликацию:
.
Эта импликация истинна на всей области определения, т.е. - истинное высказывание. Значит, делимость натурального числа на 2 логически следует из его делимости на 4.
Если В(х) логически следует из А(х), то В(х) – необходимое условие для А(х), А(х)- достаточное. условие для В(х).
Допускают и другие фразеологии:
Из предиката А(х) логически следует предикат В(х), А(х) достаточное условие для В(х), а В(х) – необходимое условие для А(х).
Тогда если высказывание: - истинно, то его можно прочесть так:
1) Из А(х) логически следует В(х);
2) Для того, чтобы выполнялось В(х) на множестве Х достаточно, чтобы выполнялось А(х) на множестве Х
3) Для того, чтобы выполнялось А(х) на множестве Х необходимо, чтобы выполнялось В(х) на множестве Х.
В нашем примере импликация истинна. Тогда ее можно прочитать так:
1) Из того, что логически следует, что .
2) Для того, чтобы натуральное число x делилось на 2 достаточно, чтобы оно делилось на 4.
3) Для того, чтобы натуральное число x делилось на 4 необходимо, чтобы оно делилось на 2.
Иногда говорят кратко: делимость на 2 – необходимое условие делимости на 4.
Замечание: Если импликация истинна на всей области определения, т.е. истинно высказывание , то также говорят, что предикат В(х) вступил в отношения логического следствия с предикатом А(х).
Пусть предикат А(х) и предикат В(х) заданы на множестве Х и пусть их эквиваленция истинна на всей области определения, т.е. истинно высказывание .
Это значит, что .
В этом случае говорят, что предикаты А(х) и В(х) равносильны на множестве Х. Это возможно только в том случае, когда т.е. .
Если , то это значит, что «и»
Если , то это значит, что - «и»
т.е. предикаты А(х) и В(х) логически следуют друг из друга на множестве Х.
Для понятия равносильности предикатов используют знак ~: ~
Если предикаты равносильны, то в этом случае говорят, что они являются, необходимым и достаточным условием друг для друга.
Например: На множестве N заданы предикаты А(х): и В(х): десятичная запись натурального числа x оканчивается цифрой 0. Тогда
Другими словами, эквиваленция:
.
Следовательно, предикаты А(х) и В(х) равносильные предикаты. Это значит:
для того, чтобы натуральное число необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась цифрой 0.
Выпишем, как читаются основные высказывания, связанные с отношениями логического следования и равносильности на русском и логическом языке:
На русском языке |
На логическом языке |
1) А достаточное условие для В. 2) А необходимое условие для В.
3) А необходимое, но не достаточное условие для В.
4) А достаточное, но не необходимое условие для В.
5) А необходимое и достаточное условие для В.
|
1) - истинна. 2) - истинна.
3)
4)
5) |
Замечание: Необходимые и достаточные условия в математике называются признаками.