Строение теоремы. Виды теорем
Теоремой, как правило, называют истинное доказуемое утверждение. Иногда теоремой называют утверждения, которые ложны, или которые ещё не доказаны.
Абсолютное число теорем можно сформулировать в форме импликации.
Например: если четырёхугольник ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
А так как всякая теорема утверждается на всей области определения, то кратко пишут
(I)
В теоремах различают 3 части: разъяснительная часть (преамбула). В ней даются пояснения к обозначениям, описываются множества к элементам которых относится теорема, т.е. указывается область определения предикатов А(х) и В(х).
Условие теоремы: предикат А(х) .
Заключение теоремы: предикат В(х).
Слова если … то ни к А(х), ни к В(х) не относятся.
Назовём теорему (I) прямой.
1.
прямая
теорема;
2.
- обратная
к
прямой:
3.
- противоположная
к I
(прямой)
4.
- противоположная
к II
(обратной)
Выделим названные части в теореме: если четырехугольник ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
«
На
множестве четырёхугольников» –преамбула
(как правило, не произносится);
«Четырехугольник x – ромб» - условие теоремы;
«Диагонали четырехугольника x- взаимно перпендикулярны» - заключение теоремы.
Сформулируем теоремы 1-4.
1. Если четырехугольник x – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. – истинное утверждение.
2.
Если диагонали четырёхугольника x
взаимно перпендикулярны, то четырёхугольник
x
– ромб.– утверждение ложное, т.к.
существует четырехугольник, у которого
диагонали взаимно перпендикулярны, не
являющийся ромбом.
3. Если четырёхугольник Х – не ромб, то его диагонали не взаимно перпендикулярны. – ложное утверждение.
4. Если диагонали четырёхугольника не взаимно перпендикулярны, то четырёхугольник не является ромбом. – истинное утверждение.
Закон контрапозиции. Теоремы
Закон контрапозиции:
Теоремы 1 и 4 (прямая и обратная к противоположной) одновременно истинны и одновременно ложны, т.е. равносильны.
Пусть
,
тогда предикаты
при
обращаются
в высказывание:
.
Закон контрапозиции для высказываний легко доказывается с помощью таблицы истинности:
-
и
и
л
л
и
л
и
л
л
л
и
и
л
и
л
и
и
л
и
и
и
л
и
и
Закон контрапозиции даёт возможность заменить доказательство теоремы 1 доказательством теоремы 4 или наоборот.
Следствие из закона контрапозиции: теоремы 2 и 3 одновременно истинны и одновременно ложны (доказать самостоятельно).
Умозаключения. Анализ рассуждений. Простейшие правила вывода
В обыденной речи слово «рассуждение» применяется широко. Мы под рассуждением будем понимать такие логические действия, при которых из одного или нескольких предложений получается новое предложение, содержащее новое знание. При этом исходные предложения будем называть посылками, а новое предложение – заключением.
Пусть
A1,
A2,
A3,...,
An
– посылки, а В
–
заключение. Тогда умозаключение
записывают следующим образом:
.
Черта отделяет посылки от заключения,
а в речи соответствует слову «следовательно»
или «значит».
Рассуждение считается правильным, если с его помощью из истинных посылок нельзя получить ложное заключение.
Рассуждение, допускающее получение ложного заключения из истинных посылок, будем считать неправильным.
В зависимости от того, существует ли между посылками и заключением отношение логического следования, выделяют два вида умозаключений: дедуктивные и индуктивные.
Определение: Дедуктивное умозаключение – это умозаключение между посылками и заключением которого имеет место отношение логического следования.
Дедуктивные умозаключения – это всегда правильные умозаключения, т.е. такие при которых из истинных посылок всегда следует истинное заключение.
Недедуктивные умозаключения – это умозаключения, в которых между посылками и заключением нет логического следования.
Отсутствие логического следования означает, что в процессе рассуждения из истинных посылок можно получить ложный вывод.
Каковы же условия, при которых рассуждение будет дедуктивным? Рассмотрим примеры рассуждений.
Пример 1. Если натуральное число х делится на 4, то оно делится на 2. Число 28 делится на 4. Следовательно, оно делится на 2.
Выделим посылки:
Общая посылка: Если натуральное число х делится на 4, то оно делится на 2.
Частная посылка: Число 28 делится на 4.
Заключение: Число 28 делится на 2.
В этом умозаключении и посылки и заключение являются истинными высказываниями. Можно предположить, что данное рассуждение является дедуктивным. Чтобы быть до конца уверенными в этом, необходимо убедиться в том, что истинность посылок в рассуждении является достаточным условием для получения истинного заключения. Однако это не так. Рассмотрим другой пример.
Пример 2: Если натуральное число делится на 4, то оно делится на 2. Число 22 делится на 2. Следовательно, оно делится на 4.
Общая посылка: Если натуральное число х делится на 4, то оно делится на 2.
Частная посылка: Число 22 делится на 2.
Заключение: Число 22 делится на 4.
В этом рассуждении посылки верны, однако заключение ложно. Следовательно, данное рассуждение не является дедуктивным.
Таким образом, истинность посылок – это не достаточное ( не единственное) условие, обеспечивающее дедуктивность (правильность) рассуждения.
Сравним рассмотренные нами рассуждения.
В
общей посылке идет речь о некотором
числе х.
Известно, что оно делится на 4. Это
предикат, обозначим его
.
Еще известно, что это число х
делится на 2. Обозначим:
.
Общая посылка задана в форме импликации,
заданной на множестве N:
.
В
частной посылке речь идет о некотором
конкретном натуральном числе (х
=а=
28), которое делится на 4. Значит, частная
посылка представляет собой высказывание:
.
Заключение
также является высказыванием:
.
Тогда умозаключение (1) будет иметь
следующую структуру:
.
Во
втором умозаключении общая посылка та
же:
.
Частная посылка:
.
Заключение:
.
Тогда структура второго умозаключения
имеет вид:
.
Как видим, схемы рассуждений различны. Схема, которую использовали в первом рассуждении, привела к верному заключению, а во втором – к ложному.
Таким образом, истинность посылок не всегда обеспечивает истинность заключения, необходимо еще рассуждать по таким правилам (схемам), которые обеспечивают такое заключение.