Простейшие схемы дедуктивных умозаключений

Наиболее часто встречаются следующие схемы дедуктивных умозаключений:

1. - правило заключения.

2. - правило отрицания.

3. - правило силлогизма.

Применение этих правил в ходе рассуждения гарантирует получение истинного заключения из истинных посылок.

Пример 3. Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь правильная. Если дробь правильная, то она меньше 1. Следовательно, если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь меньше 1.

Первая посылка: общая посылка: , где числитель дроби х меньше знаменателя; дробь х – правильная.

Вторая посылка: общая посылка: , где дробь х – правильная; дробь х меньше 1.

Заключение: .

Схема рассуждения: . Это правило силлогизма, значит данное рассуждение правильное.

Пример 4. В любом квадрате диагонали взаимно перпендикулярны. В четырехугольнике АВСД диагонали не перпендикулярны. Следовательно, четырехугольник АВСД не квадрат.

Для удобства переформулируем данное рассуждение: Если четырехугольник – квадрат, то его диагонали взаимно перпендикулярны. В четырехугольнике АВСД диагонали не перпендикулярны. Следовательно, четырехугольник АВСД не квадрат.

Первая посылка – общая: , где четырехугольник х – квадрат; диагонали в четырехугольнике х взаимно перпендикулярны.

Частная посылка: : в четырехугольнике АВСД диагонали не перпендикулярны.

Заключение: : четырехугольник АВСД не квадрат.

Схема рассуждения: - правило отрицания. Данное рассуждение является дедуктивным.

Пример 5. Все реки впадают в моря. Волга – река. Значит Волга впадает в море.

Общая посылка: Если х – это река, то она впадает в море: , где х – это река; х впадает в море.

Частная посылка: : Волга – река.

Заключение: : Волга впадает в море.

Схема рассуждения: - правило заключения. Рассуждение правильное.

Пример 6. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб. В данном параллелограмме диагонали не взаимно перпендикулярны. Следовательно, этот параллелограмм – не ромб.

Пусть в параллелограмме х диагонали взаимно перпендикулярны; параллелограмм х – ромб.

Общая посылка: .

Частная посылка: .

Заключение: .

Схема рассуждения: . В нем посылки имеют истинное значение, заключение также верно. Однако рассуждение, построенное по данной схеме, не является правильным, так как, рассуждая по данной схеме можно получить и ложное заключение, о чем свидетельствует следующий пример.

Пример 7. Если стол – дубовый, то он деревянный. Данный стол не дубовый. Следовательно, он не деревянный.

Данное рассуждение построено по той же схеме, что и предыдущее. Однако здесь из истинных посылок следует абсурдное (ложное) заключение.

Полезно запомнить еще одну распространенную схему недедуктивного рассуждения: .

Способы установления истинности умозаключения

Первый способ состоит в составлении таблицы истинности формулы, соответствующей тому или иному рассуждению. В последнем примере схему мы признали неправильной. Убедимся в этом другим способом. Составим формулу, соответствующую данному рассуждению: или короче: .

A	В
и	и	л	л	и	л	и
и	л	л	и	л	л	и
л	и	и	л	и	и	л
л	л	и	и	и	и	и

Наличие «лжи» в третьей строке таблицы истинности говорит о том, что данное умозаключение не является дедуктивным.

Проверим этим же способом правильность рассуждения, построенного по правилу заключения: , или: .

Построим для него таблицу истинности:

A	B
и	и	и	и	и
и	л	л	л	и
л	и	и	л	и
л	л	и	л	и

Полученные данные свидетельствуют о том, что умозаключение, построенное по правилу заключения, является правильным (дедуктивным).

Правильность умозаключения можно также проверить при помощи диаграмм Эйлера-Венна. Для этого поступают следующим образом:

1) умозаключение записывают на теоретико-множественном языке;

2) затем изображают посылки на диаграммах Эйлера-Венна, считая их истинными;

3) анализируют полученный рисунок, чтобы ответить на вопрос: всегда ли при этом будет истинно заключение.

Если возможен рисунок, из которого видно, что заключение ложно, то делают вывод, что умозаключение, построенное по такой схеме, не является правильным.

Если же из рисунка видно, что заключение всегда истинно, то такое умозаключение считают правильным.

Пример 1: Пусть рассуждение построено по правилу силлогизма: . Запишем его на теоретико-множественном языке. Посылка истинна. Известно, что импликация истинна на всей области определения, если множество истинности первого предиката является подмножеством множества истинности второго предиката , т.е. . Аналогично . Чтобы заключение также было истинно, необходимо, чтобы . Таким образом, на теоретико-множественном языке данное рассуждение будет иметь вид: . Изобразим посылки на диаграммах Эйлера-Венна:

Из рисунка видно, что , т.е. истинна при . Это значит, что данное умозаключение правильное.

Пример 2: Убедимся еще раз в неправильности умозаключения вида: .

1. Посылка: истинна. Следовательно, .

2. Посылка: высказывание означает, что.

3. Заключение: высказывание означает, что .

Изобразим посылки на диаграмме Эйлера-Венна. Здесь возможны два варианта:

1

)

a

Из рисунка видно, что и тогда высказывание истинно, а - ложно.

2)

a

Из второго рисунка видно, что , что означает, что высказывание ложно. Тогда высказывание - истинно.

В одном случае заключение ложно, а в другом – истинно. Это говорит о том, что данное умозаключение не является правильным.

Замечание: Полное дедуктивное умозаключение требует наличия двух посылок. Однако часто в процессе рассуждения одну из посылок (общую) опускают.