- •Математика
- •Пересечение множеств
- •Вычитание множеств
- •Свойства операций над множествами
- •Число элементов в объединении конечных множеств и в дополнении к подмножеству
- •Контрольные вопросы:
- •Способы задания декартова произведения двух множеств
- •Основные свойства декартова произведения.
- •Раздел II. Элементы комбинаторики
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные вопросы:
- •Перестановки без повторений
- •Бином Ньютона
- •Свойства сочетаний. Треугольник Паскаля.
- •1. Правило симметрии:
- •Раздел III. Математические утверждения и их структура
- •Контрольные вопросы:
- •Отношения между понятиями
- •Способы определения понятий
- •Требования к определению понятий
- •Контрольные вопросы:
- •Высказывания и операции над ними
- •Операции над высказываниями
- •Отрицание высказываний
- •Законы отрицания:
- •Конъюнкция двух высказываний
- •Импликация высказываний
- •Закон контрапозиции
- •Эквиваленция двух высказываний
- •Обращение предиката в высказывание
- •Операции над предикатами
- •Отрицание высказываний, содержащих кванторы
- •Отношение логического следования и равносильности на множестве предложений
- •Строение теоремы. Виды теорем
- •Закон контрапозиции. Теоремы
- •Умозаключения. Анализ рассуждений. Простейшие правила вывода
- •Простейшие схемы дедуктивных умозаключений
- •Способы установления истинности умозаключения
- •Индуктивные умозаключения
- •Раздел IV. Соответствия
- •Контрольные вопросы:
- •Полный образ и полный прообраз
- •Способы задания соответствий
- •Типы соответствий
- •Отображения
- •Виды отображений
- •Отношения
- •Свойства отношений на множестве
Отображения
Пусть F-соответствие между элементами множеств Х иY: F = <X ,Y,GF >, где
GF ХY и GF ={ (x,y)/x X, y Y, x F y}.
Определение: Отображением множества Х во множество Y называется такое соответствие F между элементами множеств X и Y, при котором каждому элементу множества Х соответствует один и только один элемент множества Y.
Иначе говоря: отображение множества Х во множество Y - это такое соответствие между элементами множества Х и Y, при котором полный образ элемента хХ есть одноэлементное множество.
Из определения отображения следует, что отображение F- это частный случай соответствия между элементами множеств Х и Y. Естественно, что у него есть свои особенности.
Особенности, присущие отображению:
1) область определения отображения совпадает с областью отправления: т.е. DF =X;
2) полный образ любого элемента аХ - есть одноэлементное множество: аХF(a) - одноэлементное множество;
3) полный прообраз некоторых элементов bY может быть пустым: b YF-1 (b)- может быть пустым;
4) F(X) – назовем полным образом множества Х ;
5) особенности графика: графику отображения множества Х во множество Y не могут принадлежать пары (x,y) с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами;
6) особенности графа отображения множества Х во множество Y: из каждой точки множества Х выходит только одна стрелка;
7) особенности обозначения: х f y ( f: < X, Y, Gf >). Соответствия такого вида (отображения) принято обозначать буквой f. (Можно писать: f = < X,Y,Gf > или
y = f(x), xX).
Пример 1. Является ли данное
X Y соответствие
отображением?
f1
1 = f1(a)
1 = f1(b).
1 = f1(c)
Очевидно, что каждый элемент из множества Х имеет единственный образ. Следовательно f1 – отображение множества X во множество Y.
Видим, что Д=X, E = {1}, F(X) = {1}.
X Y
Пример 2. f2
Cоответствие f2- не является отображением, так как, например, f2 (b) = Ǿ ( и не только), кроме того f2(a)={1; 2}, т.е. элемент аимеет два образа.
Виды отображений
Пусть f = <X,Y,Gf >, где Gf - это отображение множества X во Y.
Определение: Отображение f = <X,Y,Gf >, где Gf , при котором каждый элемент уY, имеет хотя бы один прообраз хХ, называется сюрьективным ( или сюрьекцией)
Иначе говоря: при сюрьективном отображении полный образ множества X совпадает с областью прибытия Y: f(X) = Y и полный прообраз каждого уY- непустое множество.
Особенности графа сюрьективного отображения: к каждому уY подходит хотя бы одна стрелка.
В примере 1 отображение не является сюрьекцией , т.к 2Y не имеет прообраза.
Пример 3. X = [АВ ] - отрезок АВ.
Y = {O} - точка О. Соответствие f3 задано графом:
О А0
В0
М0 М[AB]
А М В
Является ли f3-отображением? Является, т.к каждой точке отрезка АВ соответствует только одна точка (т. О). Кроме того, оно является сюръективным.
Замечание: если f –множества X воY сюрьективно, то говорят об отображении множества X на Y.
Определение: Если каждый элемент уY является образом не более одного элемента хХ , то отображение f называется иньективным (иньекцией).
Иначе говоря: при инъективном отображении полный образ множества X есть подмножество области прибытия Y и полный прообраз каждого уY состоит не более, чем из одного элемента хХ.
Определение:отображение Х f Y называется биективным (биекцией), если оно сюрьективно и иньективно.
Иначе говоря: при биективном отображении полный образ множества X совпадает с областью прибытия и прообраз каждого элемента уY состоит только из одного элемента хХ.
Замечание1 : Биективное отображение множества Х на множество Y- это взаимно-однозначное соответствие между элементами этих множеств.
Замечание 2 :Синонимом понятия отображения множества Х во Y является понятие функция. Вместо отображения иначе говорят: функциональное соответствие.