- •Математика
- •Пересечение множеств
- •Вычитание множеств
- •Свойства операций над множествами
- •Число элементов в объединении конечных множеств и в дополнении к подмножеству
- •Контрольные вопросы:
- •Способы задания декартова произведения двух множеств
- •Основные свойства декартова произведения.
- •Раздел II. Элементы комбинаторики
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные вопросы:
- •Перестановки без повторений
- •Бином Ньютона
- •Свойства сочетаний. Треугольник Паскаля.
- •1. Правило симметрии:
- •Раздел III. Математические утверждения и их структура
- •Контрольные вопросы:
- •Отношения между понятиями
- •Способы определения понятий
- •Требования к определению понятий
- •Контрольные вопросы:
- •Высказывания и операции над ними
- •Операции над высказываниями
- •Отрицание высказываний
- •Законы отрицания:
- •Конъюнкция двух высказываний
- •Импликация высказываний
- •Закон контрапозиции
- •Эквиваленция двух высказываний
- •Обращение предиката в высказывание
- •Операции над предикатами
- •Отрицание высказываний, содержащих кванторы
- •Отношение логического следования и равносильности на множестве предложений
- •Строение теоремы. Виды теорем
- •Закон контрапозиции. Теоремы
- •Умозаключения. Анализ рассуждений. Простейшие правила вывода
- •Простейшие схемы дедуктивных умозаключений
- •Способы установления истинности умозаключения
- •Индуктивные умозаключения
- •Раздел IV. Соответствия
- •Контрольные вопросы:
- •Полный образ и полный прообраз
- •Способы задания соответствий
- •Типы соответствий
- •Отображения
- •Виды отображений
- •Отношения
- •Свойства отношений на множестве
Пересечение множеств
Пусть даны произвольные множества А и В.
Определение: Пересечением множеств А и В называется множество AB, элементы которого одновременно принадлежат и множеству А и множеству В.
AB={x|xA и xB}
Рассмотрим множества А и В. Покажем на диаграмме пересечение этих множеств. Пусть:
1) множества А и В не вступают в отношение друг с другом.
Очевидно, что в этом случае AB= Ø.
2) множества А и В находятся в отношении равенства.
Тогда AB=A=B.
A=B
3) множества А и В находятся в отношении включения.
Если АВ, то AB=A, если ВА, то AB=В.
A B B A
Штриховкой показано множество элементов, принадлежащих AB.
4) множества А и В находятся в отношении пересечения.
B A
Двойной штриховкой показано множество элементов, принадлежащих AB.
Пример:
Пусть А = {3; а; b}, B = {1; 3; 7}. Найдем AB.
По определению пересечения двух множеств AB = { 3 }, так как только элемент x = 3 принадлежит и множеству А и множеству В. Изобразим множества А и В и их пересечение на диаграмме:
B A
Замечание : В речи операции пересечения соответствует союз «И», а операции объединения – союз «ИЛИ».
Таким образом, по определению x AB xA и xB.
В пересечение множеств А и В не войдут те элементы, которые не входят в А, или в В. Таким образом, x AB xA или xB. Другими словами,
Замечание: Операция отыскания объединения (пересечения) множеств также называется объединением (пересечением).
Вычитание множеств
Пусть даны произвольные множества А и В.
Определение: Разностью двух множеств А и В называется множество А\В, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.
А\В = {x| xA, xB}
Покажем на диаграмме разность множеств А и В. Пусть:
1) множества А и В не вступают в отношение друг с другом.
Очевидно, что в этом случаеА\В = А, а В\А = В.
A B A B
2) множества А и В находятся в отношении равенства.
Тогда А\В = В\А = Ø.
A=B
3) множества А и В находятся в отношении включения.
Если АВ, то А\В = Ø. Если ВА, то А\В Ø
A B B A
4) множества А и В находятся в отношении пересечения.
A B
Штриховкой показано множество элементов, принадлежащих А\В.
Примеры:
1) Пусть А = {3; а; b}, B = {1; 3; 7}. Найдем А\В.
По определению разности двух множеств А\В = {a;b}, так как только эти элементы множеству А принадлежат, а множеству В - нет.
2) A = N, B = Z.
Так как NZ, (т.е. AB), то А\В=N\Z= Ø , а Z\N – это множество целых отрицательных чисел или нуль.
Замечание: Если множество В является подмножеством множества А, то разность А\В называется дополнением множества В до множества А и обозначается В.
ВА А\В= В
Если А – это универсальное множество (J), то разность J \В= В. При этом не указывается до какого множества.
Примеры:
1) Пусть А = {3; а; b}, B = {1; 3; 7}. Если возможно, найдите дополнение множества В до А или А до В.
Так как АВ и ВА, то говорить о дополнения одного множества до другого не имеет смысла.
2) A = N, B = Z.
Так как NZ, (т.е. AB), то В\А=Z\N=N – это множество целых отрицательных чисел или нуль.
Замечание: Для задания множества действительных чисел используют специальные обозначения: числовые промежутки. Так, например,
[a; b] = {x|xR, axb}
[a; b) = {x|xR, ax<b}
(a; b] = {x|xR, a<xb}
(a; b) = {x|xR, a<x<b}
Указанные промежутки – это подмножества действительных чисел.