Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Курс лекций за 1 курс.doc
Скачиваний:
268
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
2.51 Mб
Скачать

Бином Ньютона

Бином Ньютона – это формула, выражающая натуральную степень двучлена (а+b) в виде степеней его слагаемых с определенными коэффициентами.

Теорема: Для имеет место равенство:

Частными случаями этой формулы являются (а+b)2; (а+b)3.

Свойства сочетаний. Треугольник Паскаля.

1. Правило симметрии:

В соответствии с этим правилом будем иметь:

2. Правило Паскаля:

3.

Правило симметрии и правило Паскаля позволяют составить таблицу биноминальных коэффициентов: треугольник Паскаля.

Если n = 0, то можно найти лишь и это число равно 1.

Если n = 1, то можно найти: . В соответствии с правилом симметрии эти числа равны друг другу и равны 1.

Если n = 2, то можно найти: . В соответствии с правилом симметрии , а по правилу Паскаля .

Если n = 3, то можно найти: . В соответствии с правилом симметрии , а по правилу Паскаля . По правилу симметрии можно найти . Тот же результат мы получим, если воспользуемся правилом Паскаля: .

Таким образом, замечаем, что по краям треугольника Паскаля должны стоять единицы, а любое число n – ой строки равно сумме чисел предыдущей строки, стоящих над ним справа и слева.

n

0

1

1

1 1

2

1 2 1

3

1 3 3 1

4

1 4 6 4 1

5

1 5 10 10 5 1

6

1 6 15 20 15 6 1

Треугольник Паскаля позволяет быстро записать любую натуральную степень двучлена.

Например,

Теорема: Конечное множество А, содержащее n элементов, имеет 2n подмножеств.

Доказать самостоятельно, что 2n = .

2-й семестр

Раздел III. Математические утверждения и их структура

Лекция № 10. ПОНЯТИЯ И ИХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Контрольные вопросы:

  1. Определяемые и неопределяемые понятия. Объем и содержание поня­тия, отношения между понятиями.

  2. Способы определения понятий.

  3. Структура определения через род и видовое отличие.

4. Основные требования к определениям понятий.

5. Связь с начальным курсом математики.

Литература: (1) гл. I, §§ 5, 6 пп.23-28; (2) гл. I, § 2, с. 46-50, 89-92, 94-97, 99-103; (3) гл. I, § 3 пп.17,24, 25-27; (4) гл. II, с. 75-82; (5) гл. II, §§ 2.3, 2.4, 2.7, 2.8.

Всякий математический объект обладает свойствами: существенными и несущественными. Свойство называется существенным, если оно принадлежит данному объекту и без него он существовать не может, несущественным, если его отсутствие у данного объекта никак не влияет на его существование.

Например, треугольник обладает следующими свойствами:

1) имеет три стороны;

2) имеет три вершины;

3) имеет три угла;

4) один из углов равен 90;

5) две его боковые стороны равны;

6) медиана перпендикулярна стороне треугольника;

7) одна из сторон горизонтальна.

Свойства 1-3 являются существенными для треугольника, нарушение хотя бы одного из них приводит к исчезновению объекта (треугольника). Остальные свойства не являются существенными для треугольника, однако свойство 4 станет существенным для прямоугольного треугольника; свойство 5 является существенным для равнобедренного треугольника; свойство 6 – для равностороннего; свойство 7 никогда не будет существенным.

Чтобы понять, что представляет собой данный объект, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об объекте. Понятие – это целостная совокупность суждений о существенных свойствах объекта.

Понятия условились обозначать малыми буквами латинского алфавита: a, b, c и т.д. Всякое понятие характеризуется своим объемом и содержанием.

Определение: Объем понятия «a» - это множество A всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином.

Пример:

1. Пусть понятие «а» - хвойное дерево. Тогда объем этого понятия А= {ель, сосна, кедр, ..., лиственница}.

2. Пусть понятие «b» - однозначное число. Тогда объем понятия «b» будет В= {1,2,3.4,5,6,7,8,9}.

Определение: Содержание понятия – это множество всех существенных свойств, которыми обладает это понятие.

Пример:

1. Пусть понятие «а» - биссектриса угла. Содержание этого понятия будут составлять существенные свойства:

- быть лучом;

- исходить из вершины угла;

- делить угол пополам.

2. Понятие «b» – существительное. Содержание понятия «b» :

- быть частью речи;

- обозначать предмет;

- отвечать на вопросы «кто?», «что?».

Объем и содержание понятия связаны между собой: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание и наоборот. Например, в объем понятия «треугольник» входят все возможные треугольники, а в объем понятия «равнобедренный треугольник» - только те, у которых две стороны равны. Ясно, что объем понятия «треугольник» шире, чем объем понятия «равнобедренный треугольник». А вот содержание последнего наоборот шире, так как равнобедренный треугольник обладает всеми существенными свойствами треугольника, поскольку он треугольник, да еще и такими существенными свойствами, которые для понятия «треугольник» не являются существенными, например, иметь две равные боковые стороны; два угла при основании равны; медиана, опущенная на основание, является биссектрисой и высотой.