- •Математика
- •Пересечение множеств
- •Вычитание множеств
- •Свойства операций над множествами
- •Число элементов в объединении конечных множеств и в дополнении к подмножеству
- •Контрольные вопросы:
- •Способы задания декартова произведения двух множеств
- •Основные свойства декартова произведения.
- •Раздел II. Элементы комбинаторики
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные вопросы:
- •Перестановки без повторений
- •Бином Ньютона
- •Свойства сочетаний. Треугольник Паскаля.
- •1. Правило симметрии:
- •Раздел III. Математические утверждения и их структура
- •Контрольные вопросы:
- •Отношения между понятиями
- •Способы определения понятий
- •Требования к определению понятий
- •Контрольные вопросы:
- •Высказывания и операции над ними
- •Операции над высказываниями
- •Отрицание высказываний
- •Законы отрицания:
- •Конъюнкция двух высказываний
- •Импликация высказываний
- •Закон контрапозиции
- •Эквиваленция двух высказываний
- •Обращение предиката в высказывание
- •Операции над предикатами
- •Отрицание высказываний, содержащих кванторы
- •Отношение логического следования и равносильности на множестве предложений
- •Строение теоремы. Виды теорем
- •Закон контрапозиции. Теоремы
- •Умозаключения. Анализ рассуждений. Простейшие правила вывода
- •Простейшие схемы дедуктивных умозаключений
- •Способы установления истинности умозаключения
- •Индуктивные умозаключения
- •Раздел IV. Соответствия
- •Контрольные вопросы:
- •Полный образ и полный прообраз
- •Способы задания соответствий
- •Типы соответствий
- •Отображения
- •Виды отображений
- •Отношения
- •Свойства отношений на множестве
Бином Ньютона
Бином Ньютона – это формула, выражающая натуральную степень двучлена (а+b) в виде степеней его слагаемых с определенными коэффициентами.
Теорема: Для имеет место равенство:
Частными случаями этой формулы являются (а+b)2; (а+b)3.
Свойства сочетаний. Треугольник Паскаля.
1. Правило симметрии:
В соответствии с этим правилом будем иметь:
2. Правило Паскаля:
3.
Правило симметрии и правило Паскаля позволяют составить таблицу биноминальных коэффициентов: треугольник Паскаля.
Если n = 0, то можно найти лишь и это число равно 1.
Если n = 1, то можно найти: . В соответствии с правилом симметрии эти числа равны друг другу и равны 1.
Если n = 2, то можно найти: . В соответствии с правилом симметрии , а по правилу Паскаля .
Если n = 3, то можно найти: . В соответствии с правилом симметрии , а по правилу Паскаля . По правилу симметрии можно найти . Тот же результат мы получим, если воспользуемся правилом Паскаля: .
Таким образом, замечаем, что по краям треугольника Паскаля должны стоять единицы, а любое число n – ой строки равно сумме чисел предыдущей строки, стоящих над ним справа и слева.
n |
|
|
0 |
|
1 |
1 |
|
1 1 |
2 |
|
1 2 1 |
3 |
|
1 3 3 1 |
4 |
|
1 4 6 4 1 |
5 |
|
1 5 10 10 5 1 |
6 |
|
1 6 15 20 15 6 1 |
Треугольник Паскаля позволяет быстро записать любую натуральную степень двучлена.
Например,
Теорема: Конечное множество А, содержащее n элементов, имеет 2n подмножеств.
Доказать самостоятельно, что 2n = .
2-й семестр
Раздел III. Математические утверждения и их структура
Лекция № 10. ПОНЯТИЯ И ИХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
Контрольные вопросы:
Определяемые и неопределяемые понятия. Объем и содержание понятия, отношения между понятиями.
Способы определения понятий.
Структура определения через род и видовое отличие.
4. Основные требования к определениям понятий.
5. Связь с начальным курсом математики.
Литература: (1) гл. I, §§ 5, 6 пп.23-28; (2) гл. I, § 2, с. 46-50, 89-92, 94-97, 99-103; (3) гл. I, § 3 пп.17,24, 25-27; (4) гл. II, с. 75-82; (5) гл. II, §§ 2.3, 2.4, 2.7, 2.8.
Всякий математический объект обладает свойствами: существенными и несущественными. Свойство называется существенным, если оно принадлежит данному объекту и без него он существовать не может, несущественным, если его отсутствие у данного объекта никак не влияет на его существование.
Например, треугольник обладает следующими свойствами:
1) имеет три стороны;
2) имеет три вершины;
3) имеет три угла;
4) один из углов равен 90;
5) две его боковые стороны равны;
6) медиана перпендикулярна стороне треугольника;
7) одна из сторон горизонтальна.
Свойства 1-3 являются существенными для треугольника, нарушение хотя бы одного из них приводит к исчезновению объекта (треугольника). Остальные свойства не являются существенными для треугольника, однако свойство 4 станет существенным для прямоугольного треугольника; свойство 5 является существенным для равнобедренного треугольника; свойство 6 – для равностороннего; свойство 7 никогда не будет существенным.
Чтобы понять, что представляет собой данный объект, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об объекте. Понятие – это целостная совокупность суждений о существенных свойствах объекта.
Понятия условились обозначать малыми буквами латинского алфавита: a, b, c и т.д. Всякое понятие характеризуется своим объемом и содержанием.
Определение: Объем понятия «a» - это множество A всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином.
Пример:
1. Пусть понятие «а» - хвойное дерево. Тогда объем этого понятия А= {ель, сосна, кедр, ..., лиственница}.
2. Пусть понятие «b» - однозначное число. Тогда объем понятия «b» будет В= {1,2,3.4,5,6,7,8,9}.
Определение: Содержание понятия – это множество всех существенных свойств, которыми обладает это понятие.
Пример:
1. Пусть понятие «а» - биссектриса угла. Содержание этого понятия будут составлять существенные свойства:
- быть лучом;
- исходить из вершины угла;
- делить угол пополам.
2. Понятие «b» – существительное. Содержание понятия «b» :
- быть частью речи;
- обозначать предмет;
- отвечать на вопросы «кто?», «что?».
Объем и содержание понятия связаны между собой: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание и наоборот. Например, в объем понятия «треугольник» входят все возможные треугольники, а в объем понятия «равнобедренный треугольник» - только те, у которых две стороны равны. Ясно, что объем понятия «треугольник» шире, чем объем понятия «равнобедренный треугольник». А вот содержание последнего наоборот шире, так как равнобедренный треугольник обладает всеми существенными свойствами треугольника, поскольку он треугольник, да еще и такими существенными свойствами, которые для понятия «треугольник» не являются существенными, например, иметь две равные боковые стороны; два угла при основании равны; медиана, опущенная на основание, является биссектрисой и высотой.