Требования к определению понятий

Задание:

Рассмотреть и выписать самостоятельно. См. учебник «Математика» (автор А.П. Тонких) гл. II , с. 71-74; и учебник «Основные понятия» (авторы Охременко Д.В., Тонких А.П.) ч. I, с.92.

Лекции №№ 11 - 15. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.

Контрольные вопросы:

1. Высказывания, высказывательные формы.

2. Операции над высказываниями и предикатами.

3. Отношение логического следования и равносильности между предложе­ниями.

4. Необходимые и достаточные условия.

5. Правильные и неправильные рассуждения. Индукция (пол­ная и непол­ная).

6. Простейшие схемы дедуктивных умозаключений.

7. Строение и виды теорем. Мате­матические со­физмы.

8. Способы доказательства математических утверждений.

9. Логические задачи. Способы их решения.

10. Основные приемы логического мышления: обобщение, сравне­ние, ана­лиз, синтез, классификация. Роль и место элементов логики в обучении ма­тема­тике.

Литература: (1) гл. I, § 3 пп.13-17, §§ 5, 6 пп.23-28; § 4 пп.19-21; (2) гл. I, § 2, с. 46-50, 89-92, 94-97, 99-103; § 3, с. 53-59, 61-62, 67-71, 73; (3) гл. I, § 3, пп.17-27; (4) гл. II, с. 57-59, с. 62-83, с. 88-91; (5) гл. II, §§ 2.1 – 2.9.

Высказывания и операции над ними

Математическая логика – это раздел математики, изучающий математические доказательства, а также вопросы основания математики.

Начало развития математической логики связывают с именем английского учёного математика-логика Дж. Буля. (1815г.-1864г.) Основным понятием математической логики является понятие высказывание.

Определение: Высказыванием называется повествовательное предложение, относительно которого есть смысл говорить истинно оно, либо ложно.

Существенные признаки понятия «высказывание»:

1. быть повествовательным предложением;

1. иметь одно и только одно значение истинности.

Вопросительные, восклицательные, побудительные, субъективного характера предложения высказываниями не являются.

Например:

1. Москва – столица России.

а

=> это высказывание, причем истинное.

) предложение повествовательное

в) является истинным

2. Спектакль очень хороший.

Это предложение носит субъективный характер, оно не является высказыванием.

3. Сотри с доски.

Данное предложение не является высказыванием, так как относительно него нет смысла говорить истинно оно или ложно.

4. «10» -число натуральное.

–высказывание, причем истинное.

Если высказывание истинное – то пишут «и» или (1).

ложное - «л» или (0).

Высказывания принято обозначать большими буквами латинского алфавита: A,B, C,D,...X,Y,Z.

A- «и» – такое предложение читается так: высказывание А – истинное.

В- «л», - В – ложное.

Высказывания бывают простые и составные.

Определение: Высказывание называется составным, если его можно разложить на отдельные части, каждое из которых является самостоятельным высказыванием.

Составные высказывания иногда называются сложными.

Не разложимое на части высказывание называется элементарным или простым.

Примеры:

1. А: Разность натуральных чисел Х и 5 равна 12. или А: Х – 5 = 12. Это не высказывание, так как, хотя оно и является повествовательным предложением, но о его значении истинности сказать ничего нельзя.

пусть Х=4. Тогда А: 4 – 5 = 12 – «л».

пусть Х₂ =17. Тогда А: 17 – 4 = 12 – «и».

Произошла смена значений истинности предложения, следовательно, предложение Х – 5 = 12 высказыванием не является.

В предложении имеется переменная, однако наличие переменной не является характерным признаком того, что предложение высказыванием не является. Например,

В: Х² +4 > 0. Данное предложение является повествовательным предложением и не меняет свое значение истинности. Следовательно В – это высказывание, причем истинное.

Определение: Два составных высказывания называются равносильными или эквивалентными, если они одновременно «и», или одновременно «л», при любых предположениях об истинности, входящих в них элементарных высказываниях.

А = В означает: высказывание А равносильно высказыванию В.