1.2. Расширение диффузионного подхода при описании пространственных потоков для случая движения заряженных частиц

Вопрос о возможном влиянии электрического потенциала на движение частиц в биологической системе традиционно рассматривается при описании перемещения заряженных частиц через липидные мембраны. Действительно, именно в этом случае возникает такая биологическая система, которая может быть описана с помощью физической постановки задачи о движении заряженных частиц во внешнем электрическом поле, профиль скалярного потенциала которого {(р) характеризуется несколькими локальными минимумами. Выражение для потока через единичную поверхность в этом случае для одномерной системы может быть представлено в виде основного уравнения электродиффузии:

е

где есть величина безразмерного потенциала.

Нужно подчеркнуть, что, несмотря на то, что уравнение электродиффузии было выведено для конкретного случая движения ионов в липидной фазе мембран, оно относится к любой сплошной среде, включая и водные растворы.

Фактически движение заряженных частиц в среде внутри какого-либо биологического объекта в присутствии внешнего электрического поля сродни перемещению зарядов между двумя электродами- в растворе электролита. Такое движение, очевидно, будет происходить и в отсутствии градиента концентрации лишь при наличии градиента скалярного потенциала (электрофорез) В этом случае поток частиц будет определяться выражением:

И йг

Введение величины электрофоретической подвижности позволяет несколько модифицировать представленное выше выражение

3 = -геСи

с1г

а затем представить в новом виде основное электродиффузионное уравнение:

с1г с1г

Легко видеть, что-в таком виде данное уравнение соответствует известному уравнению Нернста-Планка. Примечательно, что сравнение этого уравнения' с уравнением Фика для диффузии и уравнением электрофореза-показывает, что суммарный поток в случае электродиффузии складывается алгебраически* из диффузионного* и электрофоретического потоков. Иными словами, диффузионное и электрофоретическое движение ионов происходят независимо друг от друга.

Следует особо подчеркнуть, что процессы электродиффузии рассматриваются в большей степени применительно к техническим аспектам физических задач, нежели относительно- описания биологических систем. Причиной этого отчасти можно считать сложное и не всегда точно заданное пространственное распределение плотности электрических зарядов, формирующее результирующий профиль потенциала. Долгое время методы Пуассона-Нернста-Планка (ПНП) использовались в физике полупроводников для описания различных электродиффузионных процессов. В случае

применения этой методологии, для исследования проницаемости* и других свойств ионных каналов, описываются* не движения отдельных ионов, а концентрации удовлетворяющие уравнению Нернста-Планка и электрические потенциалы, удовлетворяющие уравнению Пуассона [15,16]. В связи с этим величины электрического потенциала меняются на временах порядка фемптосекунд, а ионные потоки значительно медленнее. Так же решения Пуассона-Нернста-Планка могут быть выведены путем усреднения микроскопических траекторий ионов из моделей Ланжевена в случае, когда корреляции между ними пренебрежимо мальг[17,18]. В общем виде система ПНП-уравнений может быть представлена в виде:

Я²

—Аф-п~р — д а

Г =В_п\-Уп + пУф\ ^ = П_р-(-Ур-рУф)

^ = у[П„-(Уп-пУф)] ?£ = у[П_р.(Ур + рУф)]

где ф — электрический потенциал, п - плотность отрицательных зарядов, р - плотность положительных зарядов, q - фиксированные заряды на мембране и белке, I" и 1^р - плотности потока ионов, Б_п и Б_р - коэффициенты диффузии, а X — дебаевская длинна получаемая из соотношения:

V е^л,«

Величина нормировочного множителя а выбирается исходя из геометрических размеров ионного канала.

Представленный в данном разделе подход, по сути, позволяет уже выстроить достаточно подробную картину трансмембранных потоков в условиях наличия градиента концентрации некоторого иона и сформированного внешнего электрического поля. Однако основной проблемой в подобной ситуации является весьма сложное представление профиля истинного электрического потенциала в конкретных областях объекта, полученного на основе фиксированных зарядов, а также влияние флуктуаций обусловленных вновь привносимыми и удаляемыми из системы подвижными зарядами. В силу того, что их появление может быть обусловлено различными факторами (такими например как диссоциация некоторого комплекса, или перенос частицы из другого компартмента), то в каждый момент времени будут существенным образом изменять упомянутые выше локальные плотности и как следствие модифицировать окончательное решение. Избежать подобных проблем в том диапазоне времен и расстояний в рамках, которых используется уравнения Нернста-Планка практически невозможно. Более того, следует обратить внимание на то обстоятельство, что в. целом ряде случаев при описании трансмембранных ионных токов« нет необходимости постоянно проводить усреднение по большому компартменту. Вполне достаточно охарактеризовать локальное изменение проводимости мембраны за счет открытия единичного канала. В этом случае вместо диффузионного (электродиффузионного) приближения следует использовать подходы молекулярной динамики, описывающие стохастическое движение заряженных частиц в вязкой среде обладающей диэлектрической проницаемостью. Данный подход будет подробно рассмотрен в следующем разделе.