2.2. Формулировка задачи Коши для системы уравнений Ланжевена и ее пошаговое решение
В соответствие с условиями, представленными выше, можно утверждать, что для случая перемещения заряженных частиц вблиз
и
поверхности мембраны необходимо количественно описать стохастическую траекторию движения ионов (частиц) в моделируемой области. Совершенно очевидно, что перемещение частиц через поверхность биологической мембраны будет происходить только при условии открытого ионного канала. В остальные моменты времени движение частиц происходит таким образом, что траектория движения не будет пересекать область мембраны. Для случая метаболотропных рецепторов это означает, что для формирования трансмембранного тока следует рассматривать систему в период времени между связыванием и освобождением агониста из сайта рецептора. Численное решение уравнения Ланжевена предполагает периодическое, с интервалом Д1;, переопределение модуля и направления стохастической силы для каждой частицы. Исходя из выбора величины интервала АІ справедливо:
Таким
образом, движение
N
частиц в отдельный интервал времени
описывает система из
ЗЫ
уравнений движения. Заряд, масса и
радиус частиц соответствуют заряду,
массе и радиусу соответствующих ионов
в гидратной оболочке. Кроме подвижных
зарядов в растворе, в системе присутствует
Щ неподвижных зарядов от аминокислотных
остатков, формирующих ионоселективные
фильтры, и заряженных липидов в мембране.
Для системы из
N
заряженных частиц и
Ы/
неподвижных зарядов для каждой отдельной
частицы уравнения изменения
пространственных проекций в декартовой
системе координат с начальными условиями
имеет вид:\
г
Як
Е
т
з
2
12
А
7188
О
^к
э
У
Г
4
N
с1х,
.
(хк,1
*/,/)
У
4
7Г££а
+
з
2
^
Л
У
(2.1)
л у}
В данном случае предполагается, что параметры среды, такие как вязкость и диэлектрическая проницаемость не претерпевают существенных флуктуаций в моделируемой области и в представленной выше формулировке задачи фигурируют их усредненные значения.
Величина стохастической силы будет определяться из следующего соотношения:
Ч +00
6щЯк=-- -F.it))л
—оо
В ходе моделирования (решения задачи (2.1)) после завершения движения частиц в системе за период времени А^ происходит перерасче
т
стохастической силы и в тоже время пересчет первого и второго слагаемых в правой части уравнений в соответствии с фактическим новым расположением частиц относительно друг друга и системы фиксированных зарядов. При этом значения координаты и первой производной по времени соответствуют значениям, которые приобрели частицы от некоторого
начального момента ^о (для простоты моделирования и без ограничения
общности можно считать ^о = ^ ) к моменту времени ? = ¿о ^ • В дальнейшем подобные последовательные итерации продолжаются такое количество раз, которое необходимо для получения количественного
описания движения частиц за время
В результате проведенных таким образом расчетов исследователь получает совокупность координатных точек в декартовых координатах, характеризующих перемещение рассматриваемых частиц в моделируемой области. При этом различные варианты начальных распределений положений частиц приводят к различным последующим вариантам перемещения. Достаточно очевидно, что для наиболее «правдоподобного» начального распределения частиц исходные координаты должны задаваться случайным образом (с помощью генератора псевдослучайных чисел). Необходимо отметить, что на то, как будут формироваться траектории движения частиц, в первую очередь будет оказывать влияние не столько начальное их пространственное распределение, сколько внешнее поле и/или поле фиксированных зарядов. Причем можно с полной уверенностью полагать, что в рассматриваемом примере моделирования внешнее поле может оказывать меньшее воздействие поскольку, в сущности, оно экспериментально оценивается уже на фоне значительных локальных флуктуаций плотностей электрических зарядов, которые в предлагаемом подходе учитываются в явном виде. Именно поэтому особое внимание необходимо уделить рассмотрению различных возможных вариантов плотности распределения зарядов в системе.