Тема 1: Формулы комбинаторики и вероятность, аксиомы Колмогорова. Алгебра событий. Классическое определение вероятности.

1. Основные понятия.

В жизни часто встречаются ситуации, когда результат проводимого опыта (испытания, наблюдения) нельзя предсказать заранее с полной уверенностью. Так, при бросании монеты нельзя точно сказать, какой стороной она упадет, при покупке лотерейного билета нельзя точно знать, выпадет ли на него выигрыш, при раздаче карт нельзя знать определенно, сколько козырей окажется у вас в руках. Во всех таких случаях результат опыта рассматривают как случайное событие.

Мы будем использовать следующее определение.

Определение 1. Некоторое событие называется случайным по отношению к данному опыту, если оно может как наступить, так и не наступить в результате проведения данного опыта.

Примерами случайных событий являются : присутствие нечетного числа студентов на лекции, выпадение герба при бросании монеты, выигрыш при игре в лотерею, попадание в цель при выстреле и т. д.

Перечисленные выше события могут произойти в опытах, которые можно повторить (в принципе) неограниченное число раз (подсчитать количество студентов на лекции, подбросить монету, купить лотерейный билет, произвести выстрел).

Случайные события, которые могут наступить в таких опытах, называют массовыми.

Примером не массового (единичного) события является такое случайное событие: "15 мая 2002 года в Брянске будет дождь". Это событие не массовое, поскольку данный опыт воспроизвести еще раз невозможно, так как 15 мая 2002 года наступает только один раз.

Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей, присущих массовым случайным событиям.

Пример такой закономерности дает опыт с бросанием игрального кубика, на гранях которого написаны числа от 1 до 6. Исход каждого отдельного бросания является случайным. Однако средний результат большого числа испытаний утрачивает случайный характер, становится закономерным. Например, "доля" выпадений числа "1" (т. е. отношение количества раз выпадения "1" к общему числу бросаний) с увеличением числа бросаний приближается к 1/6 .

Условимся обозначать случайные события заглавными латинскими буквами.

Определение 2. Два случайных события называют несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же опыте. Несколько случайных событий несовместны, если они попарно несовместны.

Пример 1. Опыт состоит в бросании игрального кубика. Событие - выпадение четного числа очков. Событие- выпадение 5. Очевидно, что событияинесовместны.

Определение 3. Два случайных события называют совместными в данном опыте, если наступление одного из них не исключает наступление другого.

Пример 2. Опыт и событие те же, что в примере 1. Событие- выпадение числа, делящегося на 3. Событияисовместны , поскольку могут произойти одновременно при выпадении "6".

Определение 4. Через обозначим событие, заключающееся в том, что событиене произошло.называют такжепротивоположным к событием

Пример 3. Опыт: один выстрел по мишени. Событие - попадание в мишень. Тогда- это промах.

Определение 5. Суммой двух случайных событий иназывают случайное событие, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из событийили.

Пример 4. Опыт состоит в том, чтобы произвести два выстрела по мишени. Событие - попадание при первом выстреле. Событие- попадание при втором выстреле. Тогда событиесостоит в попадании хотя бы при одном выстреле.

Определение 6. Произведением двух случайных событий иназывают событие, состоящее в том, что в результате данного опыта событияинаступают одновременно.

Пример 5. В ящике лежат бракованные и небракованные детали, изготовленные на двух заводах №1 и №2. Опыт состоит в извлечении наугад из ящика одной детали. Случайное событие Aпоявление небракованной детали, событие Bизвлечение детали, изготовленной на первом заводе. Тогда событие AB состоит в извлечении небракованной детали, изготовленной на первом заводе.

Пример 6.Игра в покер. Игроку раздаётся пять карт. Событие A состоит в получении пяти последовательно идущих по старшинству карт (например, 8, 9, 10, Валет, Дама). Эта комбинация называется “стрит”. Событие B состоит в получении пяти карт одной масти. Событие AB состоит в получении пяти последовательно идущих по старшинству карт одной масти и называется “флеш”.

Определение 7. Случайное событие называют достоверным, если оно обязательно наступает в данном опыте.

Пример 7. Опыт: Бросание игральной кости. Случайное событие A состоит в выпадении целого числа очков. Очевидно, что Aвсегда наступает,то есть является достоверным событием.

Определение 8. Случайное событие называют невозможным, если оно не произойдёт в данном опыте.