2. Основные задачи на использование уравнения прямой

1.Вычисление угла между прямыми.

Пусть даны две прямые:

l₁: у=к₁х+b₁,  ₁ – угол ее наклона,

l₂ : у=к₂х+b₂,  ₂ – угол ее наклона.

Углом между прямыми l₁ и l ₂ будем называть угол  - наименьший угол, на который нужно повернуть 1-ую прямую l ₁, вокруг точки М (точка пересечения прямых) против часовой стрелки до совпадения её со 2-ой прямой l₂; 0   .

Угол равен =₂- ₁

tg=tg(₂-₁)=

tg₂ =k₂, tg₁=k₁ 

tg =(1)

Если l₁|| l ₂, то ₁ = ₂ k₂=k₁, то есть у параллельных прямых угловые коэффициенты равны.

Если l ₁ l ₂ , то  ₂=₁ +90^о или  ₂=₁ +;

tg₂=tg(₁ +)=-сtg₁=-, tg₂=k₂; k₂=-, т.е. у перпендикулярных прямых угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Пример 1.

Найти уравнения двух прямых, проходящих через начало координат, из которых одна параллельна, а другая перпендикулярна прямой l : у=2х-3

Решение.

ℓ₁ ||ℓ  k₁ =2. Прямая проходит через точку О(0;0). Используем уравнение у–у₁=k₁(х–х₁); ℓ₁:у=2х.

Т.к. ℓ₂ ℓ, то k₂ будет противоположным по знаку и обратным по величине коэффициенту к: k₂=. Прямая тоже проходит через точку О(0;0)ℓ₂: у=х.

2. Взаимное расположении двух прямых

Пусть прямые ℓ₁ и ℓ₂ заданы своими общими уравнениями

ℓ₁: А₁х+В₁у+С₁ = 0, ℓ₂: А₂х+В₂у+С₂=0

1. Если А₁В₂-А₂В₁  0, то прямые пересекаются,

2. если = , то прямые параллельны,

3. если = =, то прямые совпадают,

4. если А₁ А₂+ В₁В₂=0, прямые перпендикулярны.

3. Расстояние от точки до прямой

Пусть дана точка М₀ (х₀; у₀) и прямая ℓ :Ах+Вх+С=0. Найти расстояние между М_о и ℓ.

Расстоянием от точки до прямойназывается длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Запишем уравнение прямой, перпендикулярной прямой ℓ и проходящей его через точку М_о.

ℓ: Ах+Ву+С=0 (1).

Отсюда Ву=-Ах–С, у=-х-;.

ℓ₁: у–у_о=·(х–х_о), А·(у–у_о)=В·(х–х_о). (2)

Т.к. точка М₁  ℓ, то её коэффициенты удовлетворяют уравнению (1): Ах₁+Ву₁+С=0.

Т.к. точка М₁  и прямой ℓ₁ , то координаты точки М₁ удовлетворяют и уравнению (2): А(у₁–у_о)=В(х₁–х_о).

d=М₁М_о=

Запишем левую часть уравнения (2) в следующем виде:

Ах₁+Ву₁+С–Ах₀–Ву₀+Ах₀+Ву₀=А(х₁-х₀)+В(у₁-у₀)+Ах₀+Ву₀+С.

Получим систему уравнений:

Решим систему относительно х₁–х_о и у₁–у_о

у₁–у_о=--В; х₁–х_о=--А

Подставим в формулу d, получим:

d=

§4. Кривые второго порядка

1. Основные понятия

Кривыми второго порядка называют линии, уравнения которых могут быть записаны следующим образом:

Ах₂+Вху+Су₂+Дх+Еу+F=0,

где А,…,F–некоторые действительные числа, называемые коэффициентами уравнения, причем по крайней мере один из коэффициентов А, В или С отличен от 0.

К числу линий второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

2. Окружность

Окружностью называются множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности.

М₀М=R – радиус окружности.

М₀М=

(1) (х–х_о)²+(у–у_о)²=R² -

каноническое (простейшее) уравнение окружности с центром в т. М₀ (х₀; у₀) и радиусом R.

Если центр окружности расположен в начале координат, то уравнение окружности имеет вид: х²+у²=R².