Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

/ LEKCIJA_No2

.docx
Скачиваний:
4
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
64.53 Кб
Скачать

Лекция №2.

Теорема о логарифмическом вычете, принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Гурвица о пределе последовательностей аналитических функций. Определение вычета. Логарифмическая функция и логарифмический вычет. Кратность нуля и полюса для мероморфной функции.

Теоретические вопросы:

  1. Сходимость последовательности аналитических функций;

  2. Теорема Вейерштрасса;

  3. Теорема Руше;

  4. Теорема Гурвица;

Содержание лекции

Сходимость аналитических функций

Ранее было рассмотрено определение последовательности непрерывных функций. Для данной последовательности имеет место следующая теорема:

Теорема 2.1. Если функции непрерывны на множестве, то в случае равномерной сходимости их нак конечной функции,последняя также непрерывна на.

Доказательство. Действительно, пусть; для заданногосуществует такой номер, что для всехимеем. Далее, существует числотакое, что для всехсимеем(возможно в силу непрерывностина).

Отсюда длясимеем:,что и означает непрерывностьв точке.

Отсюда далее следует, что если функции непрерывны в областии равномерно сходятся внутрик конечной функциитонепрерывна в.

В случае аналитических функций имеет место следующая фундаментальная теорема Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса

Теорема 2.2.(Вейерштрасса). Если последовательность функций , регулярных в области, равномерно сходится внутрик конечной функцииторегулярна ви последовательность производныхравномерно сходится внутрик.

Доказательство. Возьмем какой-либо замкнутый круг , лежащий в, и концентрический с ним замкнутый кругбольшего радиуса, также лежащий в. Еслиесть граница, то по формулам Коши имеем для:

(1)

С другой стороны, так какнепрерывна в, то функция

(2)

будет регулярной в . Из (1) и (2) имеем для:

(3)

и аналогично

(4)

Но на последовательностьравномерно сходитсяи, следовательно, для заданногосуществуеттакое, что принабудет:.

Имея это в виду, из (3) и (4) получаем при

(5)

где и— радиусы кругови.

Первое из этих неравенств показывает, что сходится вк функции, которая по условию должна совпадать сСледовательно,регулярна внутри. Но— любой круг, лежащий в. Поэтомурегулярна в, еслине содержит ∞.

Далее, второе из неравенств (5), если заменить в нем на, показывает, что последовательностьравномерно сходится вк, так как, за счет выбора, правую часть можно сделать сколь угодно малой сразу для всех, то есть так какв, тов.

Чтобы доказать равномерную сходимость внутри, отметим, что каждое ограниченное замкнутое множествоможно покрыть конечным числом кругов, целиком лежащих ввместе с границами.

Действительно, для каждой точки существует замкнутый круг с центром в, лежащий в. Совокупность этих кругов (для всех) целиком покрывает. По теореме Гейне — Бореля существует конечное число кругов, также покрывающих.

Пусть эти круги будут .

Тогда, по доказанному, для существуют, то прииимеем. Еслиесть наибольшее из чисел, то принеравенствоимеет место для точек всех кругов,, а следовательно, и для всех, т. е. последовательностьравномерно сходится на.

Теорема о логарифмическом вычете

Теорема 2.3. (теорема о логарифмическом вычете). Пусть G – некая область комплексной плоскости. f – аналитическая функция в области G. - гладкий контур внутриG.

Пусть - количество нулей функцииf внутри Г (считая их кратность), тогда получим равенство:

. (1)

Доказательство. Используем теорему Коши о вычетах, согласно которой:

. (2)

Пусть порядка. Разложим функцию:

.

Вычислим производную:

.

.

.

Следовательно , где- порядок нуля в точкеа.

Отсюда следует, что:

.

При подсчете числа нулей регулярной функции в заданной области часто применяется теорема Руше.

Теорема Руше

Теорема 2.4. (теорема Руше). Пусть функцииирегулярны в ограниченной односвязной областии на ее границеи пусть для всехимеет место неравенство. Тогда функциииимеют в областиодинаковое число нулей.

Доказательство. Используя теорему о логарифмическом вычете, отметим, что – количество нулей функции.

Обозначим величину . Функциюможно представить в следующем виде:

, где

То есть , где– ноль функции, а– его порядок.

Пусть, где– полюс 1-го порядка. Значит,1

Для .

Надо показать, что . Пусть. Тогда. Значит,.

Получаем:

Cдругой стороны, так как

и ,

то..

Получается, что , то есть.

Относительно равномерно сходящихся последовательностей регулярных функций докажем еще следующую теорему, имеющую многочисленные применения.

Теорема Гурвица

Теорема 2.5. (Гурвица) Если последовательность функций , регулярных в области, равномерно сходится внутрик регулярной функциии если каждая из функцийпринимает данное значениене более кем вточках области, то и функцияпринимает значениене более кем вточках из.

Доказательство. Пусть сначала не содержит ∞. Допустим, чтопринимает значениевразличных точкахОпишем около точек, столь малые окружности, чтобы они лежали внедруг друга, содержали внутри себя лишь точки областии чтобы на них не было нулей функции.

Все это возможно выполнить, поскольку . При этих условиях существуеттакое, что на всех окружностяхимеем.

Так как последовательность функций равномерно сходится на окружностях, то существуеттакое, что на,, имеем. Из

по теореме Руше заключаем, что функциявнутри каждой окружности,наверное имеет нули,nтаккак их имеет функция.

Следовательно, принимает значениене менее, чем вточках области, что противоречит условию теоремы.

Если область содержит ∞, но отлична от полной плоскости, то, отобразив ее надлежащей дробно-линейной функцией на область, не содержащую ∞, можно применить к преобразованным функциям выше доказанное.

И случай, когда область является всей плоскостью, исключается, так как в этом случае всегда.

Следствие 2.2.1. Если последовательность однолистных функций сходится к функции, тоявляется однолистной функцией, при чем.

9

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]