Содержание

Введение 2

Глава 1. Основные понятия теории рядов 4

1.1 Определения и термины 4

1.2 Истоки проблемы 7

Глава 2. Метод степенных рядов 10

2.1 Суть метода 10

2.3 Теорема Таубера 15

Глава 3. Метод средних арифметических 18

3.1 Суть метода 18

3.2 Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро 22

3.3 Теорема Харди-Ландау 25

3.4 Применение обобщенного суммирования к умножению рядов 31

Глава 4. Другие методы обобщенного суммирования 35

4.1 Методы Г.Ф. Вороного 35

4.2 Обобщенные методы Чезаро 37

4.3 Метод Бореля 42

4.4 Метод Эйлера 44

Заключение 47

Список использованной литературы 48

Введение

Математический анализ занимается проблемами изучения множества объектов, таких как: числа, переменные, функции, последовательности, ряды и др. При изучении свойств того или иного объекта могут возникать пробелы или пустоты. Это возникает тогда, когда наука не может объяснить: “Почему происходит так, а не иначе? ”. Такая ситуация существовала некоторое время и при изучении рядов, а точнее при изучении расходящихся рядов.

При изучении рядов заданному числовому ряду

(А)

в качестве его суммы приписывали предел её частичной суммы , в предположении, что этот предел существует и конечен. “Колеблющийся" расходящийся ряд оказывался лишенным суммы и подобные ряды, как правило, из рассмотрения исключали. Естественно возникает вопрос о возможностисуммирования расходящихся рядовв некоем новом смысле, конечно отличном от обычного. Некоторые методы такого суммирования оказались довольно-таки плодотворными.

В данной своей работе мы рассматриваем эти методы, обращая внимание на то, где и какой метод наиболее применим, изучаем связь между этими методами. Работа состоит из 4 глав, первая из которых содержит основные термины и определения. Последующие главы рассматривают непосредственно сами методы суммирования. Вторая и третья главы посвящены двум основным методам суммирования: метод степенных рядовиметод средних арифметических, а третья содержит сведения о других существующих, но реже применяемых методах. Каждая из четырех глав содержит примеры суммирования рядов по данному конкретному методу.

Глава 1. Основные понятия теории рядов

1.1 Определения и термины

Как мы упомянули вначале цель нашего исследования - расходящиеся ряды. А что же такое, вообще,ряд?

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел

(1)

Составленный из этих чисел символ

(2)

называется бесконечным рядом, а сами числа (1) - членами ряда. Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:

(2а)

Станем последовательно складывать члены ряда, составляя (в бесконечном количестве) суммы;

(3)

их называют частичными суммами ряда.

Конечный или бесконечный предел А частичной суммы ряда (2)при :

называют суммой ряда и пишут

,

Придавая тем самым символу (2) или (2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае (т. е если сумма равна , либо же суммы вовсе нет) - расходящимся.

Примеры.1) простейшим примером бесконечного ряда является уже знакомая геометрическая прогрессия:

Его частичная сума будет (если )

Если знаменатель прогрессии, q, по абсолютной величине меньше единицы, тоимеет конечный предел

то есть наш ряд сходится, и будет его суммой.

При та же прогрессия дает пример расходящегося ряда. Если, то его суммой будет бесконечность (определенного знака), в прочих случаях суммы вовсе нет. Отметим, в частности, любопытный ряд, который получается приa=1 иq= - 1;

…1+ (-1) +1+ (-1) +1+…

Его частичные суммы попеременно равны то 1, то 0.

2) Легко установить расходимость ряда

В самом деле, так как члены его убывают, то его n-я частичная сумма

и растет до бесконечности вместе с n.