2. Матрицы. Основные определения – прямоугольная, квадратная, диагональная, треугольная, нулевая и единичная матрицы. Сложение матриц и его свойства.

Определение 1. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:

, где a_ij P, i=,j=.

Определение 2. Квадратной матрицей n-го порядка над полем P называется матрица размера n×n над полем P.

Пусть A – квадратная матрица n-го порядка. Тогда в А выделяют 2 диагонали: главную и побочную.

главная побочная

Матрицы обозначаются следующим образом: А=(a_ij) или А=||a_ij||, i=,j=.

Определение 3. Элементы a_ii квадратной матрицы А=(a_ij) называются диагональными, или элементами главной диагонали.

Определение 4. Квадратная матрица А=(a_ij) называется диагональной, или все ёё элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю: a_ii≠ 0, a_ij=0 при i≠j.

Через А_i будем обозначать i-ю строку матрицы А, т.е. А_i=(a_i1 a_{i1 …} a_in), через А^j – j-й столбец матрицы А, т.е. А^j =.

Определение 5. Матрица А=(a_ij), i=,j= называется треугольной (верхней треугольной), если a_ij=0 при i>j.

Строку или столбец матрицы А называют нулевыми, если все их элементы равны нулю.

Определение 6. Матрица А=(a_ij), i=,j= называется ступенчатой (матрицей ступенчатого вида), если во всех ее строках вторые индексы первых слева ненулевых элементов возрастают j₁<j₂<…<j_i.

Из определения 6 следует, что ступенчатая матрица является треугольной, причем ее нулевые строки (если они есть) расположены ниже ее ненулевых строк.

Определение 7. Две матрицы A=(a_ij) и B=(b_ij) размера m×n над полем P называются равными, если a_ij=b_ij, i=,j=. Обозначается А=В.

Определение 8. Матрица над полем P называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Обозначается =.

Определение 9. Матрица n-го порядка вида называетсяединичной матрицей. Другими словами, единичная матрица — это диагональная матрица у которой все элементы главной диагонали равны 1: a_ii=1 для всех i.

Определение 10. Пусть A=(a_ij), B=(b_ij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой матриц А и В называется матрица С=(c_ij) размера m×n над полем Р, где c_ij=a_ij+b_ij, i=,j=, и обозначаетсяС=А+В.

Теорема. Для любых матриц А , В и С размера m×n над полем P выполняются следующие свойства: 1) А+В=В+А; 2) А+(В+С)=(А+В)+С; 3) А+=+А=А; 4) для любой матрицы А над полемP существует матрица (-А) такая, что А+(-А)=-А+А=.

Доказательство. Так как сложение матриц сводится к сложению элементов поля Р, а в поле Р сложение коммутативно и ассоциативно, существует нулевой элемент и для каждого элемента есть противоположный, то эти свойства выполняются и для матриц.

Множество всех матриц размера m×n над полем P обозначается через М_m,n(Р). Из теоремы следует, что М_m,n(Р) является аддитивной абелевой группой.

3. Умножение матрицы на скаляр, транспонирование матриц, умножение матриц и их основные свойства.

Определение 1. Пусть A=(a_ij) – матрица размера m×n над полем P, P. Произведением матрицы А на элемент называется матрицаС=(с_ij) размера m×n над полем P, где с_ij= a_ij , j=,i=, и обозначается С=А.

Определение 2. Пусть A=(a_ij) – матрица размера m×n над полем P, B=(b_ij) - матрица размера n×k над полем P. Произведением матриц А и В называется матрица С=(с_ij) размера m×k над полем P, в которой элемент с_ij равен скалярному произведению i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы B, т.е. с_ij=A_iB^j=(a_i1 ... a_in)⋅=a_i1b_1j+^…+a_inb_nj=,i=,j=, и обозначается С=A⋅B.

Лемма 1. Пусть А, В, С - матрицы над полем Р. Если существует произведение (АВ)С, то существует и произведение А(ВС), причем (АВ)С=А(ВС).

Доказательство. Пусть существует произведение (АВ)С. Тогда существуют матрицы АВ размера m×n и матрица С размера n×k. Это означает, что существуют матрицы А размера m×l и В размера l×n. Таким образом, существуют матрицы А, В и С соответственно размера m×l, l×n и n×k. Тогда существует произведение BC размера l×k и поэтому существует произведение А(ВС).

Покажем, что (AB)C=A(BC). Пусть (АВ)С=(x_ij), А(ВС)=(y_ij), i=,j=. Покажем, что x_ij=y_ij, i=,j=. Пусть A=(a_ip), B=(b_ps), С=(с_sj), АВ=R=(r_is), BC=T=(t_pj), s=,p=.Тогда

x_ij=R_iC^j====,

y_ij=A_iT^j====.

Таким образом, x_ij=y_ij , i=,j=. Следовательно, (AB)C=A(BC). Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть A, B, C – матрицы над полем P следующих размеров: А и В – размера m×n, С – размера n×k. Тогда (А+В)С=АС+ВС.

Доказательство. Пусть (А+В)С=(x_ij), АС+ВС=(y_ij), i=, j=. Покажем, что x_ij=y_ij, i=, j=. Пусть A=(a_is), B=(b_is), С=(с_sj), i=, s=, j=. Тогда

x_ij=(A+B)_iС^j====A_iC^j+B_iC^j=y_ij.

Следовательно, (А+В)С=АС+ВС. Лемма доказана.

Определение 3. Пусть A - матрица размера m×n над полем P. Транспонированием матрицы А называется операция замены в матрице А i-й строки на i-й столбец, i=. Матрица, полученная в результате транспонирования матрицы A, называется матрицей, транспонированной к матрице A, и обозначается ^tA.

Пример 1. Если A =, то^tА =. Таким образом, еслиА – матрица размера m×n, то ^tА - матрица размера n×m.

Лемма 3. Если произведение AB существует, то существует произведение ^tB ^tA, причем ^t(AB)= ^tB ^tA.

Лемма 4. Если А – матрица размера m×n над полем Р, то АЕ_n=E_nA=A.

Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.

Через M_n(P) обозначается множество всех квадратных матриц n-го порядка над полем P.

Замечание. Из свойств операций над матрицами следует, что M_n(P) - ассоциативное кольцо с единицей. Отметим, что умножение матриц некоммутативно (см. примеры на практических занятиях).

Лемма 5. Пусть А и В – матрицы над полем P, P. Тогда AB=(A)B=A(B).