Задачи с параметрами и методы их решения

ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ

В. С. Крамор

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Моск в а ОНИКС Мир и Образование

2007

ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ72 Ê78

Крамор В. С.

Ê78 Задачи с параметрами и методы их решения / В. С. Крамор. — М.:

ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. — 416 с.: ил. — (Школьный курс математики).

ISBN 978-5-488-01066-6(ООО «Издательство Оникс»)

ISBN 978-5-94666-362-5 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)

Цель книги — научить школьников и абитуриентов вузов самостоятельно решать задачи с параметрами и помочь прочно усвоить различ- ные методы их решения.

Пособие содержит около 350 типовых задач с методическими указаниями и 300 задач для самостоятельного решения и ответы к ним.

Книга может быть использована при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе, к сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз.

ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ72

Учебное издание

ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ

Крамор Виталий Семенович

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ и методы их решения

Редактор А. М. Суходский. Младший редактор Н. А. Карасева

Техн. редактор Е. А. Вишнякова. Компьютерная верстка Е. Ю. Пучковой

Подписано в печать 26.02.2007. Формат 60х901/ . Гарнитура «Школьная».
16	.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 26,00. Тираж 5000 экз. Заказ ¹

Общероссийский классификатор продукции ОК-005-93, том 2; 953005 — учебная литература

ООО «Издательство Оникс».

127422, Москва, ул. Тимирязевская, д. 38/25. Почтовый адрес: 117418, Москва, а/я 26. Отдел реализации: тел. [phone]. Internet: www.onyx.ru; e-mail: [e-mail]

ООО «Издательство «Мир и Образование».

Изд. лиц. ИД ¹ 05088 от 18.06.2001. 109193, Москва, ул. 5-я Кожуховская, д. 13, стр. 1. Тел./факс: [phone]. E-mail: [e-mail]

ISBN978-5-488-01066-6(ООО«ИздательствоОникс»)

ISBN 978-5-94666-362-5 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)

©Крамор В. С., 2007

©Оформление переплета. ООО «Издательство Оникс», 2007

ПРЕДИСЛОВИЕ

Задачи с параметрами являются одними из наиболее трудных задач урса элементарной математи и. Их решение по существу представляет собой исследование фун ций, входящих в условие задачи, и последующее решение уравнений или неравенств с числовымиоэффициентами. При решении уравнений (неравенств) с параметрами необходимо выяснить, при а их значениях параметра заданное уравнение (неравенство) имеет решение, и найти все эти решения. В том случае, о#да хотя бы одно из допустимых значений параметра не исследовано, задание не считается полностью решенным.

В течение мно#их лет задачи с параметрами в лючаются в э - заменационные билеты по математи е для абитуриентов высших учебных заведений, а в последние #оды та ие задачи предла#аются и при сдаче ЕГЭ.

Ка правило, немно#ие абитуриенты мо#ут решить подобные задачи, что приводит снижению оцен и за письменную работу, и часто именно из-за это#о нехватает нужно#о оличества баллов при зачислении в вуз.

Общеобразовательная ш ола по мно#им причинам не может научить своих учени ов решать задачи с параметрами. Это очень трудный материал, требующий большо#о оличества времени; роме то#о, прежде чем приступать решению подобных задач учащийся должен в совершенстве овладеть общим урсом математи и.

Цель данной ни#и состоит в том, чтобы попытаться научить выпус ни ов средней ш олы и абитуриентов вузов самостоятельно решать задачи с параметрами и прочно усвоить различные методы, применяющиеся в процессе их решения.

Весь учебный материал разбит на 18 тем, имеющих одну и ту же стру туру. Каждая тема (за ис лючением тем 10 и 11) содержит: справочный материал; задачи с решениями; задачи для самостоятельно#о решения и ответы ним. Кроме то#о, имеются два приложения: «Те стовые задачи на составление уравнений и неравенств» и «Разные задачи».

3

Вобщей сложности ни#а содержит о оло 350 задач с решениями и о оло 300 задач для самостоятельно#о решения.

Вразделе «Справочный материал» приводятся формулиров и определений, правил, теорем и т. д.

Теоретичес ие сведения изложены онспе тивно в той же последовательности, что и при изучении их в ш оле. У азанный раздел является весьма важным, пос оль у в случае затруднений при анализе решений задач или при их самостоятельном решении учащийся может получить необходимые онсультации, обращаясь

справочному материалу.

Вразделе «Задачи с решениями» приводятся решения задач с параметрами, относящихся заданной теме. Этот раздел содержит большое оличество задач, решения оторых основаны, с одной стороны, на общих теоретичес их сведениях из ш ольно#оурса математи и (определениях, правилах, теоремах, следствиях), а с дру#ой — на специфичес их особенностях задач, содержащих параметры (умении определенным образом лассифицировать значения параметра, переходе от исходной задачи равносильной ей, использовании наиболее рационально#о метода решения, умении мыслить ло#ичес и и т. д.). Каждая задача из это#о раздела решается подробнейшим образом, аждое действие в процессе решения нумеруется, пос оль у оно несет определенную смысловую на#руз-у. В ачестве за лючительно#о действия любая задача сопровождается подробным ответом, в отором для аждо#о допустимо#о значения параметра записывается соответствующее этому значению решение задачи.

Раздел «Задачи для самостоятельно#о решения» предназначен для тех учащихся, оторые уже усвоили предыдущий раздел и хотят за репить свои знания и умения самостоятельно.

Кни#а завершается двумя приложениями. Приложение 1 содержит те стовые задачи на составление уравнений и неравенств с параметрами, а Приложение 2 — разные задачи, не толь о анало- #ичные тем, что и в уже рассмотренных темах, но и та ие, оторые по тем или иным причинам в эти темы не вошли.

Вонце ни#и приводится обширный списо литературы, о- торой пользовался автор при под#отов е настояще#о издания. Мно- #ие задачи, взятые из у азанных пособий, входили в э заменационные билеты для поступающих в различные вузы страны.

Вза лючение нес оль о слов о том, а пользоваться этим пособием. По мнению автора, не следует начинать с анализа тех решений, оторые приведены в ни#е. Прежде все#о нужно в совершенстве владеть методами решения примеров и задач, не содер-

4

жащих параметры. В частности, усвоению та их методов может способствовать ни#а: В. С. Крамор. Повторяем и систематизируем ш ольный урс ал#ебры и начал анализа (М.: ОНИКС, Мир и Образование, 2007). Из упомянутой ни#и следует усвоить толь о один раздел: «Упражнения с решениями». Лишь после это#о можно переходить анализу решенных в настоящей ни#е задач с параметрами. Сначала попробуйте самостоятельно решить а ую-либо задачу, а в случае затруднений обращайтесь ее решению, приведенному в ни#е. Усваивайте приемы, использованные при решении этой задачи, та а в дальнейшем тот или иной прием может о а- заться полезным.

Успехов вам, ш ольни и и абитуриенты!

Автор

5

Тема 1

1.Нат ральные числа

2.Простые и составные числа

3.Обы новенные дроби. Правильные и неправильные дроби

4.Множество целых чисел, множество рациональных чисел

5.Мод ль числа

6.Возведение рациональных чисел в степень с нат ральным по азателем

7.Свойства степени с нат ральным по азателем

8.Числовые выражения. Выражения с переменными. Тождественно равные выражения

9.Одночлены. Мно(очлены

10.Форм лы со ращенно(о множения

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Нат ральные числа

1°. Понятие нат рально о числа относится простейшим, первоначальным понятиям математи и и не определяется через дру#ие, более простые понятия.

2°. Натуральные числа возни ли в результате счета предметов. В поряд е возрастания их можно записать а ряд чисел 1, 2, 3, 4, ... , т. е. это целые положительные числа.

3°. Множество натуральных чисел обозначают N.

2. Простые и составные числа

1°. Число a называют простым, если е#о делителями являются толь о единица и само число a.

6

2°. Число a, имеющее более двух натуральных делителем ( роме 1 и a), называют составным.

3°. Заметим, что число 1 не относится ни простым, ни составным числам.

3. Обы новенные дроби. Правильные и неправильные дроби

1°. Одну или нес оль о равных частей единицы называют

обы новенной дробью.

2°. Обы новенную дробь записывают с помощью черты и двух натуральных чисел.

3°. Число, записанное под чертой и по азывающее, на с оль о равных частей разделена единица, называют знаменателем дроби.

4°. Число, записанное под чертой и по азывающее, с оль о взято та их равных частей, называют числителем дроби.

5°. Дробь, в оторой числитель меньше знаменателя, называют

правильной.

6°. Дробь, в оторой числитель равен знаменателю или больше е#о, называют неправильной.

7°. Основное свойство дроби. При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, отличное от нуля, значение дроби не меняется.

4. Множество целых чисел, множество рациональных чисел

1°. Числа натуральные, им противоположные, а та же число нуль составляют множество целых чисел. Е#о обозначают Z.

2°. Множество натуральных чисел, дополненное нулем, называют множеством целых неотрицательных чисел и обозначают Z0.

3°. Объединение множеств целых и дробных чисел (положительных и отрицательных) составляет множество рациональных чисел. Е#о обозначают Q.

5. Мод ль числа

1°. Мод лем (абсолютной величиной) действительно#о числа a называют:

а) само это число, если a l 0;

б) противоположное число (–a), если a < 0. 2°. Модуль числа a обозначают |a|.

7

3°. Ита ,

|a| =		a,	если a l 0;
		(–a),	если a < 0.

4°. Геометричес и |a| означает расстояние на оординатной прямой от точ и, изображающей число a, до начала отсчета.

6.Возведение рациональных чисел в степень с нат ральным по азателем

1°. Степенью числа a с по азателем k, #де k Ý N, a Ý Q, называют произведение k множителей, аждый из оторых равен a:

ak = a · a · a · ... · a .

k раз

2°. Число a называют основанием степени, а число k — по а- зателем степени.

7. Свойства степени с нат ральным по азателем

1°. При умножении степеней с одина овыми основаниями по-азатели с ладываются, а основание остается прежним:

ak · al = ak + l, #де k, l Ý N.

2°. При делении степеней с одина овыми основаниями по азатели степеней вычитаются, а основание остается прежним:

ak : al = ak – l, #де k, l Ý N.

3°. При возведении степени в степень по азатели степеней перемножаются, а основание остается прежним:

(ak)l = akl, #де k, l Ý N.

4°. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

(abc)k = akbkck, #де k Ý N.

5°. Степень частно#о равна частному степеней делимо#о и делителя:

	a		k	ak
	--			= ----- , #де b − 0, k Ý N.
	b			bk

8

8.Числовые выражения. Выражения с переменными. Тождественно равные выражения

1°. Из чисел, зна ов действий и с обо можно составить различные числовые выражения.

2°. Примерами выражений с переменными являются выраже-

ния a + 3 , x2 + y – 2 и т. д.

------------

5

3°. Значение выражения, содержаще#о переменную, зависит от значения переменной.

4°. Множество значений переменных, при оторых выражение с переменными имеет смысл, называют областью определения

это#о выражения.
5°. Выражение	-----3------	5-	при x = 5 не имеет смысла, та а при
	x –

x = 5 знаменатель дроби обращается в нуль.

6°. Два выражения называют тождественно равными, если при всех значениях входящих в них переменных, принадлежащих общей области определения, соответственные значения этих выражений равны.

7°. Равенства, верные при всех допустимых значениях переменных, называют тождествами.

9. Одночлены. Мно(очлены

1°. Выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и их степеней, называют одночленом.

2°. Одночлены, отличающиеся толь о числовыми оэффициентами или равные между собой, называют подобными.

3°. Ал#ебраичес ую сумму одночленов называют мно очленом. 4°. Преобразование мно#очлена в произведение двух или не- с оль их мно#очленов (среди оторых мо#ут быть и одночлены),

называют разложением мно очлена на множители.

10. Форм лы со ращенно(о множения

1°. x2 – y2 = (x – y)(x + y) (разность вадратов).

2°. (x + y)2 = (x + y)(x + y) = x2 + y2 + 2xy ( вадрат с ммы). 3°. (x – y)2 = (x – y)(x – y) = x2 + y2 – 2xy ( вадрат разности). 4°. x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2 – xy) (с мма бов).

9

5°. x3 – y3 = (x – y)(x2 + y2 + xy) (разность бов). 6°. (x + y)3 = x3 + y3 + 3x2y + 3xy2 ( б с ммы). 7°. (x – y)3 = x3 – y3 – 3x2y + 3xy2 ( б разности). 8°. (a + x + y)2 = a2 + x2 + y2 + 2ax + 2ay + 2xy. 9°. (a – x – y)2 = a2 + x2 + y2 – 2ax – 2ay + 2xy.

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

1. Найти все действительные решения уравнения

8a4(x4 + y4) – 4a2(x2 + y2) + 1 = 0.

(1)

1.Данное уравнение содержит параметр a и две переменные

x и y.

2.Преобразуем уравнение (1) та :

а) разделив уравнение (1) на 2, рас роем с об и и получим

																	1	= 0;		(2)
4a4x4 + 4a4y4 – 2a2x2 – 2a2y2 + --
																	2
б) в уравнении (2) представим								1		а				1		+	1
								--						--			-- ;
								2						4			4
в) с#руппируем члены 4a4x4 – 2a2x2														+		1	и 4a4y4 – 2a2y2		+	1
																--				-- ;
																4				4
то#да уравнение (2) примет вид
4		2	2	1		2				2	y	2	–		1		2			(3)
		a x		– --		+ 4			a						--		= 0;
				4											4
#) разделив уравнение (3) на 4, получим
	2		2	1		2			2	y	2	–		1	2		= 0.			(4)
		a x		– --		+		a						--
				4										4

3. Левая часть уравнение (4) есть сумма двух неотрицательных сла#аемых. Поэтому уравнение (4) может иметь место толь о при условиях

	a2x2	1	= 0,
		– --
		4	(5)
	a2y2	1
			= 0.
		– --
		4

10