Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Задачи с параметрами и методы их решения

.pdf
Скачиваний:
778
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
6.91 Mб
Скачать

Рис. 68

3°. Отметим свойства фун ции y = = arccos x:

а) D(arccos) = [–1; 1]; б) E(arccos) = [0; π];

в) фун ция убывающая; #) arccos (–x) = π – arccos x.

9. Ф н ция y = arctg x

1°. На промежут е

 

π

;

π

 

тан#енс

--

--

 

 

2

 

2

 

 

возрастает (рис. 69, а) и принимает все числовые значения, т. е. E(tg) = (–×; +×). Поэтому фун ция y = tg x на промежут е

 

π

π

 

обратима, т. е. имеет обратную

 

--

; --

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 69

191

фун цию, оторую называют ар тан енсом и обозначают y = = arctg x. Геометричес и arctg x означает величину у#ла (ду#и), за-

люченно#о в промежут е

 

π

π

 

, тан#енс оторо#о равен x.

 

--

; --

 

 

2

2

 

2°. Графи фун ции y = arctg x изображен на рис. 69, б. Этот

#рафи симметричен #рафи у фун ции y = tg x, x Ý

 

π

π

 

, от-

 

--

; --

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

носительно прямой y = x.

 

 

 

 

 

3°. Отметим свойства фун ции y = arctg x:

 

 

 

 

 

а) D(arctg) = (–×; +×);

 

 

 

 

 

б) E(arctg) =

 

π

π

 

;

 

 

 

 

 

 

--

; --

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

в) фун ция нечетная, т. е. arctg (–x) = = –arctg x;

#) фун ция возрастающая.

10. Ф н ция y = arcctg x

1°. На промежут е (0; π) отан#енс убывает (рис. 70, а) и принимает все числовые значения, т. е. E(ctg) = (–×; +×). Поэтому фун ция y = ctg x на промежут-е (0; π) обратима, т. е. имеет обратную фун цию, оторую называют ар отаненсом и обозначают y = arcctg x. Геометричес и arcctg x означает величину у#ла (ду#и), за люченно#о в промежут е (0; π),отан#енс оторо#о равен x.

Рис. 70

192

2°. Графи фун ции y = arcctg x изображен на рис. 70, б. Этот #рафи симметричен #рафи у фун ции y = ctg x, x Ý (0; π), относительно прямой y = x.

3°. Отметим свойства фун ции y = arcctg x: а) D(arcctg) = (–×; +×);

б) E(arcctg) = (0; π);

в) фун ция убывающая;

#) arcctg (–x) = π – arcctg x.

11.Не оторые соотношения для обратных три(онометричес их ф н ций

π

m y m

π

, равносильны.

1°. Записи y = arcsin x и x = sin y, –--

--

2

 

2

 

Следовательно, для любо#о x, взято#о на отрез е –1 m x m 1, имеем

π

π

;

(1)

--

m arcsin x m --

2

2

 

 

sin (arcsin x) = x.

(2)

2°. Записи y = arccos x и x = cos y, 0 m y m π, равносильны. Поэтому для любо#о x та о#о, что –1 m x m 1, имеем

0 m arccos x m π;

 

 

(3)

cos (arccos x) = x.

 

(4)

 

π

 

π

, равносильны. Зна-

3°. Записи y = arctg x и x = tg y, –-- < y < --

 

2

 

2

 

чит, для любо#о x та о#о, что –× < x < +×, имеем

π

π

;

 

(5)

--

< arctg x < --

 

2

2

 

 

 

tg (arctg x) = x.

 

 

(6)

4°. Записи y = arcctg x и x = ctg y, 0 < y < π, равносильны. Та-им образом, для любо#о x та о#о, что –× < x < +×, имеем

0 < arcctg x < π;

(7)

ctg (arcctg x) = x.

(8)

5°. Фун ции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x и y = arcctg x

называют обратными три онометричес ими ф н циями (или ар ф н циями).

193

6°. Приведем еще не оторые формулы, позволяющие находить значения три#онометричес их фун ций от ар фун ций.

Например, вычислим cos (arcsin x). Положим arcsin x = y. То#-

π

π

; нам нужно найти cos y.

да sin y = x, –--

m y m --

2

2

 

а) Известно, что cos y = ä

1 – sin2 y .

 

б) Значит, cos y = ä 1 – x2 .

 

 

π

π

 

 

 

 

в) Но –--

m y m -- , а на этом отрез е осинус принимает неотри-

2

2

 

 

 

 

цательные значения.

 

 

 

 

#) Та им образом, cos y =

1 – x2 , т. е.

 

 

cos (arcsin x) =

1 – x2 , #де –1 m x m 1.

(9)

7°. Выведем еще одну формулу. Та а tg y = --sin---------y-

, то из фор-

 

 

 

 

cos y

 

мул (2) и (9) следует, что

 

 

 

 

 

tg (arcsin x) =

x

, #де –1 < x < 1.

(10)

 

-1----------x---2-

 

 

 

 

 

8°. Анало#ично получаются следующие формулы:

 

ctg (arcsin x) =

1 – x2

 

(11)

---------x----

------ , #де –1 m x m 1; x 0;

 

 

 

 

 

 

sin (arccos x) =

1 – x2 , #де –1 m x m 1;

(12)

tg (arccos x) =

1 – x2

 

(13)

---------x------

---- , #де –1 m x m 1; x 0;

 

 

 

 

 

 

ctg (arccos x) =

x

, #де –1 < x < 1.

(14)

 

---------------

 

 

 

1 – x2

 

9°. Справедливы тождества:

 

 

 

 

π

 

 

 

а) arcsin x + arccos x = -- , x Ý [–1; 1];

 

 

 

2

 

 

 

б) arctg x + arcctg x =

π

 

 

 

-- , x Ý R.

 

 

 

 

2

 

 

 

194

Тема 12

1.Решение три(онометричес их равнений вида sin x = a

2.Решение три(онометричес их равнений вида cos x = a

3.Решение три(онометричес их равнений вида tg x = a

4.Решение однородных три(онометричес их равнений

5.Решение систем три(онометричес их равнений

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Решение три(онометричес их равнений вида sin x = a

1°. Формула для орней уравнения sin x = a, #де –1 m a m 1,

имеет вид

x = (–1)karcsin a + πk, k Ý Z.

2°. Частные случаи:

а) sin x = 0, x = πk, k Ý Z;

π

+ 2πk, k Ý Z;

б) sin x = 1, x = --

2

 

 

 

π

+ 2πk, k Ý Z.

в) sin x = –1, x = –--

 

2

 

3°. Формула для орней уравнения sin2 x = a, #де 0 m a m 1, имеет вид

x = äarcsin a + πk, k Ý Z.

2. Решение три(онометричес их равнений вида cos x = a

1°. Формула для орней уравнения cos x = a, #де –1 m a m 1, имеет вид

x = äarccos a + 2πk, k Ý Z.

2°. Частные случаи:

а) cos x = 1, x = 2πk, k Ý Z;

π

+ πk, k Ý Z;

б) cos x = 0, x = --

2

 

в) cos x = –1, x = π + 2πk, k Ý Z.

195

3°. Формула для орней уравнения cos2 x = a, #де 0 m a m 1, имеет вид

x = äarccos a + πk, k Ý Z.

3. Решение три(онометричес их равнений вида tg x = a

1°. Формула для орней уравнения tg x = a имеет вид

x = arctg a + πk, k Ý Z.

2°. Частные случаи:

а) tg x = 0, x = πk, k Ý Z;

π

+

πk, k Ý Z;

б) tg x = 1, x = --

4

 

 

 

π

+ πk, k Ý Z.

в) tg x = –1, x = –--

 

4

 

3°. Формула для орней уравнения tg2 x = a, #де a Ý [0; +×), имеет вид

x = äarctg a + πk, k Ý Z.

4. Решение однородных три(онометричес их равнений

1°. Уравнение вида

a sin x + b cos x = 0 (a 0, b 0)

называют однородным равнением первой степени относительно sin x и cos x. Оно решается делением обеих е#о частей на cos x 0. В результате получается уравнение вида atg x + b = 0.

2°. Уравнение вида

a sin2 f(x) + b sin f(x) · cos f(x) + c cos2 f(x) = 0

(1)

называют однородным равнением второй степени относительно sin f(x) и cos f(x), если все три оэффициента a, b, c или а иелибо два из них отличны от нуля. Считая, что a 0, разделим обе части уравнения на cos2 f(x) 0; то#да получим

a tg2 f(x) + b tg f(x) + c = 0.

(2)

3°. Уравнение (2) равносильно уравнению (1), та а орни уравнения cos2 f(x) = 0 не являются орнями уравнения (1).

4°. Одна о если a = 0, то уравнение (1) примет вид

b sin f(x) · cos f(x) + c cos2 f(x) = 0.

196

Полученное уравнение решают разложением е#о левой части на множители:

cos f(x)(b sin f(x) + c cos f(x)) = 0.

5. Решение систем три(онометричес их равнений

1°. При решении систем три#онометричес их уравнений последние сводят либо одному уравнению с одним неизвестным, либосистеме уравнений относительно самих ар#ументов или фун ций этих ар#ументов.

2°. Рассмотрим лишь не оторые типы систем три#онометриче- с их уравнений и наиболее употребляемые методы их решения.

3°. Решим систему вида

sin x sin y = a,

(1)

cos x cos y = b.

 

а) С ладывая и вычитая уравнения системы (1), получаем равносильную систему

cos (x – y) = a + b,

(2)

cos (x + y) = b – a.

б) Система (2), а значит, и система (1) имеют решения то#да и толь о то#да, о#да выполняются условия –1 m a + b m 1 и –1 m m b – a m 1.

Если эти условия выполнены, то

 

x – y = äarccos (a + b) + 2πk,

(3)

x + y = äarccos (b – a) + 2πn,

 

#де k и n — любые целые числа, а зна и выбираются произвольно. в) Пусть arccos (a + b) = α, arccos (b – a) = β. Та им образом,

формулы (3) определяют четыре серии решений:

x – y = α + 2πk, x + y = β + 2πn;

x – y = –α + 2πk, x + y = β + 2πn;

x – y = α + 2πk, x + y = –β + 2πn;

x – y = –α + 2πk, x + y = –β + 2πn.

(4)

(5)

(6)

(7)

197

#) Решив эти системы, находим:

x = 0,5(α + β) + π(k + n), y = 0,5(β – α) + π(n – k);

x = 0,5(β – α) + π(k + n), y = 0,5(α + β) + π(n – k);

x = 0,5(α – β) + π(k + n), y = –0,5(α + β) + π(n – k);

x = –0,5(α + β) + π(k + n), y = 0,5(α – β) + π(n – k).

4°. Анало#ично решается система вида

sin x cos y = a, cos x sin y = b.

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

1. При а их значениях a уравнение

sin4 x + cos4 x + sin 2x + a = 0

имеет решение?

1. Преобразуем уравнение (1) следующим образом:

(sin2 x + cos2 x)2 – 2 sin2 x cos2 x + sin 2x + a = 0,

или

sin 2x

1 – sin 2x · ---------------- + sin 2x + a = 0.

2

(1)

(2)

2. Пусть sin 2x = y, #де |y| m 1. То#да после этой замены уравнение (2) примет вид

y2 – 2y – 2 – 2a = 0.

(3)

3. Найдем орни уравнения (3):

3 y = 1 ä 3 + 2a , #де a l -- .

2

198

4.

Решим сово упность двух систем неравенств:

 

 

–1 m 1 +

3 + 2a m 1,

 

3

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

;

 

3

 

 

от уда a = –--

 

 

a l --

,

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

–1 m 1 –

3 + 2a m 1,

3

 

1

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

3

 

 

от уда –--

m a m -- .

 

 

a l --

,

 

2

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

3 1

5.Ответ: a Ý – .

2.Выяснить, при а их значениях параметра a уравнение--2-- ;2

a2 – 2a + sec2 π(a + x) = 0

(1)

имеет решения, и найти эти решения.

 

1. Уравнение (1) равносильно следующему:

 

1

= 2a – a2.

(2)

cos-----------2----π---(--a------+-----x---)

 

 

2. Для то#о чтобы уравнение (2) имело решение, необходимо, чтобы выполнялось неравенство

2a – a2 l 1

(та а 0 m cos2 π(a + x) m 1). 3. То#да

a2 – 2a + 1 m 0, или (a – 1)2 m 0.

(3)

4.Неравенство (3) верно толь о при a = 1.

5.Если a = 1, то находим

cos2 πx = 1, πx = πk, x = k, k Ý Z.

6.Ответ: при a = 1; x = k, k Ý Z.

3.При аждом значении параметра a решить уравнение

sin2 x + 4 sin x – a = 0.

(1)

1. Решим данное уравнение а вадратное относительно синуса, введя о#раничение –1 m sin x m 1.

199

2. Уравнение (1) сводится сово упности двух уравнений:

 

sin x = –2 –

4 + a ;

(2)

 

sin x = –2 +

4 + a .

(3)

3.

Уравнение (2) не имеет решений ни при а их a, та а

–2 –

4 + a m –2 (по определению арифметичес о#о орня).

 

4.

Для уравнения (3) должна выполняться система неравенств

–1 m –2 + 4 + a m 1,

(4)

4 + a l 0.

 

5.Решив систему (4), находим –3 m a m 5.

6.Ответ: если a Ý [–3; 5], то

x = (–1)k arcsin (4 + a – 2) + πk, k Ý Z; если a Ô [–3; 5], то орней нет.

4. При аждом значении параметра a решить уравнение

sin2 x + a sin x – a2 + 1 = 0.

1.Решим данное уравнение а вадратное относительно синуса, используя о#раничение –1 m sin x m 1.

2.Пусть sin x = t; то#да

t1

=

– a – 5a2

– 4

, t2

=

– a + 5a2

– 4

2

.

------------------2-------------

------

------------------2-------------

------

при |a| l -------

 

 

 

 

 

 

5

 

3. Уравнение sin x = t1 имеет решение, если выполняется система неравенств

 

2

 

 

|a| l ------- ,

 

 

 

5

 

 

–a –

5a2 – 4

l –2,

(1)

 

–a +

5a2 – 4 m 2.

 

 

Решением системы (1) являются значения a Ý

 

2

 

Ÿ

 

 

 

 

 

–2; -------

 

2

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ÿ

 

; 1

.

 

 

 

 

-------

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

200