Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

/ Байесовские модели массовог

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
168.64 Кб
Скачать

йожптнбфйлб й е¿ ртйнеоеойс, 2010. ф. 4. чЩР. 3. у. 16 21

БАЙЕСОВСКИЕ МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И НАДЕЖНОСТИ: ХАРАКТЕРИСТИКИ СРЕДНЕГО ЧИСЛА ЗАЯВОК В СИСТЕМЕ M |M |1|∞

А. А. Кудрявцев1, С. Я. Шоргин2

Аннотация: Данная работа продолжает ряд статей, посвященных байесовским моделям массового обслуживания и надежности. В работе рассматриваются вероятностные характеристики среднего числа заявок в системе M |M |1|∞ в условиях рандомизации параметров входящего потока и обслуживания. Обсуждается интерпретация получаемых результатов с учетом возможной несобственности распределения среднего числа заявок.

Ключевые слова: байесовский подход; системы массового обслуживания; надежность; смешанные распределения; моделирование; несобственное распределение; «дефектное» распределение

1Основные предположения и обозначения

Подробное изложение основ байесовского подхода к моделированию систем массового обслуживания (СМО) и ненадежных восстанавливаемых систем, а также результаты вычисления основных вероятностных характеристик коэффициентов загрузки и готовности системы M |M |1|0, входные параметры которой не известны исследователю в точности (известно лишь их априорное распределение), можно найти в работах [1–6].

Основным предположением в рамках данного подхода для моделей M |M |1 является рандомизация интенсивностей входящего потока λ и обслуживания µ. При этом, естественно, становится случайной и загрузка рассматриваемой системы ρ = λ/µ, от значения которой, в частности, зависит наличие стационарного режима у рассматриваемой системы. Кроме того, величина ρ входит во многие формулы, описывающие характеристики разнообразных СМО. В статье рассматривается одна из таких характеристик, а именно среднее число заявок в системе M |M |1|∞

ρ

N = 1 − ρ.

В дальнейшем изложении будем предполагать, что входные параметры системы стохастически не-

зависимы и имеют вырожденное (D), равномерное (R), экспоненциальное (M ), Эрланга (E) распределение. В скобках будем указывать соответствующие параметры распределения, например обозначение D(a)будет соответствовать вырожденному в точке a распределению.

2Функция распределения и плотность

Будем обозначать функции распределения случайных величин ρ и N соответственно

Fρ(x) = P(ρ < x);

x

, x > 0.

 

(1)

FN (x) = P(N < x) = Fρ

 

 

 

 

 

1 + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим через fρ(x) и fN (x) соответствующие плотности. Очевидно,

fN (x) =(1 + x)2 fρ

 

1 + x

, x > 0. (2)

1

 

 

x

 

Для удобства дальнейшего изложения приведем таблицу функций распределения коэффициента загрузки ρ при различных распределениях интенсивностей входящего потока λ и обслуживания µ. Представленные результаты опубликованы авторами в работах [3, 5, 6]. (Для представления функции

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты 08-07-00152-а,08-01-00567-аи09-07-12032-офи-м.Статья написана на основе материалов доклада, представленного на IV Международном семинаре «Прикладные задачи теории вероятностей и математической статистики, связанные с моделированием информационных систем» (зимняя сессия, Аоста, Италия, январь– февраль 2010 г.).

1Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики, nubigena@hotmail.com

2Институт проблем информатики Российской академии наук, sshorgin@ipiran.ru

16

Байесовские модели массового обслуживания и надежности

Таблица 1 Функция распределения коэффициента загрузки ρ

λ

µ

 

Fρ (x), x > 0

 

 

 

D(λ)

M (α)

 

 

e−αλ/x

 

 

 

D(λ)

E(n, α)

 

e−αλ/xn−1 (αλ)m

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m=0

xmm!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (θ)

D(µ)

 

1 − e−µθx

 

 

 

M (θ)

M (α)

 

 

 

θx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α + θx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (θ)

E(n, α)

 

1 −

α + θx

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E(k, θ)

D(µ)

 

1 − e−µθx k−1

 

(µθx)m

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m=0

 

 

m!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E(k, θ)

M (α)

 

α + θx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

θx

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E(k, θ), k ≥ 2

E(n, α), n ≥ 2

α + θx

n+k−1 n1

θx

m

 

m=0

 

 

 

 

θx

 

 

X

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

распределения Эрланга с параметрами k и µθ в случае, когда λ имеет распределение E(k, θ), а µ — D(µ), использована формула 3.351.1 из [7].)

Как известно (см., например, [8]), при классической постановке задачи величину N имеет смысл рассматривать только в случае ρ < 1 (в противном случае N = ∞). При байесовском подходе нельзя однозначно сказать, какое значение примет величина ρ, а следовательно, априори нельзя сделать и точных выводов о том, будет ли система переполняться. Вполне естественно, что основную роль в прогнозах, касающихся среднего числа заявок N , будет играть величина

единицы. При этом само распределение называется несобственным или «дефектным», но предположений о возможном бесконечном значении соответствующей случайной величины, по сути, не делается. Заметим, что для исследователя зачастую более удобен второй подход к данной проблеме, поскольку, например, математическое ожидание расширенной случайной величины всегда равняется бесконечности, в то время как математическое ожидание «дефектной» случайной величины, рассматриваемое как координата центра масс системы, масса которой меньше единицы, может быть конечным числом.

δ = P(ρ ≥ 1) = 1 − Fρ(1).

(3)

Следуя терминологии [10], назовем величину δ,

определенную в (3), «дефектом» системы.

При этом, если не выполнено условие P(λ < µ) = 1,

Приведем значения величины «дефекта» δ для

байесовских СМО при различных предположени-

величина δ будет положительной. В этом слу-

ях об априорных распределениях интенсивностей λ

чае функция распределения рандомизированного

и µ. Применяя формулу (3) к выражениям из табл. 1,

среднего числа заявок в системе будет отделена от

получим результаты, показанные в табл. 2.

единицы на величину δ. Другими словами,

 

 

Аналогично, зная вид функции распределения

xlim FN (x) = 1 − δ .

 

(4)

коэффициента загрузки ρ и воспользовавшись фор-

→∞

 

мулами (1) и (2), несложно получить выражения

При рассмотрении распределений, обладающих

для функции распределения и плотности случай-

свойством (4), возможны два подхода. Согласно

ной величины N . Не будем останавливаться здесь

первому (см., например, [9]) предполагается, что

на результатах, полученных для распределений λ

случайная величина N может принимать беско-

и µ, заданных в табл. 1, поскольку они не суще-

нечное значение с положительной вероятностью.

ственны для дальнейшего изложения и получаются

В этом случае N называется расширенной слу-

тривиальной заменой переменных.

чайной величиной. Согласно второму

подходу

Далее приведем важный пример системы с ну-

(см. [10]) делается предположение, что «масса» рас-

левым «дефектом». В силу постулируемой неза-

пределения случайной величины N строго меньше

висимости случайных величин λ и µ обеспечить

ИНФОРМАТИКА И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЯ том 4 выпуск 3 2010

17

А. А. Кудрявцев, С. Я. Шоргин

Таблица 2 Значения величины «дефекта» δ

λ

µ

 

 

 

 

δ

 

 

 

 

 

D(λ)

M (α)

 

 

1 − e−αλ

 

 

 

 

 

 

 

n−1

 

(αλ)m

D(λ)

E(n, α)

 

1 − e αλ

P

 

 

 

 

 

 

m=0

 

m!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (θ)

D(µ)

 

 

 

e

−µθ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (θ)

M (α)

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α + θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (θ)

E(n, α)

 

α + θ

n

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E(k, θ)

D(µ)

 

e−µθk−1 (µθ)m

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m=0

m!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E(k, θ)

M (α)

 

1 − α + θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

θ

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E(k, θ), k ≥ 2

E(n, α), n ≥ 2

1 −

θk+1n−1− αn−1)

, α =6 θ

(θ − α)(θ + α)n+k−1

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −

 

, α = θ

 

 

 

n+k−1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выполнение условия P(λ < µ) = 1 может лишь определенное взаимное расположение носителей соответствующих распределений.

Пусть случайные величины λ и µ имеют равномерные распределения R(aλ, bλ) и R(aµ, bµ), соответственно, причем 0 < aλ < bλ < aµ < bµ. Очевидно, что «дефект» δ такой системы равняется нулю.

В работе [3] были приведены формулы для функции распределения и плотности коэффициента загрузки ρ для случая aλ/aµ < bλ/bµ. Воспользуемся этими результатами и формулами (1) и (2). Обозначим

cλ = (bλ − aλ)−1 и cµ = (bµ − aµ)−1 .

После несложных арифметических преобразований получаем

FN (x) = 0, если x < aλ/(bµ − aλ);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

FN (x) =cλ2cµ

bµs 1 + x− aλs

x

!

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

1 + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aλ

 

 

 

 

 

 

aλ

 

 

 

 

 

если

 

 

 

≤ x ≤

 

 

 

;

 

 

 

 

bµ− aλ

 

aµ− aλ

FN (x) = cλ

 

2(1 + x) − aλ

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(bµ + aµ)x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

 

 

 

aλ

≤ x ≤

 

 

bλ

;

 

 

 

 

aµ− aλ

bµ− bλ

 

FN (x) = cλcµ bλ(1 + x) − aµ × x

× bλ +aµx − aλ + cµ bµ bλ(1 + x) ,

2 2(1 + x) x

если

bλ

≤ x ≤

bλ

;

bµ− bλ

aµ− bλ

FN (x) = 1, если x > bλ/(aµ − bλ).

Соответствующая плотность будет иметь вид: fN (x) = 0, если x < aλ/(bµ −aλ)и x > bλ/(aµ −bλ);

fN

(x) =

2

 

(1 + x)2 x2 !

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cλcµ

 

bµ2

 

aλ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

 

 

 

aλ

≤ x ≤

 

 

aλ

;

 

 

 

 

 

bµ− aλ

 

 

 

aµ− aλ

fN

(x) =

cλ(bµ + aµ)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(1 + x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

 

 

aλ

≤ x ≤

 

bλ

;

 

 

 

 

 

aµ− aλ

 

bµ− bλ

 

f

 

(x) =

cλcµ(2bλaλ − bλ2)

 

 

cλcµaµ2

 

+

cµbλ

 

,

N

 

 

2(1 + x)2

x2

 

 

 

2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

 

bλ

≤ x ≤

 

 

bλ

.

 

 

 

 

 

bµ − bλ

 

aµ− bλ

Аналогичные результаты можно получить для случая aλ/aµ ≥ bλ/bµ.

18

ИНФОРМАТИКА И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЯ том 4 выпуск 3 2010

Байесовские модели массового обслуживания и надежности

3Моментные характеристики

Как упоминалось в разд. 2, вопрос о существовании математического ожидания среднего числа заявок N существенным образом зависит от величины «дефекта» системы δ. В случае δ > 0 математическое ожидание, понимаемое в классическом смысле, всегда равняется бесконечности.

Однако можно рассмотреть аналог математического ожидания — координату центра масс системы, масса которой равняется 1 − δ. Обозначим

 

 

эту характеристику EN . Формально имеет место

следующее определение:

 

 

EN = FN1(∞) Z0

x dFN (x).

Заметим, что в случае нулевого «дефекта» EN совпадает с EN и, по сути, является условным математическим ожиданием EN = E(N | ρ < 1).

Соотношения (1), (3) и (4) дают возможность привести цепочку тождеств, позволяющих записать EN при помощи различных характеристик системы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EN =

1

Z0

(FN (∞) − FN (x))dx =

 

FN (∞)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1 − δZ0

(1 − δ − FN (x))dx =

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Fρ1(1)

Fρ(1) − Fρ

1 + x dx =

 

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fρ(1)

1

1 − x

 

1 − x

 

 

 

 

 

 

 

Z0

 

 

 

 

 

 

=

 

 

1

 

 

Fρ(1)

− Fρ(x)

 

dx

.

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последнее выражение в (5) показывает, что в абсолютно непрерывном случае для существования EN необходимо, чтобы плотность fρ(x)в некоторой окрестности (1 − ε, 1] убывала к нулю при y → 1 быстрее, чем (1 − y)p для некоторого p (0, 1). Приведем пример такого распределения с положительным «дефектом».

Пусть

fρ(x) =34 |1 − x|1/2 , x [0, 2].

Тогда

EN = Fρ1(1)

 

 

 

 

 

1 + x =

 

 

 

 

 

 

Z0

x dFρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Fρ(1)

1

 

 

ρ

 

 

y

dy =

2

1

 

 

1 y =

 

Z

1

 

 

Z

 

 

1

 

 

 

 

yf

(y)

 

 

3

 

 

y dy

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

 

dy

 

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

Z

 

 

 

 

 

Z p1 − y dy = 2.

2

 

 

 

1 − y

2

 

 

 

 

 

 

0

 

p

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, в данном случае получена некоторая конечная моментная характеристика распределения случайной величины N , при этом математическое ожидание «дефектного» распределения N бесконечно.

Несмотря на то что подобный подход может давать дополнительную информацию о распределении среднего числа заявок N , ограничение на поведение плотности коэффициента загрузки ρ в окрестности единицы является столь существенным, что для всех распределений интенсивностей входящего потока λ и обслуживания µ, приведенных в табл. 1, как несложно убедиться, будут получаться бесконечные значения для EN . По этой причине необходимо привлечение иных методов изучения интересующего нас распределения. Об одном из таких методов речь пойдет в следующем разделе.

В заключение данного раздела рассмотрим пример «недефектного» распределения, для которого существуют классические моментные характеристики.

Пусть случайные величины λ и µ имеют распределения R(aλ, bλ) и R(aµ, bµ) соответственно

(0 < aλ < bλ < aµ < bµ, aλ/aµ < bλ/bµ). Воспользовавшись полученной в разд. 2 формулой для

плотности fN (x) и соотношениями

 

 

 

 

 

B

(1x+ x)2

= ln 1 + A ;

 

 

 

 

 

 

 

 

AZ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

1 + B

 

 

 

 

 

B

(1x+ x)2

= B + 1 + B

− A − 1 + A

− 2ln 1 + A ;

AZ

 

 

 

2 dx

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1 + B

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EN = xf

 

(x)dx =

cλcµbµ2

ln

aµ(bµ − aλ)

 

 

 

 

bµ(aµ − aλ)

 

 

Z0

 

N

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cλcµaλ2

ln

bµ − aλ

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

aµ − aλ

ИНФОРМАТИКА И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЯ том 4 выпуск 3 2010

19

А. А. Кудрявцев, С. Я. Шоргин

+

cλcµ(bµ2 − aµ2)

ln

bµ(aµ − aλ)

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aµ(bµ − bλ)

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aµ

− aλ

2

 

 

λ

λ

λ

 

cλ

 

 

 

 

+

cλcµ

 

 

 

2b a

 

 

 

b2

+ 2

bλ

 

 

ln

bµ

− bλ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cλcµaµ2

 

ln

aµ(bµ − bλ)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

bµ(aµ − bλ)

 

 

 

 

 

 

 

 

cλcµ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

=

 

 

2 (bµ2

 

 

aλ2) ln(bµ

− aλ) −

 

bλ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bµ2

 

bλ2

ln(bµ

 

− (aµ − aλ)ln(aµ − aλ) + aµ

− bλ

 

ln(aµ − bλ) −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− −

 

 

 

 

 

Аналогично получаем выражение для второго момента

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EN 2 =Z0

x2fN (x)dx =

µ

 

bµ − bλ

 

λ

µ

µ

 

aµ − bλ

 

= c c

 

a2

ln

aµ − aλ

 

b2

ln

bµ − aλ

.

 

 

 

 

Таким образом, в данном примере существуют не только математическое ожидание и дисперсия, но и моменты любого порядка.

4 Квантильные характеристики

Вполне традиционным методом «борьбы» с несуществующим математическим ожиданием является рассмотрение такой характеристики центра

распределения, как медианы. Заметим, что при изучении систем с положительным «дефектом» опять сталкиваемся с возможной неопределенностью этого объекта. Действительно, для собственной функции распределения квантиль любого порядка существует. Однако для «дефектных» функций распределения существенным является значение величины δ, поскольку определены лишь квантили порядка q (0, 1 − δ). Соответствующее замечание относится и к квантильному аналогу дисперсии — интерквартильному размаху.

В табл. 3 приведены значения квантилей xq порядка q (0, 1) функций распределения среднего числа заявок N для распределений интенсивностей входящего потока λ и обслуживания µ, рассмотренных авторами в работах [3, 5, 6] и отображенных в табл. 1.

При нахождении медианы x1/2 необходимо выполнение условия δ < 1/2 (см. табл. 2), а интерквартильный размах x3/4 − x1/4 определен лишь при δ < 1/4.

Обозначим через y(q, n) и z(q, k, n) соответственно решения уравнений

n−1

ym

n−1

X

 

 

X

 

 

= qey ;

zm = q(z + 1)n+k−1 . (6)

m=0

m!

m=0

 

 

Так же как и в случае с моментными характеристиками, не составляет труда найти квантили любого порядка для распределения с нулевым «дефектом». Например, если входные параметры λ и µ имеют равномерные распределения, заданные

Таблица 3 Значения квантилей xq распределения N

λ

µ

 

 

 

xq , 0 < q < 1 − δ

D(λ)

M (α)

 

 

 

 

 

αλ

 

 

 

 

 

ln q + αλ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αλ

D(λ)

E(n, α)

 

 

 

 

 

 

(см. (6))

 

 

 

y(q, n) − αλ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (θ)

D(µ)

 

 

 

 

ln(1 − q)

 

 

 

 

µθ + ln(1 − q)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (θ)

M (α)

 

 

 

 

 

 

αq

 

 

 

 

 

 

θ − (θ + α)q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (θ)

E(n, α)

 

 

 

α((1 − q)−1/n − 1)

 

 

θ − α((1 − q)−1/n − 1)

 

 

 

E(k, θ)

D(µ)

 

 

 

y(1 − q, k)

 

(см. (6))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µθy(1 − q, k)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E(k, θ)

M (α)

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

θq−1/k − θ − α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

E(k, θ), k ≥ 2

E(n, α), n ≥ 2

 

 

(см. (6))

 

θz(q, k, n) − α

20

ИНФОРМАТИКА И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЯ том 4 выпуск 3 2010

Байесовские модели массового обслуживания и надежности

в разд. 2, квантиль порядка q для распределения N находится из решения уравнения FN (x) = q. Так, при

 

aλ(bµ − aµ)

q

bµbλ + aµbλ − 2aλbµ

 

2aµ(bλ − aλ)

 

2bµ(bλ − aλ)

 

квантиль порядка q равняется

 

 

xq =

 

2aλ(1 − q) + 2bλq

.

 

bµ + aµ − 2aλ(1 − q) − 2bλq

 

 

 

Аналогично находятся квантили при

0 < q < aλ(bµ − aµ) 2aµ(bλ − aλ)

и

bµbλ + aµbλ − 2aλbµ < q < 1.

2bµ(bλ − aλ)

Литература

1.Шоргин С. Я. О байесовских моделях массового обслуживания // II Научная сессия Института проблем информатики РАН: Тез. докл. — М.: ИПИ РАН, 2005. С.120–121.

2.D’Apice C., Manzo R., Shorgin S. Some Bayesian queueing and reliability models // Electronic J. Reliability: Theory & Applications, 2006. Vol. 1. No. 4.

3.Кудрявцев А. А., Шоргин С. Я. Байесовский подход к анализу систем массового обслуживания и показателей надежности // Информатика и её применения, 2007. Т. 1. Вып. 2. С. 76–82.

4.Kudryavtsev A., Shorgin S., Shorgin V., Chentsov V.

Bayesian queueing and reliability models // Systems and means of informatics: Spec. issue: Mathematical and computer modeling in applied problems. — M.: IPI RAN, 2008. P. 40–53.

5. Кудрявцев А. А., Шоргин С. Я.Байесовские модели массового обслуживания и надежности: экспоненциально-эрланговский случай // Информатика и её применения, 2009. Т. 3. Вып. 1. С. 44–48.

6.Кудрявцев А. А., Шоргин В. С., Шоргин С. Я. Байесовские модели массового обслуживания и надежности: общий эрланговский случай // Информатика и её применения, 2009. Т. 3. Вып. 4. С. 30–34.

7.Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Наука, 1971. 1108 с.

8.Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория массового обслуживания. — М.: РУДН, 1995. 529 с.

9.Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980. 576 с.

10.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир, 1967. Т. 2. 752 с.

ИНФОРМАТИКА И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЯ том 4 выпуск 3 2010

21

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]