дополнительные вопросы алгебры(матанализа) / Задания к зачету (вычисление особого интеграла, задача о скачке)
.docxЗадания к зачету по спецкурсу.
Раздел 1. Вопросы по ТФКП.
1. Условие Коши-Римана (необходимое условие).
2. Интегральная теорема Коши.
3. Интегральная формула Коши.
4. Теорема Лиувилля.
Задачи к разделу 1.
1.1. Выполнить указанные действия:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
1.2. Найти модули и аргументы комплексных чисел:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
1.4. Найти все значения следующих корней и построить их:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
6)
.
1.8(1)* Исходя из геометрических рассмотрений, доказать неравенство:
.
1.23. Выяснить геометрический смысл указанных соотношений:
;
;
.
1.28. Выяснить геометрический смысл
соотношения:
.
1.59. Представить в показательной форме числа:
.
1.60. Найти
.
1.61. Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел
.
1.68. Найти действительные и мнимые части следующих значений функций:
1)
;
2)
;
3)
.
1.109. Определить линию, заданную
уравнением
.
1.110. Определить линию, заданную
уравнением
.
1.111. Определить линию, заданную
уравнением
.
1.121. Для отображения
найти:
1) образы линий
;
2) прообразы линий
.
1.132. Найти постоянные
,
при которых функция
будет аналитической.
Раздел 2. Интеграл Коши, интеграл типа Коши, особый интеграл.
1. Определение и свойства интеграла Коши.
2. Определение и свойства интеграла типа Коши.
3. Определение и свойства особого интеграла.
4. Основная лемма.
5. Формулы Сохоцкого.
6. Постановка краевой задачи Римана.
7. Решение задачи о скачке.
Задачи к разделу 2.
1. Вычислить интеграл типа Коши
,
взятый по контуру
(
,
с плотностью
,
если:
1)
,
– единичная окружность
;
2)
,
– единичная окружность
;
3)
,
– единичная окружность
;
4)
,
– единичная окружность
;
5)
,
– единичная окружность
;
6)
,
– единичная окружность
;
7)
,
– единичная окружность
;
8)
,
– единичная окружность
;
9)
,
– единичная окружность
;
10)
,
– единичная окружность
;
11)
,
– единичная окружность
;
12)
,
– единичная окружность
;
13)
,
– единичная окружность
.
2. Вычислить особый интеграл
,
взятый по контуру
(
,
с плотностью
,
если:
1)
,
– единичная окружность
;
2)
,
– единичная окружность
;
3)
,
– единичная окружность
;
4)
,
– единичная окружность
;
5)
,
– единичная окружность
;
6)
,
– единичная окружность
;
7)
,
– единичная окружность
;
8)
,
– единичная окружность
;
9)
,
– единичная окружность
;
10)
,
– единичная окружность
;
11)
,
– единичная окружность
;
12)
,
– единичная окружность
;
13)
,
– единичная окружность
.
3. Решить задачу Римана с краевым
условием
при условии
,
считая, что:
1)
,
– единичная окружность
;
2)
,
– единичная окружность
;
3)
,
– единичная окружность
;
4)
,
– единичная окружность
;
5)
,
– единичная окружность
;
6)
,
– единичная окружность
;
7)
,
– единичная окружность
;
8)
,
– единичная окружность
;
9)
,
– единичная окружность
;
10)
,
– единичная окружность
;
11)
,
– единичная окружность
;
12)
,
– единичная окружность
;
13)
,
– единичная окружность
;