- •II. Функциональные последовательности и ряды
- •§1. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости
- •§2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов
- •1. Равномерная сходимость функциональной последовательности
- •2. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности
- •3. Равномерная сходимость функциональных рядов
- •4. Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости
- •§3. Основные свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов
- •1. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда
- •2. Интегрирование и дифференцирование
- •§4. Степенные ряды
- •1.Степенной ряд и область его сходимости
- •2. Нахождение радиуса сходимости степенного ряда
- •3. Равномерная сходимость степенного ряда
- •4. Непрерывность суммы степенного ряда
- •5. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
- •§5. Ряд Тейлора
- •1. Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда
- •2. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
- •3. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора
II. Функциональные последовательности и ряды
§1. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости
Пусть дана последовательность
(1)
все члены которой являются функциями, определенными на множестве . Возьмем(фиксированное число). Получим последовательностькоторая является числовой. Она может как сходиться, так и расходиться. Если последовательностьсходится (расходится), то последовательностьсходится (расходится) в точке.
Определение1. Множество всех точек области , в которых функциональная последовательностьсходится, называется областью сходимости последовательности .
Пусть последовательность (1) сходится на множестве . Тогда влюбой точке существует предел последовательности (1), то есть. Очевидно,- функция, определенная на. Она называется предельной функцией последовательности (1).
Обозначение: или.
Рассмотрим теперь ряд
, (2)
членами которого являются функции, определенные на множестве . Составим последовательность частичных сумм ряда (2), где
.
Последовательность - функциональная. Если она сходится нак предельной функции, то и ряд (2) сходится наи его сумма равна. Так как сходимость последовательностинаопределяется как сходимость в любой точкемножества, то и сходимость ряда (2) наопределяется как сходимость в любой точке. А именно, приряд (2) превращается в числовой ряд. Если он сходится, то функциональный ряд (2) сходится в точке.
Определение 2. Областью сходимости ряда (2) называется множество точек из области , в каждой из которых ряд (2) сходится.
Если ряд (2) сходится на некотором множестве Е, т.е. , то функцияS(x) называется суммой ряда (2): .
Ряд (3) называетсяn–ым остатком ряда (2). Т.к. в любой точке множества Е ряд и любой из его остатков эквивалентны по сходимости, то если ряд (2) сходится на Е, то и любой из его остатков (3) сходится на Е. В этом случае, обозначим его сумму , тогда.
Пример 1. Найти область сходимости последовательности :=xn и её предельную функцию.
Δ
Следовательно, область сходимости х(-1;1].
S(x)=Δ
Пример 2. Найти область сходимости и сумму ряда 1+x+…+xn-1+…=.
Δ Для произвольного ряд является геометрическим, следовательно, он сходится при |x|<1, и его сумма S(x)=. Δ
Пример 3. .
Δ 1) |x|<1. Тогда ряд расходится.
2) |x|=1.. Ряд расходится.
3) |x|>1. В этом случае . Ряд является положительнымх из области |х|>1. Применим признак Даламбера
,
значит, ряд сходится.
Ответ: область сходимости .Δ
§2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов
1. Равномерная сходимость функциональной последовательности
Пусть функциональная последовательность сходится на множествеЕ к предельной функции S(x): . По определению предела это означает, что для любого фиксированного значенияпо любому заданному>0 найдется номер N, начиная с которого выполнено неравенство |Sn(x)-S(x)|<ε. Здесь под x понимается то значение, которое зафиксировано. В этом случае последовательность является числовой. Если взять другое значение х, то получится другая последовательность, и при том же ε номер N, начиная с которого выполняется неравенство |Sn(x)-S(x)|<ε будет, вообще говоря, другим. Т.к. х принимает бесконечное множество значений на Е, то получим бесконечное множество различных числовых последовательностей, сходящихся к пределу. Для каждой из них в отдельности существует свой номер N. Возникает вопрос: существует ли номер N, который при заданном ε был бы пригоден для всех этих последовательностей, т.е. хЕ?
Определение. Если последовательность имеет на множествеЕ предельную функцию S(x), и , существует такой, не зависящий отх номер N, что при любых неравенство |Sn(x)-S(x)|<ε выполнено одновременно для всех хЕ, то говорят, что последовательность сходится к функции S(x) равномерно на Е.
, если выполнено
. (1)
Геометрический смысл равенства сходимости
функциональной последовательности
Перепишем неравенство (1) в виде:
.
Оно означает, что графики всех членов последовательности, начиная с некого номера, целиком расположены в полосе шириной 2 между графиками функций ина множествеЕ.
Т.к. ε – произвольное положительное число, то полоса может быть сколь угодно узкой. Поэтому члены последовательности с достаточно большими номерами сколь угодно мало отличаются от S(x) на множестве Е.
Пример 1. Доказать, что последовательность равномерно сходится на отрезке [0;1] к S(x)=0.
Δ Выберем произвольное ε>0. Найдем номер N, начиная с которого неравенство (1) будет выполнено для любых значений .
.
Если потребовать, чтобы выполнялось , то требуемое неравенство будет выполнено. Отсюда. Возьмем. Итак, для выбранногоε , такой, чтоn>N и выполнено. Значит, последовательность равномерно сходится на [0;1] кS(x)=0. Δ.