Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Госы 5к Надя / лекции_3 / Кратные интегралы.doc
Скачиваний:
9
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
1.44 Mб
Скачать

Интегральное исчисление

функций нескольких переменных

I. Двойной интеграл

§1. Понятие двойного интеграла

1. Квадрируемые фигуры и их площади

Определение. Плоской фигурой F называется ограниченная замкнутая область из . Множество всех граничных точек фигурыF называется её границей и обозначается .

Определение. Многоугольником называется плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной.

Многоугольная фигура P – объединение нескольких многоугольников.

Понятие площади многоугольной фигуры и её свойства известны (из курса геометрии). Площадь обозначим .

Свойства площади многоугольной фигуры

  1. .

  2. Если , иP1 и P2 не имеют общих внутренних точек, то (аддитивность).

  3. Если P1=P2, то (инвариантность).

  4. Если то(монотонность)

Пусть дана плоская фигураF, ограниченная одной или несколькими замкнутыми кривыми. Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры Р, целиком содержащиеся в F, и многоугольные фигуры Q, целиком содержащие в себе F: . Для их площадей справедливо.

Рассмотрим 2 числовых множества: и. Множествоограничено сверху любым числом из. Следовательно,имеет верхнюю грань, то есть. выполнено . Следовательно,, то естьограничено снизу. Следовательно,. Ясно, что. Тогдавыполнено

.

Определение. Фигура F называется квадрируемой, если . При этомназываетсяплощадью фигуры F.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие квадрируемости). Пусть дана произвольная плоская фигура F. Для квадрируемости плоской фигуры F необходимо и достаточно, чтобы , такие, что.

Теорема 2. Фигура F квадрируема, если её границу можно разбить на конечное число частей, каждая из которых представляют собой кривую вида y=f(x), x[a;b] или x=φ(y), y[c;d], где f и φ – непрерывные функции.

Определение. Кривая L называется гладкой, если он задана параметрическими уравнениями

где определены и непрерывно дифференцируемы на [α;β], и t[α;β].

Кривая называется кусочно-гладкой, если её множество разбить на конечное число гладких кривых.

Теорема 3. Фигура F квадрируема, если её граница является гладкой или кусочно-гладкой кривой.

Площадь плоской фигуры обладает теми же свойствами, что и площадь многоугольной фигуры:

  1. .

  2. Если , иF1 и F2 не содержит общих внутренних точек, то .

  3. Если F1=F2, то .

  4. Если то.

2. Задача об объёме цилиндрического бруса

Пусть телоV ограничено: снизу - плоской фигурой P, лежащей в плоскости XOY, сверху – поверхностью z=f(x;y), где f – неотрицательная и непрерывная на P функция, с боков – цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси OZ. Такое тело называется цилиндрическим брусом. Найдём объём тела V. Разобьём область Р сетью кривых на n частей P1, P2,…,Pn. На контуре каждой части Pk построим поверхность с образующей, параллельной оси OZ. Эта поверхность вырежет в теле столбик Vk с основанием Pk. Таких столбиков будет n, и в совокупности они составят всё тело V. Сумма объёмов всех Vk даст объём тела V. Выберем в каждой части Pk произвольную точку и вычислим в ней значение функции. Затем каждый цилиндрический столбикVk заменим прямым цилиндром с основанием Pk и высотой zk. Тогда объём цилиндрического столбика Vk приблизительно равен объёму этого прямого цилиндра: .

Просуммировав эти выражения по , получим объёмV:

.

Это равенство тем точнее, чем мельче разбиение области P на части Pk.

Диаметром замкнутой области P называется наибольшее расстояние между двумя точками её границы. Пусть -диаметрPk. Обозначим . Пусть, тогдато есть

.

Соседние файлы в папке лекции_3