- •Интегральное исчисление
- •2. Задача об объёме цилиндрического бруса
- •3. Определение двойного интеграла
- •4. Геометрический смысл двойного интеграла
- •5. Ограниченность интегрируемой функции
- •§2. Условия существования двойного интеграла
- •1. Нижняя и верхняя суммы Дарбу
- •2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •3. Интегрируемость непрерывной функции
- •§3. Основные свойства двойного интеграла
- •§4. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием
- •§5. Замена переменных в двойном интеграле
- •1. Отображение плоских областей
- •2. Площадь в криволинейных координатах
- •3. Замена переменной в двойном интеграле
- •4. Двойной интеграл в полярных координатах
- •§6. Приложения двойного интеграла
- •1. Площадь поверхности
- •2. Вычисление массы плоской фигуры
- •II. Тройной интеграл
- •§1. Определение тройного интеграла и условия его существования
- •1. Кубируемое тело и его объем
- •2. Задача о вычислении массы тела
- •3. Определение тройного интеграла
- •4. Условия существования тройного интеграла
- •§2. Вычисление тройного интеграла
- •1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному
§5. Замена переменных в двойном интеграле
1. Отображение плоских областей
Рассмотрим 2 замкнутые области: G на плоскости UOV и D на плоскости XOY (каждая из этих областей может быть и не ограничена, в частности, может охватить всю плоскость). Пусть система функций
(1)
отображает взаимно однозначно область G на область D. Так как отображение взаимно однозначно, то функции (1) определяют систему функций
которые отображают область D на область G.
Возьмём точку P0(u0;v0)G. Проведём прямые u=u0 и v=v0. Система (1) отобразит Р0 в точку M0(x0;y0)D. Очевидно, прямая u=u0 отобразится на некоторую кривую в плоскости XOY. Из (1) получим уравнение образа прямой u=u0:
Эти формулы задают параметрические уравнения кривой. (Уравнение u(x;y)=u0 - неявное уравнение той же кривой). Эта кривая называется кривой u=const. Придавая различные значения, будем получать различные линииu=const. Следовательно: u=const –семейство линий. Так как различные линии u=u0 не пересекаются, то различные линии из семейства u=const тоже не пересекаются (так как отображение G на D взаимно однозначно).
Аналогично, образом прямой линии v=v0 является кривая линия, уравнения которой
(неявное уравнение - v(x;y)=v0). Эта линия называется v=const. Различные линии из семейства кривых v=const не пересекаются. Так как прямые u=u0 и v=v0 пересекаются в единственной точке P0(u0;v0), а (1) – взаимно однозначное отображение G на D, то кривые u(x;y)=u0 и v(x;y)=v0 в плоскости XOY также пересекается в единственной точке M0(x0;y0). Это означает, что числа u0 и v0 однозначно определяют точку M0(x0;y0) на плоскости XOY. Значит, эти числа могут служить координатами этой точки. Числа u0 и v0 называются криволинейными координатами точки M0 (так как координатные линии u=u0 и v=v0 на плоскости XOY являются кривыми линиями). Т.о., сетке декартовых координатных линий в плоскости UOV (два семейства перпендикулярных прямых) в плоскости XOY будет соответствовать сетка криволинейных линий, состоящая из двух семейств: u=const и v=const. Через любую точку M(x;y) пройдёт только одна координатная линия u=const и только одна координатная линия v=const.
u,v - криволинейные координаты точки М.
Тогда точка имеет прямоугольные координаты (x;y) и криволинейные координаты (u;v).
Примером криволинейных координат являются полярные координаты . Полярные координатысвязаны с декартовыми известными соотношениями:
(2), .
Будем рассматривать переменные и не как полярные координаты точки в плоскости XOY, а как прямоугольные координаты в другой плоскости O. Тогда формулы (2) отображают область плоскостиO на всю плоскость XOY. Правда, это отображение не является взаимно однозначным (любой точке плоскостив плоскостиXOY соответствует одна и та же точка (0;0)). Если взять область то (2) - взаимно однозначное отображение областина плоскостьXOY с проколотым началом координат.
Как выглядят семейства линий =const и =const ?
=const: Еслито это семейство концентрических окружностей с центром в точке (0;0);
2
Геометрический смысл связи полярных и декартовых
координат.
Совместим декартову и полярную системы координат: полюс полярной системы - в точке (0;0), полярная ось – ось Ox. Тогда из ОАМ следует