Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
19
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
896.74 Кб
Скачать

еазалнЦклнЗй йЕкДбйЗДзаь а зДмда кйллавлдйв оЦСЦкДсаа

оЦСЦкДгъзйЦ ДЙЦзнлнЗй ий йЕкДбйЗДзаы

лДздн-иЦнЦкЕмкЙлдав ЙйлмСДклнЗЦззхв мзаЗЦкланЦн азойкеДсайззхп нЦпзйгйЙав, еЦпДзада а йинада

а.Д. гДиаз г.л. кДнДоъЦЗД

дкДнзхЦ азнЦЙкДгх. нЦйкаь ийгь.

ì˜Â·ÌÓ ÔÓÒÓ·ËÂ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

л‡МНЪ-иВЪВр·Ыр„ 2009

дУООВНЪЛ‚ ‡‚ЪУрУ‚:

à.Ä. ã‡ÔËÌ, ã.ë. ê‡Ú‡Ù¸Â‚‡

др‡ЪМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚. нВУрЛfl ФУОfl.

èÓ‰ Ó·˘ÂÈ ð‰‡ÍˆËÂÈ ã.ë. ê‡Ú‡Ù¸Â‚ÓÈ ì˜Â·ÌÓ ÔÓÒÓ·ËÂ. ëè·: ëè·Éì àíåé, 2009 „Ó‰, 112 Ò.

ирВ‰О‡„‡ВПУВ Ы˜В·МУВ ФУТУ·ЛВ ФрВ‰ТЪ‡‚ОflВЪ ТУ·УИ ·‡БУ‚˚И НУМТФВНЪ ОВНˆЛИ ФУ ‚˚Т¯ВИ П‡ЪВП‡ЪЛНВ ‰Оfl ТЪЫ‰ВМЪУ‚ 1-„У НЫрТ‡ (2 ТВПВТЪр) ‰МВ‚МУ„У Л ‚В˜ВрМВ„У УЪ‰ВОВМЛfl У·˘ВЛМКВМВрМ˚ı ТФВˆЛ‡О¸МУТЪВИ. З МВП р‡ТТП‡ЪрЛ‚‡˛ЪТfl ТОВ‰Ы˛˘ЛВ ЪВП˚: «С‚УИМ˚В Л ЪрУИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚», «дрЛ‚УОЛМВИМ˚В Л ФУ‚ВрıМУТЪМ˚В ЛМЪВ- „р‡О˚», «щОВПВМЪ˚ ЪВУрЛЛ ФУОfl». лУ‰ВрК‡МЛВ ФУТУ·Лfl ТУУЪ‚ВЪТЪ- ‚ЫВЪ У·р‡БУ‚‡ЪВО¸М˚П ТЪ‡М‰‡рЪ‡П Л ФрУ„р‡ППВ ФУ ‚˚Т¯ВИ П‡ЪВП‡- ЪЛНВ ‰Оfl М‡Фр‡‚ОВМЛfl 550000 — нВıМЛ˜ВТНЛВ М‡ЫНЛ.

ирЛ М‡ФЛТ‡МЛЛ ФУТУ·Лfl ЛТФУО¸БУ‚‡ОЛТ¸ П‡ЪВрЛ‡О˚ ‰рЫ„Лı ЛБ- ‰‡МЛИ, НУЪУр˚В ФрЛ‚У‰flЪТfl ‚ ТФЛТНВ ОЛЪВр‡ЪЫр˚ ·ВБ ‰УФУОМЛЪВО¸- М˚ı ТТ˚ОУН.

кВНУПВМ‰У‚‡МУ Н ФВ˜‡ЪЛ м˜ВМ˚П лУ‚ВЪУП ВТЪВТЪ‚ВММУМ‡Ы˜МУ„У Щ‡НЫО¸ЪВЪ‡ ли·Йм аней (ФрУЪУНУО 5 ÓÚ 23 ‰Â͇·ðfl 2008 „Ó‰‡)

З 2007 „У‰Ы ли·Йм аней ТЪ‡О ФУ·В‰ЛЪВОВП НУМНЫрТ‡ ЛММУ‚‡- ˆЛУММ˚ı У·р‡БУ‚‡ЪВО¸М˚ı ФрУ„р‡ПП ‚ЫБУ‚ кУТТЛЛ М‡ 2007-2008 „У- ‰˚. кВ‡ОЛБ‡ˆЛfl ЛММУ‚‡ˆЛУММУИ У·р‡БУ‚‡ЪВО¸МУИ ФрУ„р‡ПП˚ «аММУ‚‡ˆЛУММ‡fl ТЛТЪВП‡ ФУ‰„УЪУ‚НЛ ТФВˆЛ‡ОЛТЪУ‚ МУ‚У„У ФУНУОВМЛfl ‚ У·О‡ТЪЛ ЛМЩУрП‡ˆЛУММ˚ı Л УФЪЛ˜ВТНЛı ЪВıМУОУ„ЛИ» ФУБ‚УОЛЪ ‚˚ИЪЛ М‡ Н‡˜ВТЪ‚ВММУ МУ‚˚И ЫрУ‚ВМ¸ ФУ‰„УЪУ‚НЛ ‚˚ФЫТНМЛНУ‚ Л Ы‰У‚ОВЪ‚УрЛЪ¸ ‚УБр‡ТЪ‡˛˘ЛИ ТФрУТ М‡ ТФВˆЛ‡ОЛТЪУ‚ ‚ ЛМЩУрП‡ˆЛУММУИ, УФЪЛ˜ВТНУИ Л ‰рЫ„Лı ‚˚ТУНУЪВıМУОУ„Л˜М˚ı УЪр‡ТОflı ˝НУМУПЛНЛ.

©л‡МНЪ-иВЪВр·Ыр„ТНЛИ „УТЫ‰‡рТЪ‚ВММ˚И ЫМЛ‚ВрТЛЪВЪ ЛМЩУрП‡ˆЛУММ˚ı ЪВıМУОУ„ЛИ, ПВı‡МЛНЛ Л УФЪЛНЛ, 2009 „.

©à.Ä. ã‡ÔËÌ, ã.ë. ê‡Ú‡Ù¸Â‚‡, 2009 „.

2

й„О‡‚ОВМЛВ

ЙО‡‚‡ 1 С‚УИМ˚В Л ЪрУИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ ..............

5

§1

Ñ‚ÓÈÌ˚ ËÌÚ„ð‡Î˚ ..........................

5

§2

нрУИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ ..........................

22

§3 ирЛПВМВМЛВ ‰‚УИМ˚ı Л ЪрУИМ˚ı ЛМЪВ„р‡ОУ‚ ......

29

§4 дрЛ‚УОЛМВИМ˚В НУУр‰ЛМ‡Ъ˚ Л Б‡ПВМ‡ ФВрВПВММ˚ı

 

 

‚ Íð‡ÚÌ˚ı ËÌÚ„ð‡Î‡ı ........................

33

É·‚‡ 2

дрЛ‚УОЛМВИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚..................

50

§1 дрЛ‚УОЛМВИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ I рУ‰‡ ...............

50

§2 дрЛ‚УОЛМВИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ II рУ‰‡ ..............

55

§3

оУрПЫО‡ ЙрЛМ‡ ..............................

61

§4 дрЛ‚УОЛМВИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚, МВ Б‡‚ЛТfl˘ЛВ УЪ ФЫЪЛ

 

 

ËÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌËfl..............................

65

É·‚‡ 3

иУ‚ВрıМУТЪМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ ..................

73

§1 иУ‚ВрıМУТЪМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ I рУ‰‡ ...............

73

§2 С‚ЫТЪУрУММЛВ Л У‰МУТЪУрУММЛВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ. лЪУ-

 

 

рУМ‡ ФУ‚ВрıМУТЪЛ. ............................

74

§3 иУ‚ВрıМУТЪМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ II рУ‰‡...............

76

§4

оУрПЫО‡ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У ......................

79

§5

оУрПЫО‡ лЪУНТ‡ .............................

82

3

ЙО‡‚‡ 4 щОВПВМЪ˚ ЪВУрЛЛ ФУОfl .....................

84

§1 лН‡ОflрМУВ ФУОВ. Йр‡‰ЛВМЪ. ирУЛБ‚У‰М‡fl ФУ М‡-

 

 

Ôð‡‚ÎÂÌ˲ .................................

84

§2

ЗВНЪУрМУВ ФУОВ..............................

91

§3 нВУрВП‡ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У (‚ВНЪУрМ‡fl ЩУрП‡). СЛ-

 

 

‚Вр„ВМˆЛfl ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl Л ВВ ПВı‡МЛ˜ВТНЛИ

 

 

ÒÏ˚ÒÎ .....................................

95

§4 лУОВМУЛ‰‡О¸МУВ ‚ВНЪУрМУВ ФУОВ Л В„У Т‚УИТЪ‚У.

 

 

мр‡‚МВМЛВ МВр‡Бр˚‚МУТЪЛ. йФВр‡ЪУр г‡ФО‡Т‡ .....

100

§5 сЛрНЫОflˆЛfl ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl ФУ Б‡ПНМЫЪУПЫ НУМ-

 

 

ЪЫрЫ. ЗЛıр¸ ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl. ЗВНЪУрМ‡fl ЩУрП‡

 

 

ЪВУрВП˚ лЪУНТ‡..............................

102

§6

иУЪВМˆЛ‡О¸МУВ ‚ВНЪУрМУВ ФУОВ .................

108

4

Quidquid praecepies, esto brevis1 óÂÏÛ ·˚ Ú˚ ÌË Û˜ËÎ, ·Û‰¸ Íð‡ÚÓÍ

_

á‡Ôӂ‰¸ ÉÓð‡ˆËfl.

É·‚‡ 1

С‚УИМ˚В Л ЪрУИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚

§1. С‚УИМУИ ЛМЪВ„р‡О

1. йФрВ‰ВОВМЛВ ‰‚УИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡.

ирВК‰В ˜ВП ‰‡Ъ¸ УФрВ‰ВОВМЛВ ‰‚УИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡, Т‰ВО‡ВП МВТНУО¸НУ ФрВ‰‚‡рЛЪВО¸М˚ı Б‡ПВ˜‡МЛИ Л УФрВ‰ВОВМЛИ.

йФрВ‰ВОВМЛВ 1. äðË‚‡fl K ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ФрУТЪУИ НрЛ‚УИ, ВТОЛ УМ‡ р‡ТФ‡‰‡ВЪТfl М‡ НУМВ˜МУВ ˜ЛТОУ ˜‡ТЪВИ, Н‡К‰‡fl ЛБ НУЪУр˚ı ЛПВВЪ Ыр‡‚МВМЛВ ‚Л‰‡ y = f(x) ËÎË x =ϕ(y) , Ôð˘ÂÏ ÙÛÌ͈ËË f(x) Ë ϕ(y) МВФрВр˚‚М˚ М‡ МВНУЪУрУП ФрУПВКЫЪНВ [a,b] ËÎË [p,q] ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ.

Ç ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â, ÂÒÎË ÍðË‚‡fl K – ФрУТЪ‡fl, Б‡ПНМЫЪ‡fl, Т‡ПУМВФВрВТВН‡˛˘‡flТfl НрЛ‚‡fl, ОВК‡˘‡fl ‚ ФОУТНУТЪЛ xOy , ЪУ ПМУКВТЪ‚У ‚ТВı ЪУ˜ВН ФОУТНУТЪЛ р‡Б·Л‚‡ВЪТfl В‰ЛМТЪ‚ВММ˚П У·р‡БУП М‡ ‰‚‡ Т‚flБМ˚ı ПМУКВТЪ‚‡. е˚ ·Ы‰ВП ‚ ‰‡О¸МВИ¯ВП р‡ТТП‡ЪрЛ‚‡Ъ¸ У·О‡Т- ЪЛ, У„р‡МЛ˜ВММ˚В НрЛ‚УИ K . нУ˜НЛ, ОВК‡˘ЛВ М‡ НУМЪЫрВ K , Ï˚ ·Û‰ÂÏ Ò˜ËÚ‡Ú¸ ÔðË̇‰ÎÂʇ˘ËÏË Ó·Î‡ÒÚË D , НУЪУрЫ˛ У„р‡МЛ˜Л‚‡ВЪ ˝ЪУЪ НУМЪЫр, Ъ.В. ·Ы‰ВП р‡ТТП‡ЪрЛ‚‡Ъ¸ Б‡ПНМЫЪЫ˛ У·О‡ТЪ¸ D , У„р‡- МЛ˜ВММЫ˛ ФрУТЪ˚П Т‡ПУМВФВрВТВН‡˛˘ЛПТfl НУМЪЫрУП K .

1

/

/

/

/

Ър‡МТНрЛФˆЛfl [Н‚Л‰Н‚Л‰ Фр˝

ˆ˝ÔË˝Ò, ˝ÒÚÓ ·ð˝‚ËÒ]

5

е˚ ·Ы‰ВП Ъ‡НКВ р‡ТТП‡ЪрЛ‚‡Ъ¸ ‚ ‰‡О¸МВИ¯ВП ФрУТЪ˚В У·О‡ТЪЛ, ФУМЛП‡fl ФУ‰ ˝ЪЛП У·О‡ТЪЛ, У„р‡МЛ˜ВММ˚В ФрУТЪ˚ПЛ НрЛ‚˚ПЛ Л Ъ‡- НЛВ, ˜ЪУ О˛·‡fl ФрflП‡fl, Ф‡р‡ООВО¸М‡fl НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚П УТflП, ФВрВТВ- Н‡ВЪ „р‡МЛˆЫ У·О‡ТЪЛ МВ ·УОВВ ˜ВП ‚ ‰‚Ыı ЪУ˜Н‡ı (рЛТ. 1.1.1).

 

y

y

D2

 

 

 

 

 

 

D

 

 

D3

 

 

 

D

 

 

 

1

 

0

x

0

 

x

 

êËÒ. 1.1.1

 

êËÒ. 1.1.2

 

ЦТЪВТЪ‚ВММУ, ˜ЪУ Н ˜ЛТОЫ Ъ‡НЛı У·О‡ТЪВИ П˚ ·Ы‰ВП УЪМУТЛЪ¸ Л У·О‡ТЪЛ, НУЪУр˚В ПУКМУ р‡Б·ЛЪ¸ М‡ НУМВ˜МУВ ˜ЛТОУ У·О‡ТЪВИ ЫН‡- Б‡ММУ„У ‚˚¯В ЪЛФ‡ (рЛТ. 1.1.2).

 

y

y

K

 

 

 

N

 

 

 

D

 

D

 

 

 

 

M

 

 

0

x

0

x

 

êËÒ. 1.1.3

 

êËÒ. 1.1.4

к‡ТТПУЪрЛП ФрУТЪЫ˛ У·О‡ТЪ¸ D (ðËÒ. 1.1.3), Ó„ð‡Ì˘ÂÌÌÛ˛ ÍðË- ‚ÓÈ K , Ë Ó·ÓÁ̇˜ËÏ ˜ÂðÂÁ r(M,N) ПМУКВТЪ‚У р‡ТТЪУflМЛИ ПВК‰Ы ЪУ˜Н‡ПЛ M Ë N , ÎÂʇ˘ËÏË Ì‡ ÍðË‚ÓÈ K . ç‡Ë·Óθ¯Â ð‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÚӘ͇ÏË M Ë N ·Ы‰ВП М‡Б˚‚‡Ъ¸ ‚ ‰‡О¸МВИ¯ВП ‰Л‡- ПВЪрУП У·О‡ТЪЛ D . С‡‰ЛП ЪВФВр¸ ТЪрУ„УВ УФрВ‰ВОВМЛВ ФУМflЪЛfl ФОУ˘‡‰Л У·О‡ТЪЛ D , У„р‡МЛ˜ВММУИ НУМЪЫрУП K (ðËÒ. 1.1.4).

èÛÒÚ¸ R ВТЪ¸ МВНУЪУр˚И ФрflПУЫ„УО¸МЛН ТУ ТЪУрУМ‡ПЛ, Ф‡р‡О- ОВО¸М˚ПЛ НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚П УТflП, ТУ‰ВрК‡˘ЛИ НУМЪЫр K ˆВОЛНУП

6

‚МЫЪрЛ ТВ·fl, МВ Б‡‰В‚‡fl ЪУ˜ВН НУМЪЫр‡ K . ê‡ÁÓ·¸ÂÏ ÔðflÏÓÛ„Óθ- ÌËÍ R ТВЪ¸˛ ФрflП˚ı, Ф‡р‡ООВО¸М˚ı НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚П УТflП, М‡ ФрflПУЫ„УО¸МЛНЛ (fl˜ВИНЛ). з‡Л·УО¸¯ЛИ ЛБ ‰Л‡ПВЪрУ‚ fl˜ВВН У·УБМ‡˜ЛП ˜ВрВБ λ Ë ·Û‰ÂÏ Ì‡Á˚‚‡Ú¸ ð‡Ì„ÓÏ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl.

é·ÓÁ̇˜ËÏ ˜ÂðÂÁ S1 ТЫППЫ ФОУ˘‡‰ВИ fl˜ВВН, ˆВОЛНУП ОВК‡˘Лı ‚ У·О‡ТЪЛ D Л МВ Б‡‰В‚‡˛˘Лı НУМЪЫр‡ K , ‡ ˜ÂðÂÁ S2 – ТЫППЫ ФОУ- ˘‡‰ВИ fl˜ВВН, ЛПВ˛˘Лı Т У·О‡ТЪ¸˛ D ЛОЛ ВВ НУМЪЫрУП ıУЪfl ·˚ У‰МЫ У·˘Ы˛ ЪУ˜НЫ. й˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ S1 S2 . ÖÒÎË ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ó·˘ËÈ

Ôð‰ÂÎ limS = limS

2

=S ÔðË ÛÒÎÓ‚ËË, ˜ÚÓ ˜ËÒÎÓ fl˜ÂÂÍ Û‚Â΢˂‡-

n→∞ 1

n→∞

 

ÂÚÒfl, ‡ ð‡Ì„ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl λ ТЪрВПЛЪТfl Н МЫО˛ (Ъ.В. λ 0 ), ÚÓ ˜ËÒÎÓ S ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÔÎÓ˘‡‰¸˛ ӷ·ÒÚË D , ‡ ҇χ ӷ·ÒÚ¸ D ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl

Н‚‡‰рЛрЫВПУИ.

к‡ТТПУЪрЛП ЪВФВр¸ МВНУЪУрЫ˛ ЩЫМНˆЛ˛ f(x,y) , УФрВ‰ВОВММЫ˛ ‚ ФрУТЪУИ У·О‡ТЪЛ D , У„р‡МЛ˜ВММУИ НУМЪЫрУП K (ðËÒ. 1.1.5). ч‰ËÏ

УФрВ‰ВОВМЛВ ‰‚УИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡.

 

z

S : z = f(x,y)

f(xk ,yk )

0

 

y

 

 

 

D

Mk (xk ,yk )

 

 

x

 

 

 

êËÒ. 1.1.5

 

йФрВ‰ВОВМЛВ 2 (УФрВ‰ВОВМЛВ ‰‚УИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡). ê‡ÁÓ·¸ÂÏ Ó·Î‡ÒÚ¸ D ТВЪ¸˛ ФрУТЪ˚ı НрЛ‚˚ı ФрУЛБ‚УО¸М˚П У·р‡БУП М‡ fl˜ВИНЛ D1 , D2 , ..., Dn Ò ÔÎÓ˘‡‰flÏË S1 , S2 , ..., Sn Ë ‰Ë‡ÏÂÚ- ð‡ÏË d1 , d2 , ..., dn . з‡Л·УО¸¯ЛИ ЛБ ‰Л‡ПВЪрУ‚ У·УБМ‡˜ЛП ˜ВрВБλ

ð‡Ì„ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl.

7

З Н‡К‰УИ ˜‡ТЪМУИ fl˜ВИНВ Dk ‚УБ¸ПВП ФрУЛБ‚УО¸МЫ˛ ЪУ˜НЫ Mk (xk ,yk ) Л ‚˚˜ЛТОЛП ‚ МВИ БМ‡˜ВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ f(xk ,yk ) . ìÏÌÓ-

ÊËÏ Á‡ÚÂÏ f(xk ,yk ) ̇ ÔÎÓ˘‡‰¸ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ÂÈ fl˜ÂÈÍË

Sk Ë

ФрУТЫППЛрЫВП

‚ТВ Ъ‡НЛВ ФрУЛБ‚В‰ВМЛfl, Ъ.В. ТУТЪ‡‚ЛП

ТЫППЫ

n

 

 

σn = f(xk ,yk )

Sk , НУЪУр‡fl М‡Б˚‚‡ВЪТfl ЛМЪВ„р‡О¸МУИ ТЫППУИ

k=1

ËÎË ТЫППУИ кЛП‡М‡. аБПВО¸˜‡fl ‰‡О¸¯В ‰рУ·ОВМЛВ ФрЛ ЫТОУ‚ЛЛ, ˜ЪУ р‡М„ ‰рУ·ОВМЛfl λ 0 , Л˘ВП ФрВ‰ВО ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪЛ ЛМ-

Ú„ð‡Î¸Ì˚ı ÒÛÏÏ I = limσn . ÖÒÎË ˝ÚÓÚ Ôð‰ÂÎ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ë ÌÂ

n→∞

λ0

Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ТФУТУ·‡ ‰рУ·ОВМЛfl Л ‚˚·Ур‡ ЪУ˜ВН Mk , ÚÓ ÓÌ Ì‡Á˚‚‡- ÂÚÒfl ‰‚ÓÈÌ˚Ï ËÌÚ„ð‡ÎÓÏ ÓÚ ÙÛÌ͈ËË f(xk ,yk ) ÔÓ Ó·Î‡ÒÚË D

Ë Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl Ú‡Í:

I = ∫∫f(x,y)dxdy.

D

ë‡Ï‡ ÔÓ‰˚ÌÚ„ð‡Î¸Ì‡fl ÙÛÌ͈Ëfl f(x,y) ФрЛ ˝ЪУП М‡Б˚‚‡ВЪТfl ЛМЪВ„рЛрЫВПУИ ФУ У·О‡ТЪЛ D .

аЪ‡Н, ФрЛМЛП‡fl ‚У ‚МЛП‡МЛВ ФрЛ‚В‰ВММУВ ‚˚¯В р‡ТТЫК‰ВМЛВ, П˚ ПУКВП НУрУЪНУ УФрВ‰ВОЛЪ¸ ‰‚УИМУИ ЛМЪВ„р‡О УЪ ЩЫМНˆЛЛ f(x,y) ÔÓ Ó·Î‡ÒÚËD Н‡Н ФрВ‰ВО ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪЛ ЛМЪВ„р‡О¸М˚ı ТЫПП кЛП‡М‡, Ъ.В.

 

def

n

∫∫f(x,y)dxdy = nlim→∞

f(xk ,yk ) Sk .

D

λ0

k=1

нВУрВП‡ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl ‰‚УИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡. ÖÒÎË ÔÓ‰˚ÌÚÂ- „ð‡Î¸Ì‡fl ÙÛÌ͈Ëfl f(x,y) МВФрВр˚‚М‡ ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ ФрУТЪУИ Б‡ПНМЫЪУИ У·О‡ТЪЛ D , ЪУ УМ‡ ‚ ˝ЪУИ У·О‡ТЪЛ ЛМЪВ„рЛрЫВП‡.

(ÅÂÁ ‰Ó͇Á‡ÚÂθÒÚ‚‡.)

2. ЙВУПВЪрЛ˜ВТНЛИ ТП˚ТО ‰‚УИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡.

ÖÒÎË f(x,y) > 0 ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ ФрУТЪУИ У·О‡ТЪЛ D , ФУ НУЪУрУИ ‚В‰ВЪТfl ЛМЪВ„рЛрУ‚‡МЛВ, ЪУ МВФУТрВ‰ТЪ‚ВММУ ЛБ УФрВ‰ВОВМЛfl ‰‚УИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ТОВ‰ЫВЪ (рЛТ. 1.1.5), ˜ЪУ ‰‚УИМУИ ЛМЪВ„р‡О ∫∫f(x,y)dxdy ‰‡ВЪ М‡П У·˙ВП ЪВО‡, У„р‡МЛ˜ВММУ„У ТМЛБЫ У·О‡ТЪ¸˛

D

D , Т‚ВрıЫ – ФУ‚ВрıМУТЪ¸˛, Ыр‡‚МВМЛВ НУЪУрУИ z = f(x,y) , ‡ Ò ·ÓÍÓ‚

8

– ˆЛОЛМ‰рЛ˜ВТНУИ ФУ‚ВрıМУТЪ¸˛, У·р‡БЫ˛˘ЛВ НУЪУрУИ Ф‡р‡ООВО¸- М˚ УТЛ Oz , ‡ М‡Фр‡‚Оfl˛˘ВИ ТОЫКЛЪ „р‡МЛˆ‡ У·О‡ТЪЛ D (НУМЪЫр

K ), Ú.Â.

vT = ∫∫f(x,y)dxdy .

D

ÖÒÎË ÔÓ‰˚ÌÚ„ð‡Î¸Ì‡fl ÙÛÌ͈Ëfl f(x,y) =1, ÚÓ

SD = ∫∫dxdy ,

D

„‰Â SD – ÔÎÓ˘‡‰¸ ӷ·ÒÚË D .

3. ë‚ÓÈÒÚ‚‡ ‰‚ÓÈÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡.

СУФЫТЪЛП ‰‡ОВВ, ˜ЪУ c1 =const , c2 =const , ‡ f1(x,y) Ë f2 (x,y) – ЩЫМНˆЛЛ, ЛМЪВ„рЛрЫВП˚В ‚ У·О‡ТЪЛ D . нУ„‰‡ МВФУТрВ‰ТЪ‚ВММУ ЛБ УФрВ‰ВОВМЛfl ‰‚УИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ У˜В‚Л‰М‡ ТФр‡‚В‰ОЛ‚УТЪ¸ Т‚УИТЪ‚ 1-5, НУЪУр˚В П˚ ФрЛ‚В‰ВП ·ВБ ‰УН‡Б‡ЪВО¸ТЪ‚‡.

1.

∫∫c f(x,y)dxdy =c∫∫f(x,y)dxdy .

 

 

D

D

 

 

2.

∫∫[c1f1(x,y) ±c2f2 (x,y)]dxdy =c1

∫∫f1(x,y)dxdy ±c2

∫∫f2 (x,y)dxdy .

 

D

 

D

D

3.

ÖÒÎË Ó·Î‡ÒÚ¸ D р‡Б·ЛЪ¸ ФрУТЪУИ НрЛ‚УИ М‡ ‰‚В ˜‡ТЪЛ D1 Ë

D2 (ðËÒ. 1.1.6), ÚÓ:

 

 

 

 

∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫f(x,y)dxdy + ∫∫f(x,y)dxdy ,

 

D

D1

D2

 

Ъ.В. ‰‚УИМУИ ЛМЪВ„р‡О ФУ У·О‡ТЪЛ „р‡ОУ‚ ФУ ˜‡ТЪflП У·О‡ТЪЛ D .

y

D1

D р‡‚ВМ ТЫППВ ‰‚УИМ˚ı ЛМЪВ-

D2

0

x

êËÒ. 1.1.6

4. ÖÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ӷ·ÒÚË D

f(x,y) 0, ÚÓ

∫∫f(x,y)dxdy 0 .

D

9

5. ÖÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ӷ·ÒÚË D f1(x,y) f2 (x,y) , ÚÓ

∫∫f1(x,y)dxdy ∫∫f2 (x,y)dxdy .

DD

6.ÖÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ӷ·ÒÚË D ÒÔð‡‚‰ÎË‚Ó ÌÂð‡‚ÂÌÒÚ‚Ó m f(x,y) M , ÚÓ

m SD ∫∫f(x,y)dxdy M SD ,

D

„‰Â SD – ÔÎÓ˘‡‰¸ ӷ·ÒÚË D.

ÑÓ͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó. Ç ÒËÎÛ Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ 5 Ә‚ˉÌÓ, ˜ÚÓ

∫∫mdxdy ∫∫f(x,y)dxdy ∫∫Mdxdy ,

D D D

ÓÚÍÛ‰‡ ÒΉÛÂÚ:

m ∫∫dxdy ∫∫f(x,y)dxdy M ∫∫dxdy .

D D D

éÒÚ‡ÂÚÒfl Û˜ÂÒÚ¸, ˜ÚÓ

∫∫dxdy =SD .

D

7. нВУрВП‡ У ТрВ‰МВП. ЦТОЛ ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ Б‡ПНМЫЪУИ У·О‡ТЪЛ D f(x,y) МВФрВр˚‚М‡, ЪУ ЪУ„‰‡ ‚ У·О‡ТЪЛ D ̇ȉÂÚÒfl ÚӘ͇

P(ξ,η) ڇ͇fl, ˜ÚÓ

∫∫f(x,y)dxdy = f(ξ,η) SD ,

D

„‰Â SD – ÔÎÓ˘‡‰¸ ӷ·ÒÚË D .

ÑÓ͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó. í‡Í Í‡Í ÙÛÌ͈Ëfl f(x,y) МВФрВр˚‚М‡ ‚ Б‡ПН-

МЫЪУИ У·О‡ТЪЛ D , ÚÓ ‚ ÌÂÈ Ó̇ ‰ÓÒÚË„‡ÂÚ Ò‚ÓÂ„Ó Ì‡ËÏÂ̸¯Â„Ó m Ë Ì‡Ë·Óθ¯Â„Ó M Á̇˜ÂÌËfl, Ú.Â. ÒÔð‡‚‰ÎË‚Ó ÌÂð‡‚ÂÌÒÚ‚Ó m f(x,y) M , ÓÚÍÛ‰‡ ‚ ÒËÎÛ Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ 5 ‚˚ÚÂ͇ÂÚ

m SD ∫∫f(x,y)dxdy M SD .

D

к‡Б‰ВОЛ‚ ФУ˜ОВММУ ФУОЫ˜ВММУВ ТУУЪМУ¯ВМЛВ М‡ ФУОУКЛЪВО¸МЫ˛ ‚ВОЛ˜ЛМЫ SD , ÔÓÎÛ˜ËÏ

m S1 ∫∫f(x,y)dxdy M .

D D

Ç‚Ë‰Û ÚÓ„Ó, ˜ÚÓ ÙÛÌ͈Ëfl f(x,y) МВФрВр˚‚М‡ ‚ Б‡ПНМЫЪУИ У·О‡Т- ЪЛ D , ‡ m Ë M –  ̇ËÏÂ̸¯ÂÂ Ë Ì‡Ë·Óθ¯Â Á̇˜ÂÌËfl ÒÓÓÚ‚ÂÚ-

10

Соседние файлы в папке лекции_3