Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Госы 5к Надя / лекции_3 / nesob-int

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
409.39 Кб
Скачать

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет математики, механики и компьютерных наук

В.Е.КОВАЛЬЧУК, П.А.ЧАЛОВ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Несобственные интегралы

è

интегралы, зависящие от параметров

Ростов-на-Дону

Оглавление

1

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3

Интегралы, зависящие от параметра . . . . . . . . . . . . .

3

 

3.1

Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . .

3

3.2Собственные интегралы, зависящие от параметра . . 12

3.3

Несобственные интегралы, зависящие от параметра 19

3.4Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5Несобственные кратные интегралы . . . . . . . . . . 29

3.6Вычисление некоторых несобственных интегралов . 33

3.7

Эйлеровы интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

1

2

Оглавление

1 Предисловие

2 Введение

Математический анализ общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая область математики, связанная с понятиями функции, производной и интеграла. Цель дисциплины ¾Математический анализ¿ - ознакомление с фундаментальными методами исследования переменных величин посредством анализа бесконечно малых, основу которого составляет теория дифференциального и интегрального исчисления.

Объектами изучения в данной дисциплине являются прежде всего функции. С их помощью могут быть сформулированы как законы природы, так и разнообразные процессы, происходящие в технике. Отсюда объективная важность математического анализа как средства изучения функций.

Дисциплина ¾Математический анализ¿ отражает важное направление развития современной математики. В ней рассматриваются вопросы, связанные с методами вычислений, что важно для студентов специальности ¾Прикладная математика и информатика¿.

3. Интегралы, зависящие от параметра

3

3 Интегралы, зависящие от параметра

3.1 Несобственные интегралы

Несобственные интегралы первого рода

Пусть f : [a; +1) ! R и интегрируема по Риману на любом отрезке

[a; A] (A 2 (a; +1)). Формальное выражение

Z+1

f(x)dx

a

назов¼м несобственным интегралом первого рода.

Определение 3.1 Несобственный интеграл первого рода назов¼м сходящимся, если существует

ZA

lim f(x)dx =I:

A!+1

a

В этом случае будем говорить, что число I является значением инте-

грала и писать

Z+1

I = f(x)dx:

a

Если же указанный предел равен бесконечности или вовсе не существует, то будем говорить, что интеграл расходится.

При аналогичных предположениях определим несобственные интегралы

b b +1 A

f(x)dx=

lim

f(x)dxè

f(x)dx = lim

f(x)dx:

Z

 

B!+1Z

Z

A;B!+1Z

 

¡1

Z

¡B

¡1

¡B

 

Пример 3.1

xp сходится при p > 1 и расходится приp · 1.

 

+1

 

 

 

dx

1

4

Оглавление

Этот пример и некоторые другие рассматривались во втором семестре.

Наблюдается полная аналогия между несобственными интегралами

ZA

первого рода и числовыми рядами. Интеграл f(x)dx соответствует ча-

a

стичной сумме ряда и поэтому сходимостьZ1 интеграла и ряда определяется совершенно одинаково. Интегралf(x)dx по аналогии с остатком

A

ряда назов¼м остатком интеграла. Как и для рядов устанавливается, что если несобственный интеграл первого рода сходится, то его остаток стремится к нулю. Ниже ещ¼ не один раз представится возможность проследить за отмеченным сходством рядов и несобственных интегралов.

Теорема 3.1 (критерий Коши) Несобственный интеграл

Za f(x)dx

 

+1

сходится в том и только том случае, когда 8" > 0 9A0(> a) такое,

÷òî 8A0; A00 > A0

¯

A00f(x)dx¯

< ":

 

¯Z

¯

 

 

¯A0

¯

 

 

¯

 

¯

 

 

¯

 

¯

 

 

¯

 

¯

 

ZA

Доказательство. f(x)dx есть функцияF (A) от верхнего пределаA,

a

определ¼нная на промежутке [a; +1),

ZA

F (A) = f(x)dx:

a

Если интеграл сходится, то существует lim F (A) = I и наоборот. На-

A!+1

пишем для функции F (A) условие Коши существования предела при

A ! +1:

8" > 0 9A0(> a) : 8A0; A00 > A0 jF(A00) ¡ F(A0)j < ":

Поскольку F(A00)¡F(A0) = ZA00f(x)dx¡ZA0 f(x)dx=

ZA00f(x)dx, то условие

a

a

A0

Коши сходимости несобственного интеграла совпадает с условием Коши существования предела функции F (A), что и доказывает теорему.

3. Интегралы, зависящие от параметра

5

Если использовать определение предела функции по Гейне, то можно

сформулировать

Za f(x)dx сходится тогда и только тогда, когда

Предложение 3.1

 

 

 

+1

 

äëÿ

любой последовательности

An ! +1 последовательность инте-

An

 

 

гралов Za

f(x)dx сходится.

 

Определение 3.2

Назов¼м интеграл Za f(x)dx абсолютно сходящим-

 

 

 

 

+1

ся, если сходится интеграл Za

jf(x)jdx.

 

 

 

+1

Теорема 3.2 Åñëè

Za f(x)dx сходится абсолютно, то он сходится.

 

 

 

+1

 

Доказательство. Так как интеграл сходится абсолютно, то по критерию Коши8" > 0 9A0 : 8A0; A00 > A0 выполняется условие

ZA00

jf(x)jdx < ":

A0

Но тогда и

¯¯ZA00

 

¯A0

 

¯

 

¯

 

¯

f(x)dx¯

 

¯

A00

 

f(x)

dx¯

< "

¯

·

¯Z

j

j

¯

 

¯

 

¯A0

 

 

¯

 

¯

 

¯

 

 

 

¯

 

¯

 

¯

 

 

 

¯

 

¯

 

¯

 

 

 

¯

 

при любых A0; A00 > A0.

 

 

 

 

Za f(x)dx сходится, но не сходится абсолют-

Определение 3.3 Åñëè

 

+1

но, то будем называть его условно сходящимся.

Теорема 3.3 (Вейерштрасс) Пусть функции f; g : [a; +1) ! R, интегрируемы по Риману на [a; A] при любом A > a, jf(x)j · g(x) äëÿ âñåõ

x 2 [a; +1) è

Za g(x)dx сходится. ТогдаZa

 

1 f(x)dx тоже сходится

 

+1

+

 

и притом абсолютно.

6

 

 

 

 

 

Оглавление

Доказательство. Òàê êàê

Za g(x)dx сходится, то по критерию Коши

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

> 0

 

A0 такое, что приA0

; A00 > A0 выполняется условие

¯ A00g(x)dx¯

<

8

 

9

 

 

 

¯Z

¯

 

". Но тогда приA0; A00 > A

 

 

¯A0

¯

 

0

имеем:

¯

¯

 

 

 

 

 

 

¯

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

¯

 

¯ A00f(x)dx¯

 

¯ A00

f(x)

dx¯

 

¯ A00g(x)dx¯

< ":

¯Z

¯

·

¯Z

j

j

¯

·

¯Z

¯

 

 

¯A0

¯

 

¯A0

 

 

¯

 

¯A0

¯

 

 

¯

¯

 

¯

 

 

¯

 

¯

¯

 

 

¯

¯

 

¯

 

 

¯

 

¯

¯

 

 

Из полученной¯ оценки, в¯

ñèëó¯

критерия¯

Êîøè,¯

вытекает¯

и сходимость и

абсолютная сходимость интеграла от f(x).

Замечание 3.1 Неравенствоjf(x)j · g(x) в формулировке теоремы может выполняться лишь дляx 2 [b; +1), ãäåb > a. Это вытекает из того, что всегда можно представить

Za f(x)dx= Za

f(x)dx+

Zb f(x)dx:

+1

b

+1

Первый интеграл в этом представлении не особенный, а ко второму

можно применить доказанную теорему.

xpdx,

Z1

xp

dx.

Пример 3.2 Рассмотрим интегралы

Z1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

sinx

+1

cosx

 

Решение. Так как ¯

xp

¯ · xp , à

Z

xp

сходится, если p > 1 (пример

 

 

 

 

¯

sinx

¯

1

 

+1

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

+

 

xp

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.1), òî è Z1

 

dx сходится, и притом абсолютно, при p >1. Второй

 

 

1sinx

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интеграл рассматривается аналогично.

 

 

 

 

[a; +1)! Rè èíòå-

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 3.4 (Дирихле) Пусть функции f; g :

грируемы по Риману на [a; A] при любомA > a. Тогда

Za f(x)g(x)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

сходится, если выполнены следующие два условия:

 

 

1) Za

f(x)dx ограничен на[a; +1);

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) функция g(x) монотонно стремится к нулю приx ! +1.

3. Интегралы, зависящие от параметра

 

 

 

 

7

Доказательство. По первому условию существует постояннаяM такая,

÷òî

¯ A f(x)dx¯

 

M

 

A(> a). По второму условию

 

 

" > 0 A0 такое, что

 

¯Z

¯

·

 

 

8

 

 

 

8

9

 

¯a

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ïðè

¯A > A

будет¯

выполняться неравенство

 

g(A)

 

< "=2M. По второ-

 

¯

0 ¯

 

 

 

 

 

j

 

 

j

 

 

¯

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

му же условию функцию g(x) можно считать неотрицательной. Возьм¼м

A0; A00

> A0 (A0 < A00) и применим к интегралуZA00f(x)g(x)dx вторую те-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A0

 

 

 

 

 

 

 

орему о среднем значении (формулу Боннэ), согласно которой найд¼тся

A (A0 < A < A00) такое, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ZA00f(x)g(x)dx= g(A0) ZA f(x)dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A0

 

 

 

A0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но тогда, поскольку

 

A0 f(x)dx¯

¯ A f(x)dx¯

+

¯ A0 f(x)dx¯ <2M;

¯ A f(x)dx¯

=

¯ A f(x)dx

 

¯Z

 

¯

 

¯Z

 

¡ Z

¯

· ¯Z

 

¯ ¯Z

 

¯

 

 

¯A0

 

¯

 

¯a

 

 

a

¯

¯a

 

¯

 

 

¯a

 

¯

 

 

¯

 

¯

 

¯

 

 

 

¯

¯

 

¯

 

 

¯

 

¯

 

 

¯

 

¯

 

¯

 

 

 

¯

¯

 

¯

 

 

¯

 

¯

 

 

справедлива¯ ¯

оценка¯

 

 

¯

¯

 

¯

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

¯

A00f(x)g(x)dx¯ = ¯g(A0) A f(x)dx¯

<

"

 

 

2M ="

 

 

 

 

 

2M

¢

 

 

 

 

 

¯Z

 

 

¯

¯

Z

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯A0

 

 

¯

¯

A0

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для любых ¯A0; A00 > A0. Ïî¯

критерию¯

Êîøè ¯интеграл сходится.

 

 

 

 

Теорема 3.5 (Абель) Пусть функции f; g

:

[a;

 

+1) ! R è èíòå-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

грируемы по Риману на [a; A]

при любом A > a. Тогда

Za

f(x)g(x)dx

сходится, если выполнены следующие два условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

Za

f(x)dx сходится;

 

 

 

 

 

+1).

 

 

 

2) функция g(x) монотонна и ограничена на[a;

 

 

 

Доказательство. В силу второго условия существует

lim

g(x) =g0.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!+1

 

 

 

+1

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

f(x)g(x)dx=

Z f(x) (g(x)¡ g0 +g0)dx =

 

 

 

a

a

1

8

 

 

Оглавление

+1

+1

= Za

f(x) (g(x) ¡ g0) dx+ g0

Za

f(x)dx:

Первый из интегралов справа сходится по признаку Дирихле, поскольку g(x) ¡ g0 монотонно стремится к нулю приx ! +1, а второй сходится в силу условия 1 доказываемой теоремы.

Замечание 3.2 При доказательстве теоремы Абеля было использова-

но очевидное свойство несобственных интегралов: если сходятся ин-

тегралы

Za f(x)dxè

Za g(x)dx, то сходится и

Za (f(x) +g(x))dx, ïðè

 

+1

+1

+1

ýòîì

Za (f(x) +g(x))dx =Za f(x)dx +

Za g(x)dx:

 

 

+1

+1

+1

Очевидность этого утверждения предлагается установить читателю.

Пример 3.3 Верн¼мся к рассмотренным выше примерам

Z1

xp dxè

 

+1

 

sin x

Z+1

cosxpxdx.

1

Решение. По признаку Дирихле эти интегралы сходятся приp > 0,

ZA

поскольку при этом условии дробь 1=xp & 0, а интегралыsin xdx,

1

ZA

cos xdx, очевидно, ограничены.

1

Пример 3.4

Рассмотрим

Z1

x arctgxdx.

 

 

+1

 

sin x

Решение. Этот интеграл сходится по признаку Абеля. Действительно,

Z+1sinx

сходимость интеграла x dx установлена в предыдущем примере, а функцияarctg x монотонна и ограничена.

3. Интегралы, зависящие от параметра

9

Несобственные интегралы второго рода

Пусть функция f : (a; b] ! R, неограничена в окрестности точкиa, но интегрируема по Риману на[a + ±; b] при любом0 < ± < b ¡ a.

Формальное выражение

Zb

f(x)dx

a

назов¼м несобственным интегралом второго рода.

Определение 3.4 Несобственный интеграл второго рода назов¼м сходящимся, если существует

Zb

lim f(x)dx =I:

±!0 a+±

В этом случае будем говорить, что число I является значением инте-

грала и писать

Zb

I = f(x)dx:

a

Если же указанный предел равен бесконечности или вовсе не существует, то будем говорить, что интеграл расходится.

Аналогично определяется

Za

 

( )

= ±!0

Za

 

b

 

 

b¡±

 

f x dx

lim

f(x)dx;

если функция f определена на [a;b), интегрируема на [a;b ¡ ±] при любом 0< ± < b ¡ a и неограничена в окрестности точкиb.

Если же функция f определена на [a;b]nfcg,a < c < b, неограничена в окрестности точкиc, но интегрируема на отрезках [a;c ¡ ±] è [c ¡ ±;b]

при любом допустимом положительном ±, то определим

Z

 

±12!0

0 Z

Z

 

( )

1

 

 

b

 

c¡±1

 

b

 

A

 

 

f(x)dx=

lim

f(x)dx+

 

 

f x dx

:

a

 

 

@ a

c+±2

 

 

Соседние файлы в папке лекции_3