Задачи Нарисовать графики и найти ряды Фурье следующих функций, предполагая, что они имеют период :

§1.2. Ряд Фурье функции с произвольным периодом

Предположим, что функция f задана в промежутке [-l,l], где l - некоторое положительное число. Сделав подстановку (-у) получим функцию , определенную в промежутке [-;]. В соответствии с предыдущим параграфом функции g соответствует (формальный) ряд Фурье ,

коэффициенты которого находятся по формулам Эйлера - Фурье:

, n=0,1,2,…, , n=1,2,…

Возвращаясь к старой переменной, т.е. полагая в выписанных формулах , мы получим для функцииf тригонометрический ряд несколько измененного вида:

,

где

, n=0,1,2,…,

, n=1,2,…

Ввиду простоты изложенного перехода в последующем изложении мы не будем возвращаться к случаю функций, заданных на интервале [-l,l].

Задачи

Нарисовать графики и найти ряды Фурье следующих функций, считая, что они периодичны с периодом 2l:

§1.3. Разложения только по синусам или только по косинусам

Начнем со следующего простого замечания: если заданная в промежутке интегрируемая функцияf нечетна, т.е. для всех справедливо равенствоf(-x)=-f(x), то , а еслиf(x) – четная функция, то .

Пусть теперь f является интегрируемой в промежутке четной функцией. Тогда произведениеf(x)sinnx будет нечетной функцией и, по сказанному выше,

, n=1,2,…

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит только косинусы:

причем коэффициенты a_n могут быть найдены по формуле

, n=0,1,2,…

поскольку функция f(x)cosnx в рассматриваемом случае является четной.

Аналогично, ряд Фурье нечетной функции содержит одни лишь синусы:

,

а его коэффициенты могут быть записаны в виде

, n=1,2,…

Предположим далее, что функция f задана лишь в промежутке [0;]. Желая разложить ее в этом промежутке в ряд Фурье, мы сначала продолжим f в промежуток произвольным образом, а затем воспользуемся формулами Эйлера - Фурье. Произвол в продолжении функции приводит к тому, что для одной и той же функциимы можем получать различные ряды Фурье. Но можно использовать этот произвол так, чтобы получить разложение только по синусам или только по косинусам: в первом случае достаточно продолжитьf нечетным образом, а во-втором - четным.

§1.4. Лемма Римана - Лебега

Лемма (Римана - Лебега). Если функция f интегрируема на промежутке [a,b], то

Доказательство. Если функция f непрерывно дифференцируема в промежутке [a,b], то интегрируя по частям непосредственно получаем, что при

В общем случае доказательство леммы Римана - Лебега опирается на следующее утверждение: если интегрируема, то для любого найдется такая непрерывно дифференцируемая функция что

Строгое доказательство этого утверждения потребовало бы от нас вернуться к теории интегрирования, что представляется сейчас неуместным. Поэтому мы примем его без доказательства, ограничившись пояснением на рисунках.

На рис. 1 сплошной линией изображен график функции ,а пунктирной -- график искомой функции, там, где он не совпадает с графиком функцииf. При этом значение интеграла

равняется площади заштрихованной области и не вызывает сомнения, что оно действительно может быть сделано меньше любого наперед заданного значения. Рис. 2 иллюстрирует обсуждаемое утверждение для функции f(x)=|x|.

Используем сформулированное выше утверждение для завершения доказательства леммы Римана - Лебега:

Первое слагаемое в правой части меньше в силу (7), а второе стремится к нулю при(и, следовательно, также может быть сделано меньше), поскольку функциянепрерывно дифференцируема. Лемма доказана.

В заключение отметим, что для интегрируемой на отрезке [a,b] функции f справедливо утверждение

доказательство которого дословно повторяет приведенное выше доказательство леммы Римана - Лебега.