§1.7. Равномерная сходимость рядов Фурье

Напомним, что последовательность функций сходится к функцииравномерно на промежутке, если величина

называемая супремум нормой  функции , стремится к нулю при. Ряд Фурье называется равномерно сходящимся, если последовательность его частичных сумм равномерно сходится к сумме ряда.

Из общей теории функциональных рядов ясно, почему важно понятие равномерной сходимости: оно фигурирует в теоремах о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости функционального ряда. Однако эти вопросы для тригонометрических рядов мы уже рассмотрели выше с помощью специфических премов, не использующих общей теории функциональных рядов. Поэтому сейчас для нас вопрос о равномерной сходимости ряда Фурье имеет характер чистого любопытства: верно ли, что для достаточно больших n график частичной суммы ряда Фурье S_n целиком попадает в полоску между графиками функций и?

Теорема.  Если -периодическая функция непрерывно- дифференцируема, то ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на всей числовой прямой.

Более полный вариант, не для спец. «Инф. тех.»

Доказательство. Мы уже знаем, что для каждого ряд Фурье функции сходится поточечно, посколькупри. Равномерную сходимость установим с помощью признака Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда, который утверждает, что если для каждого номераn найдутся числа c_n такие, что для всех выполняются неравенстваи числовой рядсходится, то функциональный рядсходится равномерно на промежутке.

Пусть, как обычно, a_n,b_nобозначают коэффициенты Фурье функцииf, аa'_n,b'_n-- коэффициенты Фурье функцииf'. Из теоремы о дифференцировании ряда Фурье вытекает, что |a_n|=|b'_n|/nи |b_n|=|a'_n|/n, а значит

для всех [среднее неравенство написано на основании очевидной формулы]. Сходимость числового рядавам известна из курса математического анализа, а рядсходится на основании неравенства Бесселя

[ведь промежуток имеет конечную длину, а функцияfнепрерывна, а значит, и ограничена на нем]. Таким образом, заключение теоремы вытекает из признака Вейерштрасса.

§1.9. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье

Из общей теории функциональных рядов известно насколько важно уметь дифференцировать и интегрировать функциональные ряды почленно. Известно также, что для степенных рядов нет необходимости использовать общие теоремы. Убедимся, что сходная ситуация имеет место для рядов Фурье.

Пусть -- непрерывно дифференцируемая-периодическая функция. Как мы уже знаем, она представима своим рядом Фурье, а значит для всехможно записать

При этом ее производная f' непрерывна и-периодична, а значит о сходимости ее ряда Фурье мы ничего сказать не можем, но формальный ряд Фурье построить можно:

Теорема(о дифференцировании ряда Фурье) .При сделанных выше предположениях справедливы равенства a₀'=0, a_n'=nb_n, b_n'=-na_n, .

Доказательство.Интегрируя по частям, получим для любогоn> 0

Остальные равенства доказываются аналогично.

Название этой теоремы объясняется тем, что она обосновывает законность почленного дифференцирования ряда Фурье гладкой функции:

однако в результате мы получим формальный ряд Фурье для производной.

Пусть теперь функция gнепрерывна,-периодична и.Мы можем написать ее формальный ряд Фурье (ничего не утверждая о его сходимости):

Рассмотрим, кроме того, непрерывно дифференцируемую -периодическую функциюи разложим ее в (сходящийся к ней) ряд Фурье:

Теорема(об интегрировании ряда Фурье) .При сделанных выше предположениях справедливы равенства ,A_n=-b_n/n, B_n=a_n/n .

Доказательство.ПосколькуG'(x)=g(x), то принужные равенства вытекают из предыдущей теоремы. Полагая теперь в равенстве (12)x=0, получим

Теорема доказана.

Последняя теорема обосновывает законность почленного интегрирования ряда Фурье непрерывной функции:

Таким образом, при почленном интегрировании ряда Фурье не надо заботиться о его сходимости: для непрерывной функции даже из формального ряда мы получаем сходящийся.