Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Госы 5к Надя / лекции_3 / int_ zaw_ot_ par / Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145

.pdf
Скачиваний:
37
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
2.55 Mб
Скачать

 

y

 

 

 

8b

(l4 )

(l3 )

v

( )

 

(l2 )

 

 

 

arctg 2

 

 

(D)

 

π 4

u

 

 

 

b

(l1 )

x

1

8

 

a

8a

 

Рис. 3.44. К примеру 12

 

Рис. 3.43. К примеру 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = aucos3 v,

При такой замене:

 

Делаем замену переменных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = busin3 v.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) линия (l

 

) перейдет в линию u2 3 =1 u =1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

) перейдет в линию u2 3 = 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) линия (l

 

u = 8 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) линия (l

 

) перейдет в линию tg3 v =1

v =

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) линия (l

 

) перейдет в линию tg3 v = 8 v = arctg 2 .

 

 

 

 

 

 

 

4

 

xu

xv

 

a cos3 v 3aucos2 v sin v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J (u, v) =

=

= 3abusin2 v cos2 v .

 

 

 

 

 

 

yuyv

 

bsin3 v

 

 

3busin2 v cos v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v=arctg 2

 

 

 

 

 

 

 

u=8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F = ∫∫dxdy = ∫∫3abusin2 v cos2 v dudv = 3ab

 

sin2 v cos2 v dv u du =

 

( D )

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v4

 

 

 

 

 

 

 

 

u=1

 

 

 

3 63

 

v=arctg 2

2

v cos

2

v dv =

189

 

1 v=arctg 2

 

2

2v dv =

 

 

 

=

 

 

2

 

ab

sin

 

 

 

2 ab

4

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v4

 

 

 

 

 

 

 

189

v=arctg 2 1 cos 4v

 

189

 

 

 

 

π

 

1

 

 

 

 

v=arctg 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

ab

 

 

 

 

 

2

 

 

dv =

 

16

ab arctg 2

4

 

4

sin 4v

 

v

4 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 189 ab (arctg 2 arctg1)

1 sin (4arctg 2) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как arctg 2

arctg1

= arctg 1 , sin (4arctg 2) = −

24 , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F = 18916 ab arctg 13 + 256 (кв. ед.).

101

Глава 4. Вычисление площадей кривых поверхностей

§1. Некоторые сведения из геометрии

1.°Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной

кривой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Касательной в точке N

к пространственной кривой (l) на-

зывается предельное положение секущей, проходящей через точку N и какую-

нибудь точку M этой кривой, когда точка

M по кривой стремится к совпаде-

нию с точкой N .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть кривая (l) задана параметрическими уравнениями

 

 

 

 

 

 

 

 

x = ϕ(t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ψ(t),

t [ p,q].

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ω(t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

(T )

 

Предполагаем, что функции ϕ(t) , ψ(t) , ω(t)

 

 

имеют

в

[ p, q]

 

 

непрерывные

производные

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

ϕ′(t) , ψ′(t) , ω′(t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(l)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

Пусть точка N( x0 , y0 , z0 ) соответствует

 

 

 

 

 

 

 

значению

 

параметра

t0 ,

а

точка

 

 

 

 

 

y

 

 

M(x0 + ∆ x, y0 + ∆y, z0 + ∆ z)

значению па-

 

 

 

 

 

 

раметра

 

 

t0 +∆t ,

так

что:

x0 = ϕ(t0 ),

x

 

 

 

 

 

 

 

y0 = ψ(t0 ), z0 = ω(t0 ) ; x0 + ∆x = ϕ(t0 + ∆t),

 

 

 

 

 

 

 

y0 + ∆y = ψ(t0 + ∆t) , z0 + ∆z = ω(t0 + ∆t).

Рис. 4.1. К определению

 

 

касательной к пространственной

 

Составляем уравнение секущей NM как

 

кривой

 

уравнение прямой, проходящей через две точ-

 

 

 

 

 

 

 

ки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

y y0

 

 

 

 

 

 

 

 

z z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x0 + ∆x) x0

( y0 + ∆y) y0

( z0 + ∆z) z0

 

 

 

( x, y, z – текущие координаты), или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

y y0

 

 

 

 

 

 

 

 

z z0

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

=

 

 

 

.

 

 

ϕ(t0 + ∆t) −ϕ(t0 )

ψ(t0 + ∆t) − ψ(t0 )

ω(t0 + ∆t) −ω(t0 )

 

Разделив знаменатели этих отношений

на t

и

переходя к

пределу при

t 0 , получим уравнение касательной к (l) в точке N .

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

=

y y0

 

=

z z0

.

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

ϕ′(t0 )

ψ′(t0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω′(t0 )

 

 

 

 

 

 

Из (2) видим, что вектор τr(ϕ′(t0 ), ψ′(t0 ),ω′(t0 ))

направлен по касательной к

кривой (l) в точке N .

102

Замечание. Уравнения (2) теряют смысл, если ϕ′(t0 ) = ψ′(t0 ) = ω′(t0 ) = 0 .

В этом случае точка N называется особой. Если же хотя бы один из знаменателей в соотношении (2) не равен нулю, то точка N называется обыкновенной. В дальнейшем мы будем рассматривать только обыкновенные точки.

Определение. Нормальной плоскостью к кривой (l) в точке N называется плоскость, проходящая через точку N перпендикулярно касательной к (l) в точке ( N ) .

Найдем уравнение нормальной плоскости. Для этого берем уравнение связ-

ки плоскостей с центром в точке N( x0 , y0 , z0 ):

 

A( x x0 ) + B( y y0 ) + C( z z0 ) = 0 .

(3)

По определению, нормальная плоскость перпендикулярна касательной к (l) в

точке N . Поэтому

A

=

B

 

=

C

 

(= k), k – обозначение общей ве-

 

ϕ′(t0 )

 

ψ′(t0 )

 

ω′(t0 )

 

 

 

личины этих отношений. А тогда

 

 

 

 

 

 

 

A = k ϕ′(t0 ), B = k ψ′(t0 ), C = k ω′(t0 ).

 

 

Подставив эти выражения для A,

B и C в (3), получим уравнение нормальной

плоскости к (l) в точке N :

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ′(t0 ) ( x x0 ) + ψ′(t0 ) ( y y0 ) +ω′(t0 ) ( z z0 ) = 0 .

(4)

z

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

N

(l )

 

 

 

 

 

 

 

 

(l )

(l )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

y

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

Рис. 4.2. К определению нормальной

 

Рис. 4.3. К определению касательной

плоскости к пространственной кривой

 

плоскости и нормали к поверхности

2°. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Определение. Пусть дана поверхность (s) и пусть точка N( x0 , y0 , z0 ) (s). Рассмотрим всевозможные кривые, лежащие на (s) и проходящие через точку N . Проведем к этим кривым в точке N касательные прямые. Если геометрическим место этих касательных прямых оказывается плоскость, то она называется касательной плоскостью к поверхности (s) в точке N , а перпендикуляр к этой

плоскости в точке N называется нормалью к поверхности (s) в точке N .

 

Пусть данная поверхность (s) имеет уравнение

 

F( x, y, z) = 0.

(5)

103

Предполагаем, что функция F( x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные Fx, Fy, Fzв некоторой пространственной области. Точки

поверхности (s), в которых одновременно

Fx( x, y, z) = 0 , Fy( x, y, z) = 0 ,

Fz( x, y, z) = 0, называются особыми точками.

Остальные точки поверхности

(s) называются обыкновенными.

 

Пусть точка N( x0 , y0 , z0 ) – обыкновенная точка поверхности (s). Рассмот-

рим одну из кривых (l), лежащую

на (s) и проходящую через точку

N( x0 , y0 , z0 ). Пусть параметрические уравнения этой кривой (l) такие:

x = ϕ(t),

 

 

t [ p,q],

y = ψ(t),

 

 

z = ω(t),

 

где функции ϕ(t), ψ(t), ω(t) определены и имеют непрерывные производные

ϕ′(t), ψ′(t), ω′(t) в промежутке [ p, q].

Пусть точка N( x0 , y0 , z0 ) соответствует значению параметра t0 . Уравнение

касательной к (l) в точке N( x0 , y0 , z0 ) будет таким:

 

 

x x0

=

y y0

=

z z0

.

(6)

 

ϕ′(t0 )

ψ′(t0 )

 

 

 

 

ω′(t0 )

 

Мы докажем, что у данной поверхности (s) в точке N существует касательная плоскость, если покажем, что касательная прямая к любой кривой (l), проходящей через точку N , перпендикулярна к некоторой определенной прямой.

Так как вся кривая (l) лежит на поверхности (s), то при всех t [ p, q] бу-

дет

 

F(ϕ(t), ψ(t),ω(t))= 0 .

(7)

Значит, (7) есть тождество относительно t . Продифференцируем это тождество по t . Получим

Fx(ϕ(t), ψ(t),ω(t)) ϕ′(t) + Fy(ϕ(t), ψ(t),ω(t)) ψ′(t) + +Fz(ϕ(t), ψ(t),ω(t)) ω′(t) = 0

Положим в этом соотношении t = t0 . Получим

Fx( x0 , y0 , z0 ) ϕ′(t0 ) + Fy( x0 , y0 , z0 ) ψ′(t0 ) + Fz( x0 , y0 , z0 ) ω′(t0 ) = 0 . (8)

Равенство (8) представляет собой условие перпендикулярности двух прямых, а

именно, прямой (6) (т. е. касательной к (l)

в точке

 

N ) и прямой, имеющей

уравнение

x x0

 

 

 

y y0

 

 

 

z z0

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

=

 

 

.

(9)

 

F( x

0

, y

0

, z

0

)

F( x

0

, y

0

, z

0

)

F( x

0

, y

0

, z

0

)

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

Ясно, что прямая (9) не зависит от выбора кривой (l). Она зависит только от поверхности (s) и от положения точки N на (s). Значит, касательная прямая к

104

любой кривой (l), лежащей на (s) и проходящей через точку N( x0 , y0 , z0 )

перпендикулярна к одной и той же прямой (9). Следовательно, у поверхности (s) в точке N существует касательная плоскость.

Нетрудно понять, что прямая (9) является нормалью к поверхности (s) в точке N .

Выведем теперь уравнение касательной плоскости к (s) в точке N . Для это-

го возьмем уравнение связки плоскостей с центром в точке N :

 

A( x x0 ) + B( y y0 ) + C( z z0 ) = 0 .

(10)

Так как касательная плоскость к (s) в точке N перпендикулярна нормали (9),

то

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

(= k ),

 

 

 

F( x

0

, y

0

, z

0

)

F(x

0

, y

0

, z

0

)

F( x

0

, y

0

, z

0

)

 

~

 

x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k – обозначение общей величины этих отношений. А тогда

 

 

~

Fx( x0 , y0 , z0 ),

~

Fy( x0 , y0

, z0 ),

 

 

 

 

~

 

, y0

, z0 ) .

A = k

B = k

 

C = k Fz( x0

Подставив эти выражения для A,

 

B и C в (10), получим уравнение касатель-

ной плоскости к поверхности (s) в точке N :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fx( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) +Fy( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) +Fz( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) =0 . (11)

Частный случай. Пусть поверхность (s) задана явным уравнением:

 

z = f ( x, y) ,

(12)

где f ( x, y) – непрерывная вместе со своими частными производными

p( x, y) = fx( x, y) и q( x, y) = f y( x, y) . Отметим,

что у такой поверхности все

точки

обыкновенные. В

самом

деле,

 

запишем

уравнение (12)

в виде:

f ( x, y) z = 0 . Это есть уравнение вида (5), где

F( x, y, z) = f ( x, y) z . По-

этому

Fx( x, y, z) = fx( x, y) ,

Fy( x, y, z) = f y( x, y) ,

Fz′ = −1 (0). Уравнение

касательной плоскости в точке

 

N( x0 , y0 , z0 )

к поверхности, заданной уравне-

нием (12), будет таким:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z0 = fx( x0 , y0 )( x x0 ) + f y( x0 , y0 )( y y0 ) .

(13)

Уравнение нормали в точке N( x0 , y0 , z0 )

к поверхности, заданной уравнением

(12):

 

x x0

 

 

 

 

y y0

 

 

 

z z0

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

=

.

(14)

 

 

f ( x

0

, y

0

)

 

f ( x

0

, y

0

)

 

1

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

Если α, β, γ – углы, которые нормаль к поверхности (s) образует с осями координат, то

105

 

f

 

 

 

 

f y

 

cosα = ±

x

 

)2 ,

cosβ = ±

 

+( f )2 ,

1 +( f )2

+( f

1 +( f )2

 

x

 

y

 

 

x

y

 

cos γ = ±

 

1

 

)2 .

(15)

 

1 +

( f )2

+( f

 

 

 

 

x

y

 

Выбор знака перед радикалом означает выбор определенного направления на нормали. Если нам нужно, например, то направление, которое составляет с осью Oz острый угол, то должно быть cos γ > 0 и, следовательно, в формулах

(15) перед радикалом нужно взять знак минус.

Замечание. Пусть кривая (l) задана пересечением двух поверхностей, т. е.

F( x, y, z) = 0,

системой Φ( x, y, z) = 0. Касательную прямую к этой кривой в точке

N( x0 , y0 , z0 ) можно получить как пересечение касательных плоскостей, прове-

денных к данным поверхностям в точке N . Следовательно, уравнение этой касательной прямой будет таким:

F(x

0

, y , z

0

)(x x

0

)+F(x

0

, y , z

0

)( y y

0

)

+F(x

0

, y , z

0

)(z z

0

)=0,

 

 

 

x

 

0

 

 

 

y

0

 

 

 

 

z

0

 

 

 

 

 

 

 

(16)

 

 

 

 

 

, y , z

 

 

)(x x

 

 

)+Φ′ (x , y , z

 

)( y y

)+Φ′(x , y , z

 

)(z z

 

)=

0.

Φ′ (x

0

0

0

0

0

0

 

 

x

 

0

 

 

 

y

 

0 0

 

 

 

 

0

z

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

§2. Существование площади кривой поверхности и ее вычисление

1°. Рассмотрим поверхность (s) z

z

Mk

 

(s)

y

x

(D)

(Dk )

 

 

Рис. 4.4. К вычислению площади кривой поверхности

верхность (s) разобьется на части

, заданную явным уравнением

= f ( x, y) ,

(1)

где f ( x, y)

определена, непрерывна и

имеет непрерывные частные производные fx( x, y) , f y( x, y) в области ( D ), расположенной в плоскости Oxy и ограниченной простым контуром.

Разобьем ( D ) произвольной сетью простых кривых на части ( D1 ) , ( D2 ) , K ,

( Dn ) с площадями F1, F2 , K, Fn . Рассмотрим цилиндрические поверхности, образующие которых параллельны оси Oz , а направляющими служат простые

кривые, разбивающие на части ( D ). Эти цилиндрические поверхности переносят дробящую сеть с ( D ) на (s). Поэтому по- (s1 ) , (s2 ) , K , (sn ) . На каждой части (sk )

106

берем произвольную точку Mk ( xk , yk , zk ) и проводим в этих точках плоскости, касательные к поверхности (s). Продолжим упомянутые выше цилиндрические поверхности до пересечения с построенными касательными плоскостями. Тогда на этих плоскостях вырежутся плоские области (~s1 ) , (~s2 ) , K , (~sn ) . Пусть площади их будут: T1, T2 , K, Tn соответственно. Обозначим через λ ранг дробления области ( D ). Покажем, что существует конечный предел

n

s = lim Tk , не зависящий ни от выбора дробящей сети, ни от выбора точек

λ→0 k=1

Mk на (sk ) . Этот предел и принимается за площадь s поверхности (s).

Заметим, что области ( Dk ) являются проекциями (~sk ) на плоскость Oxy . Значит, площади их связаны так: Fk = Tk cos ψk , где ψk – угол между плоскостью Oxy и плоскостью, касательной к поверхности (s) в точке Mk . Но угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям. Поэтому

ψk = γk , где γk

– угол между осью Oz и нормалью к поверхности (s) в точке

Mk . А тогда

 

 

 

1

 

cos ψk = cos γk =

 

1 +(fx( xk , yk ))2 +(f y( xk , yk ))2

 

 

 

 

 

 

(заметим, что нам нужен положительный косинус). И, следовательно,

 

Tk =

Fk

 

= 1 +(fx( xk , yk ))2 +(f y( xk , yk ))2 Fk

 

cos ψk

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

Tk =

1 +(fx( xk , yk ))2 +(f y( xk , yk ))2 Fk .

(2)

 

k=1

k=1

 

 

Видим, что сумма (2) есть интегральная сумма Римана для двойного интеграла по области ( D ) от непрерывной в ( D ) функции 1 +(fx( x, y))2 +(f y( x, y))2 .

Значит, у суммы (2) существует при λ → 0 конечный предел, не зависящий ни от выбора дробящей сети области ( D ), ни от выбора точек Mk на (sk ) , а это и требовалось доказать. Попутно установлено, что

s = ∫∫ 1 +(fx( x, y))2 +(f y( x, y))2 dxdy .

(3)

( D )

 

Замечание. Формулу (3) для площади s кривой поверхности можно запи-

сать в виде:

 

s = ∫∫cosdxdyγ ,

(4)

( D )

 

107

где γ – острый угол между нормалью к поверхности (s) и осью Oz . Если на нормали к (s) направление не выбрано нужным образом, то вместо (4) следует писать

s = ∫∫

 

cosdxdyγ

 

.

(5)

 

 

( D )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°. Случай, когда поверхность задана параметрическими уравнениями.

Рассмотрим теперь поверхность (s), заданную параметрическими уравне-

ниями

 

x = x(u, v),

 

 

(6)

y = y(u, v),

 

 

z = z(u, v),

 

где x(u, v), y(u, v) , z(u, v) есть функции, заданные в области (

 

)

плоскости

Ouv , непрерывные там и имеющие непрерывные частные производные xu, xv,

yu, yv, zu, zv. Составим матрицу

 

 

 

x

y

z

 

u

u

u

xv

yv

zv

 

и рассмотрим следующие определители, составленные из элементов этой матрицы:

 

 

 

 

y

z

 

 

 

 

 

zx

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

yuzu

 

,

B =

 

zu

xu

 

,

C =

 

xu

yu

 

.

 

 

 

 

 

 

 

v

v

 

 

 

 

 

v

v

 

 

 

 

v

v

 

 

 

 

 

Предположим, что один из этих трех определителей, например, C , всюду в (

 

)

отличен от нуля. ( C 0 всюду в (

 

)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возьмем первые два уравнения из системы (6). При условии, что C 0 в

 

 

 

x = x(u, v),

однозначно разрешима относительно u

и v , т. е.

 

 

 

(), система

 

u = u( x, y),

y = y(u, v)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

причем функции u( x, y), v ( x, y)

будут определены, непрерывны

 

 

v = v ( x, y),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ux( x, y) , uy ( x, y) ,

vx( x, y) ,

и

иметь непрерывные

частные

производные

vy ( x, y) в некоторой области ( D ) плоскости Oxy (см. теорию функций, заданных неявно). Подставив выражения для u и v через x и y в соотношение z = z(u, v) из (6), получим

z = z(u( x, y), v ( x, y)), т. е. z = f ( x, y) .

Отметим, что функция f ( x, y) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные fx( x, y) , f y( x, y) в области ( D ). Видим, таким образом, что поверхность (s), заданная параметрическими уравнениями (6), пред-

108

ставляет собой поверхность как раз такого типа, который был рассмотрен выше в 1°.

Было показано, что у такой поверхности есть площадь s , причем

s = ∫∫

 

cosdxdyγ

 

(см. (5)). В двойном интеграле, выражающем площадь поверхно-

 

 

( D )

 

 

 

 

 

 

 

 

сти (s), сделаем замену переменных, взяв в качестве новых переменных пара-

 

x = x(u, v),

 

 

 

метры u

(u, v) () . Получим

и v , т. е. положив

 

y = y(u, v),

 

 

 

s = ∫∫

 

J(u, v)

 

dudv . У нас J(u, v) =

 

 

xuxv

 

= C . Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos γ

 

 

 

 

 

yuyv

 

 

 

 

 

 

()

 

 

 

 

 

 

s = ∫∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dudv .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

()

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

 

 

γ nr (s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В двойном интеграле (7) следует выразить

 

cos γ через переменные u и v .

Для этого

(l2)

 

на поверхности (s)

выберем и

закрепим

N

произвольную точку

N( x0 , y0 , z0 ), соот-

(l1)

 

ветствующую точке (u0 , v0 ) (

 

) . Прове-

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

y

дем в этой точке нормаль n к поверхности

 

 

(s). Пусть α, β, γ – углы,

которые нор-

 

 

 

маль nr образует с осями Ox ,

Oy и Oz со-

x

 

 

ответственно. Проведем на поверхности (s)

Рис. 4.5. К вычислению площади

через точку N кривую (l1 ) :

 

),

 

 

кривой поверхности, заданной

 

x = x(u, v

0

 

 

параметрическими уравнениями

 

 

 

 

 

 

 

 

(l1 ) = y

= y(u, v0 ),

 

 

 

 

= z(u, v0 )

 

 

 

z

τ1(xu(u0 , v0 ), yu(u0 , v0 ), zu(u0 , v0 ))

(это – линия, ибо параметр один). Вектор

направлен по касательной к (l1 ) в точке N . Так как линия (l1 )

лежит на по-

верхности (s) и проходит через точку N , то τ1 n . Поэтому

 

 

xu(u0 , v0 )cosα + yu(u0 , v0 )cosβ+ zu(u0 , v0 )cos γ = 0

 

 

xu(u0 , v0 )cosα + yu(u0 , v0 )cosβ = −zu(u0 , v0 )cos γ .

(8)

Затем на поверхности (s) через точку N( x0 , y0 , z0 ) проводим кривую

109

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = x(u , v),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(l2 ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= y(u0 , v),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= z(u0 , v).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор τr

(x(u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, v

0

), y

(u

, v

0

), z(u

 

, v

0

))

 

 

 

 

направлен по касательной к (l

2

)

в

 

2

 

v

 

 

 

0

 

 

 

v

 

0

 

 

 

 

v

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точке

N . Так как (l2 )

 

лежит на поверхности (s) и проходит через точку N ,

то

τr2 nr

. Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xv(u0 , v0 )cosα + yv(u0 , v0 )cosβ+ zv(u0 , v0 )cos γ = 0

 

 

 

 

 

xv(u0 , v0 )cosα + yv(u0 , v0 )cosβ = −zv(u0 , v0 )cos γ .

 

(9)

Из системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

(u

, v

0

)cosα + y(u

, v

0

)cosβ = −z(u , v

0

)cos γ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xv(u0 , v0 )cosα + yv(u0 , v0 )cosβ = −zv(u0 , v0 )cos γ

 

 

 

 

найдем cosα и cosβ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zu(u0 , v0 )cos γ

yu(u0 , v0 )

 

 

 

 

 

 

 

cos γ

 

zu

yu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosα =

 

 

 

 

zv(u0 , v0 )cos γ

yv

(u0 , v0 )

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

zv

yv

 

 

=

 

A

cos γ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

(u

 

, v

0

)

 

y

(u

, v

0

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

0

 

 

 

 

 

 

u

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xv

(u0 , v0 ) yv

(u0 , v0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xu(u0 , v0 )

zu(u0 , v0 )cos γ

 

 

 

 

 

 

 

cos γ

 

xu

zu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosβ =

 

 

 

xv(u0 , v0 )

zv

(u0 , v0 )cos γ

 

 

=

 

 

 

 

 

 

xv

zv

 

 

 

 

 

=

B

cos γ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(u

 

, v

0

)

 

y

(u

, v

0

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

0

 

 

 

 

 

 

u

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xv

(u0 , v0 ) yv

(u0 , v0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C cos γ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Можем

написать

 

 

 

 

также,

что

 

 

 

 

cos γ =

 

 

 

 

 

 

 

Известно,

 

что

cos2 α + cos2 β+ cos2 γ =1. А тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

2

 

 

+ B

2

+C

2

cos2 γ =1

 

 

cos γ =

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 + B2

 

 

+ C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя это выражение для

 

 

 

в (7), находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s = ∫∫

A2 + B2 + C2 dudv .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

()

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 1. Из формулы (10) для площади s поверхности видим, что на окончательном результате не отразилось, что отличен от нуля именно определитель C , а не A или B. Точно такое же выражение для s мы получили бы, предполагая, что в () отличен от нуля либо определитель A , либо определи-

тель B. Поэтому формула (10) верна и тогда, когда область () разлагается на конечное число частей, в каждой из которых отличен от нуля хотя бы один из трех определителей: A, B, C .

110