Госы 5к Надя / лекции_3 / int_ zaw_ot_ par / Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145
.pdf
|
y |
|
|
|
8b |
(l4 ) |
(l3 ) |
v |
( ∆) |
|
(l2 ) |
|
||
|
|
arctg 2 |
|
|
|
(D) |
|
π 4 |
u |
|
|
|
||
b |
(l1 ) |
x |
1 |
8 |
|
a |
8a |
|
Рис. 3.44. К примеру 12 |
|
Рис. 3.43. К примеру 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = aucos3 v, |
При такой замене: |
|
||||||||||||||||
Делаем замену переменных |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = busin3 v. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) линия (l |
|
) перейдет в линию u2 3 =1 u =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
) перейдет в линию u2 3 = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2) линия (l |
|
u = 8 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) линия (l |
|
) перейдет в линию tg3 v =1 |
v = |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) линия (l |
|
) перейдет в линию tg3 v = 8 v = arctg 2 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
xu′ |
xv′ |
|
a cos3 v −3aucos2 v sin v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
J (u, v) = |
= |
= 3abusin2 v cos2 v . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
yu′ yv′ |
|
bsin3 v |
|
|
3busin2 v cos v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Имеем, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v=arctg 2 |
|
|
|
|
|
|
|
u=8 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F = ∫∫dxdy = ∫∫3abusin2 v cos2 v dudv = 3ab ∫ |
|
sin2 v cos2 v dv ∫u du = |
||||||||||||||||||||||||||||
|
( D ) |
|
|
|
( ∆) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v=π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u=1 |
||||
|
|
|
3 63 |
|
v=arctg 2 |
2 |
v cos |
2 |
v dv = |
189 |
|
1 v=arctg 2 |
|
2 |
2v dv = |
|
||||||||||||||
|
|
= |
|
|
2 |
|
ab |
∫sin |
|
|
|
2 ab |
4 |
|
|
∫sin |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v=π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v=π 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
189 |
v=arctg 2 1 −cos 4v |
|
189 |
|
|
|
|
π |
|
1 |
|
|
|
|
v=arctg 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
ab |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dv = |
|
16 |
ab arctg 2 − |
4 |
|
4 |
sin 4v |
|
v=π |
4 = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
v=π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= 189 ab (arctg 2 −arctg1) |
− 1 sin (4arctg 2) . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как arctg 2 |
−arctg1 |
= arctg 1 , sin (4arctg 2) = − |
24 , то |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = 18916 ab arctg 13 + 256 (кв. ед.).
101
Глава 4. Вычисление площадей кривых поверхностей
§1. Некоторые сведения из геометрии
1.°Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной
кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Касательной в точке N |
к пространственной кривой (l) на- |
||||||||||||||||||||||||
зывается предельное положение секущей, проходящей через точку N и какую- |
|||||||||||||||||||||||||
нибудь точку M этой кривой, когда точка |
M по кривой стремится к совпаде- |
||||||||||||||||||||||||
нию с точкой N . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть кривая (l) задана параметрическими уравнениями |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x = ϕ(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= ψ(t), |
t [ p,q]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= ω(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z |
|
(T ) |
|
Предполагаем, что функции ϕ(t) , ψ(t) , ω(t) |
|||||||||||||||||||||
|
|
имеют |
в |
[ p, q] |
|
|
непрерывные |
производные |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
M |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ϕ′(t) , ψ′(t) , ω′(t). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
(l) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
N |
|
|
|
Пусть точка N( x0 , y0 , z0 ) соответствует |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
значению |
|
параметра |
t0 , |
а |
точка |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
M(x0 + ∆ x, y0 + ∆y, z0 + ∆ z) |
– |
значению па- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
раметра |
|
|
t0 +∆t , |
так |
что: |
x0 = ϕ(t0 ), |
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
y0 = ψ(t0 ), z0 = ω(t0 ) ; x0 + ∆x = ϕ(t0 + ∆t), |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y0 + ∆y = ψ(t0 + ∆t) , z0 + ∆z = ω(t0 + ∆t). |
||||||||||||||||||
Рис. 4.1. К определению |
|
|
|||||||||||||||||||||||
касательной к пространственной |
|
Составляем уравнение секущей NM как |
|||||||||||||||||||||||
|
кривой |
|
уравнение прямой, проходящей через две точ- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x − x0 |
|
|
|
y − y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z − z0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
( x0 + ∆x) − x0 |
( y0 + ∆y) − y0 |
( z0 + ∆z) − z0 |
|
|
|
||||||||||||||||||
( x, y, z – текущие координаты), или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x − x0 |
|
|
|
y − y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z − z0 |
|
|
|
||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
||||||||||||
|
ϕ(t0 + ∆t) −ϕ(t0 ) |
ψ(t0 + ∆t) − ψ(t0 ) |
ω(t0 + ∆t) −ω(t0 ) |
|
|||||||||||||||||||||
Разделив знаменатели этих отношений |
на ∆t |
и |
переходя к |
пределу при |
|||||||||||||||||||||
∆t → 0 , получим уравнение касательной к (l) в точке N . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
|
= |
z − z0 |
. |
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||
|
|
|
ϕ′(t0 ) |
ψ′(t0 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
ω′(t0 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Из (2) видим, что вектор τr(ϕ′(t0 ), ψ′(t0 ),ω′(t0 )) |
направлен по касательной к |
кривой (l) в точке N .
102
Замечание. Уравнения (2) теряют смысл, если ϕ′(t0 ) = ψ′(t0 ) = ω′(t0 ) = 0 .
В этом случае точка N называется особой. Если же хотя бы один из знаменателей в соотношении (2) не равен нулю, то точка N называется обыкновенной. В дальнейшем мы будем рассматривать только обыкновенные точки.
Определение. Нормальной плоскостью к кривой (l) в точке N называется плоскость, проходящая через точку N перпендикулярно касательной к (l) в точке ( N ) .
Найдем уравнение нормальной плоскости. Для этого берем уравнение связ-
ки плоскостей с центром в точке N( x0 , y0 , z0 ): |
|
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C( z − z0 ) = 0 . |
(3) |
По определению, нормальная плоскость перпендикулярна касательной к (l) в
точке N . Поэтому |
A |
= |
B |
|
= |
C |
|
(= k), k – обозначение общей ве- |
||
|
ϕ′(t0 ) |
|
ψ′(t0 ) |
|
ω′(t0 ) |
|
|
|
||
личины этих отношений. А тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||
A = k ϕ′(t0 ), B = k ψ′(t0 ), C = k ω′(t0 ). |
|
|
||||||||
Подставив эти выражения для A, |
B и C в (3), получим уравнение нормальной |
|||||||||
плоскости к (l) в точке N : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ϕ′(t0 ) ( x − x0 ) + ψ′(t0 ) ( y − y0 ) +ω′(t0 ) ( z − z0 ) = 0 . |
(4) |
|||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
(l ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(l ) |
(l ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
Рис. 4.2. К определению нормальной |
|
Рис. 4.3. К определению касательной |
||||||||
плоскости к пространственной кривой |
|
плоскости и нормали к поверхности |
2°. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Определение. Пусть дана поверхность (s) и пусть точка N( x0 , y0 , z0 ) (s). Рассмотрим всевозможные кривые, лежащие на (s) и проходящие через точку N . Проведем к этим кривым в точке N касательные прямые. Если геометрическим место этих касательных прямых оказывается плоскость, то она называется касательной плоскостью к поверхности (s) в точке N , а перпендикуляр к этой
плоскости в точке N называется нормалью к поверхности (s) в точке N . |
|
Пусть данная поверхность (s) имеет уравнение |
|
F( x, y, z) = 0. |
(5) |
103
Предполагаем, что функция F( x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные Fx′, Fy′, Fz′ в некоторой пространственной области. Точки
поверхности (s), в которых одновременно |
Fx′( x, y, z) = 0 , Fy′( x, y, z) = 0 , |
Fz′( x, y, z) = 0, называются особыми точками. |
Остальные точки поверхности |
(s) называются обыкновенными. |
|
Пусть точка N( x0 , y0 , z0 ) – обыкновенная точка поверхности (s). Рассмот-
рим одну из кривых (l), лежащую |
на (s) и проходящую через точку |
N( x0 , y0 , z0 ). Пусть параметрические уравнения этой кривой (l) такие: |
|
x = ϕ(t), |
|
|
t [ p,q], |
y = ψ(t), |
|
|
|
z = ω(t), |
|
где функции ϕ(t), ψ(t), ω(t) определены и имеют непрерывные производные
ϕ′(t), ψ′(t), ω′(t) в промежутке [ p, q].
Пусть точка N( x0 , y0 , z0 ) соответствует значению параметра t0 . Уравнение
касательной к (l) в точке N( x0 , y0 , z0 ) будет таким: |
|
||||||
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
. |
(6) |
|
ϕ′(t0 ) |
ψ′(t0 ) |
|
||||
|
|
|
ω′(t0 ) |
|
Мы докажем, что у данной поверхности (s) в точке N существует касательная плоскость, если покажем, что касательная прямая к любой кривой (l), проходящей через точку N , перпендикулярна к некоторой определенной прямой.
Так как вся кривая (l) лежит на поверхности (s), то при всех t [ p, q] бу-
дет |
|
F(ϕ(t), ψ(t),ω(t))= 0 . |
(7) |
Значит, (7) есть тождество относительно t . Продифференцируем это тождество по t . Получим
Fx′(ϕ(t), ψ(t),ω(t)) ϕ′(t) + Fy′(ϕ(t), ψ(t),ω(t)) ψ′(t) + +Fz′(ϕ(t), ψ(t),ω(t)) ω′(t) = 0
Положим в этом соотношении t = t0 . Получим
Fx′( x0 , y0 , z0 ) ϕ′(t0 ) + Fy′( x0 , y0 , z0 ) ψ′(t0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 ) ω′(t0 ) = 0 . (8)
Равенство (8) представляет собой условие перпендикулярности двух прямых, а
именно, прямой (6) (т. е. касательной к (l) |
в точке |
|
N ) и прямой, имеющей |
|||||||||||||||||||||||
уравнение |
x − x0 |
|
|
|
y − y0 |
|
|
|
z − z0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
. |
(9) |
|||||||||||||||
|
F′( x |
0 |
, y |
0 |
, z |
0 |
) |
F′( x |
0 |
, y |
0 |
, z |
0 |
) |
F′( x |
0 |
, y |
0 |
, z |
0 |
) |
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
Ясно, что прямая (9) не зависит от выбора кривой (l). Она зависит только от поверхности (s) и от положения точки N на (s). Значит, касательная прямая к
104
любой кривой (l), лежащей на (s) и проходящей через точку N( x0 , y0 , z0 )
перпендикулярна к одной и той же прямой (9). Следовательно, у поверхности (s) в точке N существует касательная плоскость.
Нетрудно понять, что прямая (9) является нормалью к поверхности (s) в точке N .
Выведем теперь уравнение касательной плоскости к (s) в точке N . Для это-
го возьмем уравнение связки плоскостей с центром в точке N : |
|
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C( z − z0 ) = 0 . |
(10) |
Так как касательная плоскость к (s) в точке N перпендикулярна нормали (9),
то |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
(= k ), |
|
|
|
|
F′( x |
0 |
, y |
0 |
, z |
0 |
) |
F′(x |
0 |
, y |
0 |
, z |
0 |
) |
F′( x |
0 |
, y |
0 |
, z |
0 |
) |
|
||||
~ |
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k – обозначение общей величины этих отношений. А тогда |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
~ |
Fx′( x0 , y0 , z0 ), |
~ |
Fy′( x0 , y0 |
, z0 ), |
|
|
|
|
~ |
|
, y0 |
, z0 ) . |
|||||||||||||||
A = k |
B = k |
|
C = k Fz′( x0 |
||||||||||||||||||||||||
Подставив эти выражения для A, |
|
B и C в (10), получим уравнение касатель- |
|||||||||||||||||||||||||
ной плоскости к поверхности (s) в точке N : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fx′( x0 , y0 , z0 )( x −x0 ) +Fy′( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) +Fz′( x0 , y0 , z0 )( z −z0 ) =0 . (11)
Частный случай. Пусть поверхность (s) задана явным уравнением: |
|
z = f ( x, y) , |
(12) |
где f ( x, y) – непрерывная вместе со своими частными производными
p( x, y) = fx′( x, y) и q( x, y) = f y′( x, y) . Отметим, |
что у такой поверхности все |
|||||||||||||||||||
точки |
обыкновенные. В |
самом |
деле, |
|
запишем |
уравнение (12) |
в виде: |
|||||||||||||
f ( x, y) − z = 0 . Это есть уравнение вида (5), где |
F( x, y, z) = f ( x, y) − z . По- |
|||||||||||||||||||
этому |
Fx′( x, y, z) = fx′( x, y) , |
Fy′( x, y, z) = f y′( x, y) , |
Fz′ = −1 (≠ 0). Уравнение |
|||||||||||||||||
касательной плоскости в точке |
|
N( x0 , y0 , z0 ) |
к поверхности, заданной уравне- |
|||||||||||||||||
нием (12), будет таким: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z − z0 = fx′( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y′( x0 , y0 )( y − y0 ) . |
(13) |
||||||||||||||||||
Уравнение нормали в точке N( x0 , y0 , z0 ) |
к поверхности, заданной уравнением |
|||||||||||||||||||
(12): |
|
x − x0 |
|
|
|
|
y − y0 |
|
|
|
z − z0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
. |
(14) |
||||||||||
|
|
f ′( x |
0 |
, y |
0 |
) |
|
f ′( x |
0 |
, y |
0 |
) |
|
−1 |
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если α, β, γ – углы, которые нормаль к поверхности (s) образует с осями координат, то
105
|
f ′ |
|
|
|
|
f y′ |
|
cosα = ± |
x |
|
′)2 , |
cosβ = ± |
|
+( f ′)2 , |
|
1 +( f ′)2 |
+( f |
1 +( f ′)2 |
|||||
|
x |
|
y |
|
|
x |
y |
|
cos γ = ± |
|
−1 |
|
′)2 . |
(15) |
|
|
1 + |
( f ′)2 |
+( f |
||||
|
|
|
|
x |
y |
|
Выбор знака перед радикалом означает выбор определенного направления на нормали. Если нам нужно, например, то направление, которое составляет с осью Oz острый угол, то должно быть cos γ > 0 и, следовательно, в формулах
(15) перед радикалом нужно взять знак минус.
Замечание. Пусть кривая (l) задана пересечением двух поверхностей, т. е.
F( x, y, z) = 0,
системой Φ( x, y, z) = 0. Касательную прямую к этой кривой в точке
N( x0 , y0 , z0 ) можно получить как пересечение касательных плоскостей, прове-
денных к данным поверхностям в точке N . Следовательно, уравнение этой касательной прямой будет таким:
F′(x |
0 |
, y , z |
0 |
)(x −x |
0 |
)+F′(x |
0 |
, y , z |
0 |
)( y − y |
0 |
) |
+F′(x |
0 |
, y , z |
0 |
)(z −z |
0 |
)=0, |
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
0 |
|
|
|
y |
0 |
|
|
|
|
z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
, y , z |
|
|
)(x −x |
|
|
)+Φ′ (x , y , z |
|
)( y − y |
)+Φ′(x , y , z |
|
)(z −z |
|
)= |
0. |
|||||||||||||||
Φ′ (x |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
0 |
|
|
|
y |
|
0 0 |
|
|
|
|
0 |
z |
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
§2. Существование площади кривой поверхности и ее вычисление
1°. Рассмотрим поверхность (s) z
z |
Mk |
|
(s) |
y
x |
(D) |
(Dk ) |
|
|
Рис. 4.4. К вычислению площади кривой поверхности
верхность (s) разобьется на части
, заданную явным уравнением
= f ( x, y) , |
(1) |
где f ( x, y) |
определена, непрерывна и |
имеет непрерывные частные производные fx′( x, y) , f y′( x, y) в области ( D ), расположенной в плоскости Oxy и ограниченной простым контуром.
Разобьем ( D ) произвольной сетью простых кривых на части ( D1 ) , ( D2 ) , K ,
( Dn ) с площадями F1, F2 , K, Fn . Рассмотрим цилиндрические поверхности, образующие которых параллельны оси Oz , а направляющими служат простые
кривые, разбивающие на части ( D ). Эти цилиндрические поверхности переносят дробящую сеть с ( D ) на (s). Поэтому по- (s1 ) , (s2 ) , K , (sn ) . На каждой части (sk )
106
берем произвольную точку Mk ( xk , yk , zk ) и проводим в этих точках плоскости, касательные к поверхности (s). Продолжим упомянутые выше цилиндрические поверхности до пересечения с построенными касательными плоскостями. Тогда на этих плоскостях вырежутся плоские области (~s1 ) , (~s2 ) , K , (~sn ) . Пусть площади их будут: T1, T2 , K, Tn соответственно. Обозначим через λ ранг дробления области ( D ). Покажем, что существует конечный предел
n
s = lim ∑Tk , не зависящий ни от выбора дробящей сети, ни от выбора точек
λ→0 k=1
Mk на (sk ) . Этот предел и принимается за площадь s поверхности (s).
Заметим, что области ( Dk ) являются проекциями (~sk ) на плоскость Oxy . Значит, площади их связаны так: Fk = Tk cos ψk , где ψk – угол между плоскостью Oxy и плоскостью, касательной к поверхности (s) в точке Mk . Но угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям. Поэтому
ψk = γk , где γk |
– угол между осью Oz и нормалью к поверхности (s) в точке |
||||
Mk . А тогда |
|
|
|
1 |
|
cos ψk = cos γk = |
|
||||
1 +(fx′( xk , yk ))2 +(f y′( xk , yk ))2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
(заметим, что нам нужен положительный косинус). И, следовательно, |
|
||||
Tk = |
Fk |
|
= 1 +(fx′( xk , yk ))2 +(f y′( xk , yk ))2 Fk |
|
|
cos ψk |
|
||||
|
|
|
|
||
|
n |
n |
|
|
|
∑Tk = |
∑ 1 +(fx′( xk , yk ))2 +(f y′( xk , yk ))2 Fk . |
(2) |
|||
|
k=1 |
k=1 |
|
|
Видим, что сумма (2) есть интегральная сумма Римана для двойного интеграла по области ( D ) от непрерывной в ( D ) функции 1 +(fx′( x, y))2 +(f y′( x, y))2 .
Значит, у суммы (2) существует при λ → 0 конечный предел, не зависящий ни от выбора дробящей сети области ( D ), ни от выбора точек Mk на (sk ) , а это и требовалось доказать. Попутно установлено, что
s = ∫∫ 1 +(fx′( x, y))2 +(f y′( x, y))2 dxdy . |
(3) |
( D ) |
|
Замечание. Формулу (3) для площади s кривой поверхности можно запи-
сать в виде: |
|
s = ∫∫cosdxdyγ , |
(4) |
( D ) |
|
107
где γ – острый угол между нормалью к поверхности (s) и осью Oz . Если на нормали к (s) направление не выбрано нужным образом, то вместо (4) следует писать
s = ∫∫ |
|
cosdxdyγ |
|
. |
(5) |
|
|
||||
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2°. Случай, когда поверхность задана параметрическими уравнениями.
Рассмотрим теперь поверхность (s), заданную параметрическими уравне-
ниями |
|
||
x = x(u, v), |
|
||
|
(6) |
||
y = y(u, v), |
|||
|
|
||
z = z(u, v), |
|
||
где x(u, v), y(u, v) , z(u, v) есть функции, заданные в области ( |
|
) |
плоскости |
∆ |
Ouv , непрерывные там и имеющие непрерывные частные производные xu′ , xv′ ,
yu′ , yv′ , zu′ , zv′ . Составим матрицу |
|
|
|
x′ |
y′ |
z′ |
|
u |
u |
u |
|
xv′ |
yv′ |
zv′ |
|
и рассмотрим следующие определители, составленные из элементов этой матрицы:
|
|
|
|
y′ |
z′ |
|
|
|
|
|
z′ x′ |
|
|
|
|
x′ y′ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
A = |
yu′ zu′ |
|
, |
B = |
|
zu′ |
xu′ |
|
, |
C = |
|
xu′ |
yu′ |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
v |
v |
|
|
|
|
|
v |
v |
|
|
|
|
v |
v |
|
|
|
|
|
|
Предположим, что один из этих трех определителей, например, C , всюду в ( |
|
) |
||||||||||||||||||||||
∆ |
||||||||||||||||||||||||
отличен от нуля. ( C ≠ 0 всюду в ( |
|
)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Возьмем первые два уравнения из системы (6). При условии, что C ≠ 0 в |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x = x(u, v), |
однозначно разрешима относительно u |
и v , т. е. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(∆), система |
|
|||||||||||||||||||||||
u = u( x, y), |
y = y(u, v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
причем функции u( x, y), v ( x, y) |
будут определены, непрерывны |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
v = v ( x, y), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux′( x, y) , u′y ( x, y) , |
vx′( x, y) , |
||||||||||
и |
иметь непрерывные |
частные |
производные |
v′y ( x, y) в некоторой области ( D ) плоскости Oxy (см. теорию функций, заданных неявно). Подставив выражения для u и v через x и y в соотношение z = z(u, v) из (6), получим
z = z(u( x, y), v ( x, y)), т. е. z = f ( x, y) .
Отметим, что функция f ( x, y) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные fx′( x, y) , f y′( x, y) в области ( D ). Видим, таким образом, что поверхность (s), заданная параметрическими уравнениями (6), пред-
108
ставляет собой поверхность как раз такого типа, который был рассмотрен выше в 1°.
Было показано, что у такой поверхности есть площадь s , причем
s = ∫∫ |
|
cosdxdyγ |
|
(см. (5)). В двойном интеграле, выражающем площадь поверхно- |
|
|
|||
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
сти (s), сделаем замену переменных, взяв в качестве новых переменных пара-
|
x = x(u, v), |
|
|
|
|
метры u |
(u, v) (∆) . Получим |
||||
и v , т. е. положив |
|||||
|
y = y(u, v), |
|
|
|
s = ∫∫ |
|
J(u, v) |
|
dudv . У нас J(u, v) = |
|
|
xu′ xv′ |
|
= C . Поэтому |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
cos γ |
|
|
|
|
|
yu′ yv′ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(∆) |
|
|
|
|
|
|
s = ∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dudv . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
γ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(∆) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
γ nr (s) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В двойном интеграле (7) следует выразить |
|
cos γ через переменные u и v . |
Для этого |
(l2) |
|
||
на поверхности (s) |
выберем и |
закрепим |
N |
||
произвольную точку |
N( x0 , y0 , z0 ), соот- |
(l1) |
|||
|
ветствующую точке (u0 , v0 ) ( |
|
) . Прове- |
|
|
|
|||
∆ |
|
|
|
|||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
y |
дем в этой точке нормаль n к поверхности |
|
|
||||||
(s). Пусть α, β, γ – углы, |
которые нор- |
|
|
|
||||
маль nr образует с осями Ox , |
Oy и Oz со- |
x |
|
|
||||
ответственно. Проведем на поверхности (s) |
Рис. 4.5. К вычислению площади |
|||||||
через точку N кривую (l1 ) : |
|
), |
|
|
кривой поверхности, заданной |
|
||
x = x(u, v |
0 |
|
|
параметрическими уравнениями |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(l1 ) = y |
= y(u, v0 ), |
|
|
|
||||
|
= z(u, v0 ) |
|
|
|
||||
z |
τ1(xu′(u0 , v0 ), yu′(u0 , v0 ), zu′(u0 , v0 )) |
|||||||
(это – линия, ибо параметр один). Вектор |
||||||||
направлен по касательной к (l1 ) в точке N . Так как линия (l1 ) |
лежит на по- |
|||||||
верхности (s) и проходит через точку N , то τ1 n . Поэтому |
|
|
||||||
xu′(u0 , v0 )cosα + yu′(u0 , v0 )cosβ+ zu′(u0 , v0 )cos γ = 0 |
|
|
||||||
xu′(u0 , v0 )cosα + yu′(u0 , v0 )cosβ = −zu′(u0 , v0 )cos γ . |
(8) |
Затем на поверхности (s) через точку N( x0 , y0 , z0 ) проводим кривую
109
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x(u , v), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(l2 ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= y(u0 , v), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= z(u0 , v). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Вектор τr |
(x′(u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
, v |
0 |
), y′ |
(u |
, v |
0 |
), z′(u |
|
, v |
0 |
)) |
|
|
|
|
направлен по касательной к (l |
2 |
) |
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
v |
|
|
|
0 |
|
|
|
v |
|
0 |
|
|
|
|
v |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
точке |
N . Так как (l2 ) |
|
лежит на поверхности (s) и проходит через точку N , |
то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
τr2 nr |
. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
xv′(u0 , v0 )cosα + yv′(u0 , v0 )cosβ+ zv′(u0 , v0 )cos γ = 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
xv′(u0 , v0 )cosα + yv′(u0 , v0 )cosβ = −zv′(u0 , v0 )cos γ . |
|
(9) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Из системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x′ |
(u |
, v |
0 |
)cosα + y′(u |
, v |
0 |
)cosβ = −z′(u , v |
0 |
)cos γ, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
xv′(u0 , v0 )cosα + yv′(u0 , v0 )cosβ = −zv′(u0 , v0 )cos γ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
найдем cosα и cosβ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−zu′(u0 , v0 )cos γ |
yu′(u0 , v0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
−cos γ |
|
zu′ |
yu′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cosα = |
|
|
|
|
−zv′(u0 , v0 )cos γ |
yv′ |
(u0 , v0 ) |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
zv′ |
yv′ |
|
|
= |
|
A |
cos γ ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x′ |
(u |
|
, v |
0 |
) |
|
y′ |
(u |
, v |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
u |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xv′ |
(u0 , v0 ) yv′ |
(u0 , v0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xu′(u0 , v0 ) |
−zu′(u0 , v0 )cos γ |
|
|
|
|
|
|
|
−cos γ |
|
xu′ |
zu′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cosβ = |
|
|
|
xv′(u0 , v0 ) |
−zv′ |
(u0 , v0 )cos γ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
xv′ |
zv′ |
|
|
|
|
|
= |
B |
cos γ . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x′(u |
|
, v |
0 |
) |
|
y′ |
(u |
, v |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
u |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xv′ |
(u0 , v0 ) yv′ |
(u0 , v0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C cos γ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Можем |
написать |
|
|
|
|
также, |
что |
|
|
|
|
cos γ = |
|
|
|
|
|
|
|
Известно, |
|
что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 α + cos2 β+ cos2 γ =1. А тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
2 |
|
|
+ B |
2 |
+C |
2 |
cos2 γ =1 |
|
|
cos γ = |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 + B2 |
|
|
+ C2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Подставляя это выражение для |
|
|
|
в (7), находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s = ∫∫ |
A2 + B2 + C2 dudv . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(∆) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1. Из формулы (10) для площади s поверхности видим, что на окончательном результате не отразилось, что отличен от нуля именно определитель C , а не A или B. Точно такое же выражение для s мы получили бы, предполагая, что в (∆) отличен от нуля либо определитель A , либо определи-
тель B. Поэтому формула (10) верна и тогда, когда область (∆) разлагается на конечное число частей, в каждой из которых отличен от нуля хотя бы один из трех определителей: A, B, C .
110