Госы 5к Надя / лекции_3 / int_ zaw_ot_ par / Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145

z
I( z) = ∫Ψ( y) dy + I(c).	(1)

c

В правой части последнего равенства мы имеем интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. Следовательно, у правой части равенства (1) производная по z существует и равна Ψ( z) (см. теорему Барроу). Но тогда существует производная по z и y левой части равенства (1), причем

I′( z) = Ψ( z) .

(2)

Равенство (2) установлено для любого z [c, d]. Оно может быть записано и так: I′( y) = Ψ( y) , y [c, d].

Таким образом, доказано, что

1)I′( y) существует при каждом y из [c, d];

2)I′( y) = Ψ( y) , y [c, d];

3)I′( y) C([c, d]), ибо Ψ( y) C([c, d]).

§5. Признак равномерной сходимости несобственных интегралов

Теорема. Пусть

a ≤ x < +∞,	и непрерывна там;
1) функция f ( x, y) определена в области
c ≤ y ≤ d

2)функция ϕ( x) определена и непрерывна в [a, +∞) ;

3)f ( x, y) ≤ ϕ( x) при всех значениях y из [c, d] и x [a, +∞) .

+∞

Тогда, если несобственный интеграл ∫ϕ( x) dx сходится, то несобственный

a

+∞

интеграл I( y) = ∫ f ( x, y) dx сходится равномерно относительно y на [c, d].

a

Сходимость (и притом абсолютная) несобственного интеграла

+∞

∫ f ( x, y) dx при каждом y из [c, d] следует из признака сравнения.

a

Возьмем любое A,		удовлетворяющее условию A > a , и закрепим его. Затем
возьмем любое B, удовлетворяющее условию B > A. Имеем при всех значениях
y из [c, d]:
	B			B				B
	∫ f ( x, y) dx			≤ ∫		f ( x, y)		dx ≤ ∫ϕ( x) dx .
	A			A				A

Отсюда в пределе при B → +∞ при всех значениях y из [c, d] получаем

121

			+∞			+∞
			∫ f ( x, y) dx			≤ ∫ϕ( x) dx .			(1)
	+∞		A			A
По условию,	∫ϕ( x) dx сходится, поэтому
A	a	+∞		+∞			A
∫ϕ( x) dx →		∫ϕ( x) dx		∫ϕ( x) dx − ∫ϕ( x) dx → 0
a	A→+∞	a					a		A→+∞
				a
			+∞
			∫ϕ( x) dx → 0 .
			A			A→+∞
									M > 0 такое, что как
Последнее означает, что всякому ε > 0 отвечает число
			+∞
только A > M , так сейчас же ∫ϕ( x) dx < ε.							Отметим,		что здесь M зависит
			A					+∞
только от ε. В силу (1), при A > M и подавно будет								∫ f ( x, y) dx		< ε сразу для
				+∞				A
всех y из [c, d]. А это означает, что				∫ f ( x, y) dx сходится равномерно относи-

a

тельно y на [c, d].

Замечание. Для несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра, имеют место теоремы, совершенно аналогичные теоремам §2–§5.

§6. Примеры к главе 5

Рассмотрим несколько примеров применения доказанных теорем к вычислению интегралов.

Пример 1. Рассмотрим интеграл

				+∞
	I( y) = ∫e−x sin xy dx .											(1)
Имеем:				0
						x=+∞
+∞			e−x						y
∫e−x sin xy dx = −					(sin xy + y cos xy)		=				.	(2)
			+ y	2					+ y	2
0	1					x=0	1

Используя равенство (2), найдем величины некоторых других интегралов. 1. Отметим, что интеграл I( y) сходится равномерно относительно y на

122

любом промежутке [c, d]. В самом деле, имеем:

e−x sin xy

≤ e−x для любого

+∞

xx==+∞0

y [c, d] и для всех x [0, +∞);

интеграл

∫e−x dx = −e−x

=1,

т.е. схо-

I( y)

0

y на про-

дится, тогда по теореме §5

сходится равномерно относительно

межутке [c, d].

f ( x, y) = e−x sin xy

Отметим еще, что функция

непрерывна

в

области

0 ≤ x

< +∞,

≤ d.

Тогда по теореме §2 имеем:

c ≤ y

I( y) C([c, d]) I( y) R([c, d]) I( y) R([0, z]).

(здесь положено c = 0 , d = z , где z – любое конечное). По теореме §3

z

+∞

−x

+∞

z

−x

∫

∫e

∫e

sin xy dx dy = ∫

sin xy dy dx .

0

0

0

0

Следовательно, интегрируя обе части равенства (2)

по y

от 0

до

z , будем

иметь

+∞ z

z

−x

ydy

∫

∫e

sin xy dy dx = ∫

.

(3)

1 + y

2

z

0

0

0

−x

−x cos xy

y

=z

−x 1 −cos xz

Но ∫e

sin xy dy = −e

= e

(это равенство установлено

x

y

=0

x

0

для x ≠ 0 ; оно верно и при x = 0 , если в этой точке понимать его в предельном смысле:

	z		z
lim	∫e−x sin xy dy = ∫lim (e−x sin xy) dy = 0 ;
x→0	0		0	x→0
lim e−x 1 −cos xz = lim e−x 2 sin2 xz = 0 ).
x→0		x	x→0		x	2

Тогда (3) для любого конечного z примет вид:

2. Имеем:

0 ≤ x < +∞,c ≤ y ≤ d.

	+∞		−x 1 −cos xz		1	2
	∫	e					),.
				x	dx = 2 ln (1 + z
	0
f	′( x, y) = (e−x sin xy)′				= xe−x cos xy		непрерывна в	области
y				y
+∞				+∞
∫ f y′( x, y) dx =				∫xe−x cos xy dx сходится равномерно				относи-
0				0

123

xe−x cos xy

≤ xe−x для любого

y [c, d] и

тельно y на [c, d]. В самом деле,

+∞

xx==+∞0 =1,

x [0, +∞);

∫xe−x dx = −( x +1)e−x

т.е.

сходится.

Поэтому

+∞

0

∫xe−x cos xy dx

сходится равномерно относительно

y

на промежутке [c, d].

0

Тогда по теореме §4

′

+∞

−x

+∞

−x

+∞

−x

∫e

=

∫(e

sin xy)′y dx =

∫xe

cos xy dx .

sin xy dx

0

y

0

0

Дифференцируя по y

обе части равенства (2), получим для любого конечно-

го y

+∞

−x

1 − y2

∫xe

cos xy dx =

.

(1 + y

2

)

2

0

Пример 2. Рассмотрим интеграл

+∞		dx
I( y) = ∫				,
	x	2	2
0		+ y

где [c, d] – любой, но такой, что 1 ≤ c < d . Имеем:

+∞		dx			1		x			x=+∞
∫				=		arctg
		2	2		y		y
0	x	+ y								x=0

y[c, d],

=2πy , y [c, d].

(4)

(5)

И здесь, используя равенство (5), найдем величины еще некоторых интегра-

лов.

что интеграл I( y)

сходится равномерно относительно y

на

1. Отметим,

промежутке

[c, d]. Действительно,

имеем:

1

≤

1

,

y [c, d]

и

x2 + y2

x2 +1

+∞

dx

xx==+∞0

= π, т.е.

x [0, +∞);

∫

= arctg x

сходится.

Следовательно, I( y)

2

0

x

+1

2

сходится равномерно относительно y на [c, d].

Отметим

еще, что функция

f ( x, y) =

1

непрерывна

в области

x2 + y2

0 ≤ x < +∞,

Тогда

c ≤ y ≤ d.

124

I( y) C([c, d]) I( y) R([c, d]) I( y) R([1, z])

(здесь положено c =1, d = z , где z – любое конечное, z >1).

По теореме об интегрировании по параметру под знаком интеграла (см. §3)

z +∞

dx

+∞ z

dy

∫

∫

2

+ y

2 dy

= ∫

∫

x

2

+ y

2

dx .

1

0 x

0

1

Следовательно, интегрируя обе части равенства (5)

по y от 1 до

z , будем

иметь

+∞ z

z

dy

π

∫

∫

2

+ y

2

dx =

∫

2 y

dy .

(6)

0

1 x

1

z

z

1

Но ∫

dy

=

1 arctg

y

y=z

=

arctg

x

−arctg x

(это равенство установлено для

2

2

1

x

+ y

x

x

y=1

x

x ≠ 0 ; оно верно и при

x = 0 , если в этой точке понимать его в предельном

смысле:

z

z

z

dy

1

dy

1

z

1

lim

∫

= ∫ lim

dy

=

∫

2

= −

=1 −

z

,

2

2

2

2

y

x→0

1

x

+ y

1

x→0 x

+ y

1

y

1

( z −1) x

( z −1) x

z

1

arctg

lim

arctg

−arctg x

= lim

x2 + z

x2 + z

=1− 1 ).

x

= lim

x→0

x

x→0

x

x→0

x

z

Тогда (6) для любого конечного z ≥1 примет вид

+∞ arctg

z

−arctg

1

π

∫

x

x

dx =

2 ln z .

x

0

′

1

2 y

2. Имеем:

f

′( x, y) =

= −

непрерывна

в области

y

x2 + y

2

( x2 + y2 )2

y

0 ≤ x < +∞,

+∞

+∞

−2 y

(1 ≤ c < d ).

∫ f y′( x, y) dx =

∫

dx сходится равномерно

≤ d

2

+ y

2

)

2

c ≤ y

y

0

0 ( x

y [c, d]

x [0, +∞)

относительно

на

[c, d].

В

самом

деле,

для

и

−2 y

2d

+∞

2d

≤

, а ∫

dx

сходится. Тогда по теореме о диффе-

( x

2

+ y

2

)

2

( x

2

+1)

2

( x

2

+1)

2

0

ренцировании по параметру под знаком интеграла (см. §4)

125

+∞

dx

′

+∞

1

′

+∞

−2 y

∫

∫

= ∫

=

dx

dx .

x

2

+ y

2

2

+ y

2

( x

2

+ y

2

)

2

0

y

0

x

y

0

Дифференцируя по y обе части равенства (5), получим

+∞

y dx

π

−2 ∫

= −

,

( x

2 2

)

2

2

0

+ y

2 y

откуда

+∞

dx

π

∫

=

, y [c, d].

(7)

( x

2

2

)

2

4 y

3

0

+ y

Аналогично обосновывается возможность дифференцирования по параметру под знаком интеграла левой части (7). Тогда, дифференцируя по y обе части

равенства (7), находим

+∞		−4 y					3π		1					+∞			dx				3π		1
∫						dx = −	4				,	y [c, d]		∫						=	16				,	y [c, d].
	( x	2	+ y	2	3				y	4					( x	2	+ y	2	3				y	5
0					)									0					)

Пример 3. С помощью дифференцирования по параметру вычислить

π 2		1	+ y cos x		dx
I( y) = ∫	ln	1	− y cos x			,	| y| <1.
					cos x
0

Возьмем любую точку y0 (−1, 1) . Всегда можно указать число такое, что будет [−1 + γ0 , 1 − γ0 ] (−1, 1) и точка y0 (−1 + γ0 , 1 − γ0 ) .

(8)

γ0 > 0

−

y

1 −1

+γ

0

0

1 y

0

1−γ

0

1 + y cos x

1

= 2 y конечен, то функция

Так как lim

ln

cos x

x→π−0 1

− y cos x

2

~

f ( x, y), x [0, π 2), y [−1 + γ0 , 1 − γ0 ],

f ( x, y) =

2 y,

x = π 2,

y [−1 + γ0 , 1 − γ0 ]

1+ y cos x

1

0 ≤ x ≤

π 2,

где

f ( x, y) = ln

, непрерывна в области

≤ y ≤1 − γ0 ,

1− y cos x

cos x

−1 + γ0

причем

π 2~

I( y) = ∫

f ( x, y) dx .

I( y)

0

Последнее выражение для

– собственный интеграл, зависящий от пара-

126

метра y .
~		2	0 ≤ x ≤		π 2,
Имеем: f y′( x, y) =			непрерывна в области
		− y2 cos2 x		+ γ0	≤ y ≤1− γ0.
1			−1

По теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла, находим

π 2

2 dx

tg x = t

x = arctg t,

I′( y) = ∫

=

dx =

dt

;

cos2 x =

1

=

1 − y2 cos2 x

1 +t2

1

+t2

0

t =+∞

+∞

2 dt

2

t

π

= ∫

2 =

arctg

=

,

(1 − y

2

) + t

1 − y2

0

1 − y2

1 − y2

t =0

y [−1 + γ0 , 1 − γ0 ].

π

В частности, существует

I′( y0 ), причем

I′( y0 ) =

.

У нас точка

π

1 − y02

любая из (−1, 1) . Следовательно, I′( y) =

,

y (−1, 1). Тогда

1 − y2

I( y) = ∫

π

dy = π arcsin y + C ,

y (−1, 1).

1 − y2

y0 –

(9)

Здесь C – постоянная интегрирования. Из (8) видим, что I(0) = 0. Положив теперь в обеих частях равенства (9) y = 0 , получим 0 = 0 +C , откуда C = 0 . Таким образом, окончательно получаем

I( y) = π arcsin y , y (−1, 1).

(10)

Пример 4. С помощью дифференцирования по параметру вычислить интеграл

			+∞
			I( y) = ∫e−αx2 cos xy dx , α > 0 .		(11)
Имеем:			0
				0 ≤ x < +∞,
1)	f ( x, y) = e−αx	2	cos xy непрерывна в области		где [c, d] –
				c ≤ y ≤ d,
любой	промежуток,		и имеет там непрерывную	частную	производную

f y′( x, y) = −xe−αx2 sin xy .

+∞

2) Интеграл I( y) = ∫e−αx2 cos xy dx ( α > 0 ) сходится (и даже равномерно

0

относительно y на промежутке [c, d]).

127

+∞

+∞

3) Интеграл ∫ f y′( x, y) dx = − ∫xe−αx2 sin xy dx сходится равномерно отно-

0

0

сительно y на промежутке [c, d].

В самом деле,

f ′( x, y)

=

− xe−αx2 sin xy

≤ xe−αx2

для любого y [c, d] и

y

для всех x [0, +∞), а интеграл

+∞

1

+∞

1

x=+∞ =

1

∫xe−αx

2 dx = −

∫e−αx2 d(−αx2 ) = −

e−αx2

,

0

2α

0

2α

x=0

2α

т.е. сходится.

По теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла

+∞

u = sin xy

du = y cos xy dx,

I′( y) = − ∫xe−αx2 sin xy dx =

−αx2

1

−αx2

=

dv = −xe

dx

v =

e

0

2α

+∞

1

−αx2

x=+∞

y

−αx2

y

=

e

sin xy

−

∫e

cos xy dx

= −

I( y).

2α

x=0

2α

2α

0

144424443

=0

14424443

=I( y )

Итак, получили уравнение

y

I′( y) = −

I( y) ,

(12)

2α

которое является обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим

		I( y) = C e	−	y2
				4α ,						(13)
где С – постоянная интегрирования.
Из (11) видим, что
		+∞
		I(0) = ∫e−αx2 dx .								(14)
		0
Если в (14) сделать замену t = α x , то получим
		+∞
		I(0) = 1α ∫e−t2 dt .
		0			+∞
						2		π
В главе		3 (см. §7) было получено			∫e−t		dt =		.	Следовательно,
								2
I(0) = 1	π			0
		. Положив теперь в обеих частях равенства (13)								y = 0 , получим
2	α

128

C = 12 απ . Таким образом, окончательно будем иметь

	I( y) =	1	π	e	−	y2
						4α .
		2	α

Глава 6. Эйлеровы интегралы

§1. Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция)

Так называется интеграл вида

1

Β(a,b) = ∫xa−1 (1− x)b−1dx .

0

(15)

(1)

Этот интеграл собственный, если одновременно a ≥1, b ≥1. Если же хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то интеграл (1) – несобственный.

Покажем, что интеграл (1) сходится, если одновременно a > 0 и b > 0 . Видим, что подынтегральная функция в (1) имеет, вообще говоря, две осо-

бые точки: x = 0 и x =1. Поэтому представляем (1) в виде:

1 2

1

Β(a,b) = ∫xa−1 (1− x)b−1dx + ∫xa−1 (1− x)b−1dx = I1 + I2 .

0

1 2

144424443

144424443

=I1

=I2

1 2

Рассмотрим

интеграл

I1 = ∫xa−1 (1− x)b−1dx . Он –

несобственный

при

a <1. Особая

0

точка

x = 0 . Запишем подынтегральную функцию

в

виде

f (x) = x

a−1

(1− x)

b−1

=

(1− x)b−1

и введем

функцию g( x) =

1

.

Так

как

1−α

x

1−α

f (x)

x

lim

= lim (1− x)b−1 =1 при

любом b

(конечный,

≠ 0 ),

то интегралы

g(x)

x→0

x→0

1 2

1 2

∫ f ( x) dx

и

∫g(x) dx

сходятся

или

расходятся

одновременно.

Но

0

0

1 2

1 2

dx

∫g( x) dx = ∫

сходится лишь тогда, когда 1−a <1,

то есть когда a > 0 .

1−α

0

0 x

Следовательно,

I1 сходится при любом b и лишь при a > 0 .

129

xa−1

	1
b	Рассмотрим I2 = ∫xa−1 (1− x)b−1 dx . Он – не-

a

Рис. 6.1. К определению Бета-функции

12

собственный при b <1. Особая точка x =1. Подынтегральная функция

f (x) = xa−1 (1− x)b−1 = (1−

				~				1
Положим				g(x)		=				.
									1−b
	f	( x)				(1		− x)
lim			= lim x	a−1	=1 при любом
	~	(x)
x→1 g			x→1
			1					1 ~	(x) dx
≠ 0 ). Значит, ∫ f ( x) dx и								∫g

x)1−b .

Имеем

a (конечный,

сходятся или

		1 2		1 2
1	~	1	dx
расходятся одновременно. Но ∫g		(x) dx = ∫		сходится лишь тогда,
			1−b
1 2		1 2	(1− x)

когда 1 −b <1, то есть когда b > 0 . Следовательно, I2 сходится при любом a и лишь при b > 0 .

	Вывод: Β(a,b)		сходится, если одновременно a > 0 и b > 0 .	Значит,
0	< a < +∞,	– область определения функции Β(a,b) (рис. 6.1).
	< b < +∞
0
	Установим некоторые свойства Бета-функции Β(a,b) .
	1. Положим в (1)		x =1−t . Тогда
			1
			Β(a,b) = ∫tb−1(1−t )a−1dt = Β(b,a) .	(2)

0

Видим, что Бета-функция – симметричная функция.

2. Пусть b >1. Применяя формулу интегрирования по частям, находим

1

a −1

b−1

1

b−1 xa

∫

∫

Β(a,b) =

x (1

− x)

dx =

(1 − x)

=

a

d

0

1

1

0

xa

b−1

b

−1

α

b−2

=

(1 − x)

+

a

∫x

(1

− x)

dx .

a

0

0

1442443

=0

Так как xa = xa−1 − xa−1(1− x) , то будем иметь

130