Госы 5к Надя / лекции_3 / int_ zaw_ot_ par / Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145

промежутке [c, d]. Следовательно, по теореме о стабильности знака существует

δ1 > 0 такое, что

как только

y − y0

< δ1 и

y [c, d], так

сейчас

же:

α( y) − γ < 0 , β( y) − γ > 0 , т. е. α( y) < γ <β( y) .

Возьмем y из промежутка [c, d] любое, но такое, чтобы было

y − y0

< δ1 ,

и положим p = max{α( y),α( y0 )}; q = min{β( y0 ),β( y)}. Ясно,

что p < q.

Имеем:

β( y0 )

p

q

β( y0 )

I( y0 ) = ∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ,

α( y0 )

α( y0 )

p

q

β( y )

p

q

β( y )

I( y) = ∫ f ( x, y) dx = ∫ f ( x, y) dx + ∫ f ( x, y) dx + ∫ f ( x, y) dx .

α( y )

α( y )

p

q

В этих соотношениях из четырех подчеркнутых интегралов два обязательно

равны нулю (так как обязательно: либо

p =α( y0 ) , либо

p = α( y) , и либо

q =β( y0 ) , либо q = β( y)).

Возьмем ε > 0 – любое, сколь угодно малое. Так как α( y)

и β( y) непре-

рывны в точке

y0 , то взятому ε > 0 отвечает δ2 > 0 такое,

что как только

y − y0

< δ2 и

y [c, d], так сейчас же

α( y) −α( y0 )

< ε,

β( y) −β( y0 )

< ε.

Отметим, что если брать на промежутке [c, d] значения y , удовлетворяющие условию: y − y0 < min{δ1,δ2}, то справедливы приведенные выше выражения для I( y0 ) и I( y) . Для таких y будем иметь:

q

I( y) − I( y0 ) = ∫[f ( x, y) − f ( x, y0 )]dx +

p

p

β( y )

p

β( y0 )

+ ∫ f ( x, y) dx + ∫ f ( x, y) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx .

α( y )

q

α( y0 )

q

p

Рассмотрим, например,

∫ f ( x, y0 ) dx . По условию

f ( x, y) C(

)

D

f ( x, y) ограниченная

α( y0 )

M > 0 такое,

в (

),

т. е. существует

число

что

D

f ( x, y)

≤ M всюду в

(

).

Так как y [c, d] и

y − y0

< min{δ1,δ2},

то

D

p

p −α( y0 )

< ε. Следовательно,

∫ f ( x, y0 ) dx ≤ M

p −α( y0 )

< M ε.

α( y0 )

Такая же оценка верна и для каждого из трех оставшихся подчеркнутых ин-

11

тегралов. Поэтому

q

I( y) − I( y0 ) < ∫ f ( x, y) − f ( x, y0 ) dx +2 M ε.

p

Так как (

) – ограниченное замкнутое множество и f ( x, y) C(

) , то

D

D

f ( x, y) равномерно

непрерывная

в (

). А

тогда взятому ε > 0 отвечает

D

δ3 > 0,

зависящее только от

ε, такое,

что для любых

двух точек ( x′, y′) ,

( x′′, y′′)

из

(

),

для

которых

x′′ − x′

< δ3 ,

y′′ − y′

< δ3 ,

будет

D

f ( x′′, y′′) − f ( x′, y′)

< ε. Положим δ =

min{δ1,

δ2 ,δ3},

y′ = y0 ,

y′′ = y , где

y [c, d] и удовлетворяет условию

y − y0

< δ;

x′ = x′′ = x , где x

– любое из

[ p, q]. Тогда

f ( x, y) − f ( x, y0 )

< ε для всех x [ p, q]. Следовательно, для y ,

удовлетворяющих

условиям

y − y0

< δ

и

y [c, d],

будет:

q

∫ f ( x, y) − f ( x, y0 ) dx < ε (q − p) , и потому I( y) − I( y0 ) < ε(q − p +2 M ).

p

У нас функции α( y), β( y) C([c, d]) α( y) и β( y) – ограниченные в

[c, d] существует число K > 0 такое, что

α( y)

≤ K ,

β( y)

≤ K для всех

y [c, d]. А тогда

q − p

≤

q

+

p

≤ 2K . Значит,

I( y) − I( y0 )

< 2ε ( K + M ).

(2)

Отметим, что число 2ε ( K + M ) сколь угодно мало вместе с ε.

Так как для достижения неравенства (2) понадобилось лишь, чтобы было

y − y0

< δ, y [c, d], то заключаем, что функция I( y) непрерывна в точке y0 .

2. Пусть α( y0 ) =β( y0 ) .

β( y0 )

β( y )

В этом случае I( y0 ) =

∫ f ( x, y0 ) dx = 0 ;

I( y) =

∫ f ( x, y) dx

α( y0 )

]

α( y )

[

I( y)

≤ M β( y) −α( y) .

(3)

Имеем

lim [β( y) −α( y)]=β( y0 ) −α( y0 ) = 0.

А

тогда

из

(3)

y→y0

lim I( y) = 0 [= I( y0 )].

Видим, что и в этом случае установлена непрерыв-

y→y0

ность I( y) в точке y0 .

I( y) C([c, d]).

У нас y0 – любое из [c, d]. Следовательно,

f ( x, y)

Теорема (о дифференцировании по параметру). Пусть функция

непрерывна в (

) и имеет там непрерывную частную производную

f y′( x, y) .

D

12

Пусть функции α( y), β( y) определены в промежутке [c, d] и имеют там про-

	β( y )
изводные α′( y),	β′( y) . Пусть I( y) = ∫ f ( x, y) dx , y [c, d]. Тогда для любо-
	α( y )
го y [c, d] существует I′( y) , причем
	β( y )
I′( y) =	∫ f y′( x, y) dx + f (β( y), y) β′( y) − f (α( y), y) α′( y) .	(4)

α( y )

Выберем и закрепим любое y0 [c, d].

I. Пусть α( y0 ) <β( y0 ) . При доказательстве предыдущей теоремы было отмечено, что в этом случае существует окрестность: uδ1 ( y0 ) такая, что для лю-

бого

y uδ ( y0 )

будет: α( y) < γ <β( y) . Дадим y0 приращение ∆y

– любое,

1

∆y ≠ 0 и y0

+ ∆y uδ ( y0 ) .

но такое, что

Будем иметь,

следовательно,

α( y

0

+ ∆y) < γ <β( y

0

+ ∆y) .

1

{

0

),α( y

0

}

Положим

p = max α( y

+ ∆y) ;

q= min{β( y0 ),β( y0 + ∆y)}. Могут реализоваться следующие случаи:

1)p = α( y0 ) , q =β( y0 ) ;

2)p = α( y0 ) , q = β( y0 + ∆y) ;

3)p = α( y0 + ∆y), q =β( y0 ) ;

4)p = α( y0 + ∆y), q = β( y0 + ∆y) .

1. Рассмотрим случай, когда p =α( y0 ) , q =β( y0 ) . Имеем в этом случае

β( y0 )		β( y0	+∆y )
I( y0 ) = ∫ f ( x, y0 ) dx,		I( y0 + ∆y) = ∫ f ( x, y0 + ∆y) dx =
α( y0 )		α( y0 +∆y )
α( y0 )	β( y0 )		β( y0 +∆y )
= ∫ f ( x, y0 + ∆y) dx + ∫		f ( x, y0 + ∆y) dx + ∫ f ( x, y0 + ∆y) dx .
α( y0 +∆y )	α( y0 )		β( y0 )
А тогда	I( y0 + ∆y) − I( y0 ) =
β( y0 )		β( y0 +∆y )	α( y0 +∆y )
= ∫[f ( x, y0 +∆y) − f ( x, y0 )]dx + ∫ f ( x, y0 +∆y) dx − ∫ f ( x, y0 +∆y) dx .
α( y0 )		β( y0 )	α( y0 )
По теореме Лагранжа	f ( x, y0 + ∆y) − f ( x, y0 ) = f y′( x, y0 +θ∆y) ∆y . По част-

ному случаю теоремы о среднем для определенного интеграла

β( y0 +∆y )

∫ f ( x, y0 + ∆y) dx = f (c1, y0 + ∆y) [β( y0 + ∆y) −β( y0 )],

β( y0 )

13

где c1 [β( y0 ),β( y0 + ∆y)]

c1 →β( y0 ) , если ∆y → 0 ;

α( y0

+∆y )

∫ f ( x, y0 + ∆y) dx = f (c2 , y0 + ∆y) [α( y0 + ∆y) −α( y0 )],

α( y0 )

где c2 [α( y0 ),α( y0 + ∆y)]

c2 → α( y0 ) , если ∆y → 0 . Следовательно,

J ( y

+ ∆y) − J ( y

)

β( y0 )

0

0

=

∫ f y′( x, y0 +θ∆y) dx +

∆y

β( y0

+ ∆y) −β( y0 )

α( y0 )

α( y0

+ ∆y) −α( y0 )

+ f (c , y

0

+ ∆y)

− f (c , y

0

+ ∆y)

.

1

∆y

2

∆y

Переходя к пределу при ∆y → 0 , получаем:

β( y0 )

I′( y0 ) =

∫ f y′( x, y0 ) dx + f (β( y0 ), y0 ) β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) α′( y0 ) . (5)

α( y0 )

2.Рассмотрим случай, когда p =α( y0 ) , q = β( y0 + ∆y) .

В этом случае

β( y0 )

β( y0 +∆y )

β( y0 )

I( y0 ) = ∫

f ( x, y0 ) dx =

∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ;

α( y0 )

α( y0 )

β( y0 +∆y )

β( y0 +∆y )

α( y0 )

β( y0 +∆y )

I( y0 +∆y) = ∫ f ( x, y0 +∆y) dx = ∫

f ( x, y0 +∆y) dx + ∫ f ( x, y0 +∆y) dx ;

α( y0 +∆y )

α( y0 +∆y )

α( y0 )

β( y0

+∆y )

I( y0 + ∆y) − I( y0 ) = ∫[f ( x, y0 + ∆y) − f ( x, y0 )]dx +

β( y0 +∆y )

α( y0

+∆y )

α( y0 )

β( y0 +∆y )

+ ∫ f ( x, y0 ) dx − ∫ f ( x, y0 + ∆y) dx = ∫ f y′( x, y0 +θ∆y) ∆y dx +

β( y0 )

α( y0 )

α( y0 )

+ f (c1, y0 ) [β( y0 + ∆y) −β( y0 )]− f (c2 , y0 + ∆y) [α( y0 + ∆y) −α( y0 )]

I( y

+ ∆y) − I( y

)

β( y0 +∆y )

0

0

=

∫ f y′( x, y0 +θ∆y) dx +

∆y

β( y0

+ ∆y) −β( y0 )

α( y0 )

α( y0 + ∆y) −α( y0 )

+ f (c , y

0

)

− f (c , y

0

+ ∆y)

∆y

1

∆y

2

Переходя в этом соотношении к пределу при ∆y → 0 , находим

14

β( y0 )

I′( y0 ) = ∫ f y′( x, y0 ) dx + f (β( y0 ), y0 ) β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) α′( y0 ) . (5)

α( y0 )

3.Рассмотрим случай, когда p = α( y0 + ∆y), q =β( y0 ) .

В этом случае

	β( y0 )	α( y0 +∆y )		β( y0 )
	I( y0 ) = ∫ f ( x, y0 ) dx =		∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ;
	α( y0 )	α( y0 )		α( y0 +∆y )
	β( y0 +∆y )	β( y0 )		β( y0 +∆y )
I( y0 +∆y) = ∫ f ( x, y0 +∆y) dx = ∫ f ( x, y0 +∆y) dx + ∫ f ( x, y0 +∆y) dx ;
	α( y0 +∆y )	α( y0 +∆y )		β( y0 )
		β( y0 )
	I( y0 + ∆y) − I( y0 ) = ∫[f ( x, y0 + ∆y) − f ( x, y0 )]dx +
		α( y0 +∆y )
β( y0	+∆y )	α( y0 +∆y )		β( y0 )
+ ∫ f ( x, y0 + ∆y) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx =				∫ f y′( x, y0 +θ∆y) ∆y dx +
β( y0 )		α( y0 )		α( y0 +∆y )

+ f (c1, y0 + ∆y) [β( y0 + ∆y) −β( y0 )]− f (c2 , y0 ) [α( y0 + ∆y) −α( y0 )]

			I( y			+ ∆y) − I( y		)		β( y0 )
				0			0		=		∫ f y′( x,
						∆y
										α( y0 +∆y )
+ f (c , y	0	+ ∆y)			β( y0 + ∆y) −β( y0 )						− f (c ,
1						∆y				2

Переходя здесь к пределу при ∆y → 0 , получим

y0 +θ∆y) dx +

y0 ) α( y0 + ∆∆y) −α( y0 ) y

β( y0 )

I′( y0 ) = ∫ f y′( x, y0 ) dx + f (β( y0 ), y0 ) β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) α′( y0 ) . (5)

α( y0 )

4.Рассмотрим случай, когда p = α( y0 + ∆y), q = β( y0 + ∆y) .

В этом случае

β( y0 )	α( y0 +∆y )	β( y0 +∆y )	β( y0 )
I( y0 ) = ∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ;
α( y0 )	α( y0 )	α( y0 +∆y )	β( y0 +∆y )
	β( y0	+∆y )
	I( y0 + ∆y) = ∫ f ( x, y0 + ∆y) dx ;

α( y0 +∆y ) β( y0 +∆y )

I( y0 + ∆y) − I( y0 ) = ∫[f ( x, y0 + ∆y) − f ( x, y0 )]dx +

α( y0 +∆y )

15

β( y0 +∆y )

α( y0 +∆y )

β( y0 +∆y )

+

∫ f ( x, y0 ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx =

∫ f y′( x, y0 + θ∆y) ∆y dx +

β( y0 )

α( y0 )

α( y0 +∆y )

+ f (c1, y0 ) [β( y0 + ∆y) −β( y0 )]− f (c2 , y0 ) [α( y0 + ∆y) −α( y0 )]

I( y

+ ∆y) − I( y

)

β( y0 +∆y )

0

0

=

∫ f y′( x, y0 +θ∆y) dx +

∆y

β( y0 + ∆y) −β( y0 )

α( y0 +∆y )

α( y0

+ ∆y) −α( y0 )

+ f (c , y

0

)

− f (c , y

0

)

∆y

1

∆y

2

Переходя в этом соотношении к пределу при ∆y → 0 , находим

β( y0 )

I′( y0 ) = ∫

f y′( x, y0 ) dx + f (β( y0 ), y0 ) β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) α′( y0 ) . (5)

α( y0 )

II.Пусть α( y0 ) = β( y0 ) .

				β( y0 )
В этом случае			I( y0 ) =	∫ f ( x, y0 ) dx = 0	(как интеграл, у которого совпа-
				α( y0 )
дают	нижний		и	верхний	пределы	интегрирования);
		β( y0 +∆y )
I( y0 + ∆y) =		∫ f ( x, y0 + ∆y) dx . А тогда

α( y0 +∆y )

β( y0 +∆y )

I( y0 + ∆y) − I( y0 ) = ∫ f ( x, y0 + ∆y) dx =

α( y0 +∆y )

=f (c, y0 + ∆y) [β( y0 + ∆y) −α( y0 + ∆y)].

Здесь α( y0 + ∆y) ≤ c ≤β( y0	+ ∆y) c→α( y0 ) [=β( y0 )]. Имеем
	∆y→0

0+ ∆y) − I( y0 ) =

∆y

=f (c, y0 + ∆y) (β( y0 + ∆y) −β( y0 ))∆−y(α( y0 + ∆y) −α( y0 )).

Переходя здесь к пределу при ∆y → 0 , находим:

I′( y0 ) = f (β( y0 ), y0 ) [β′( y0 ) −α′( y0 )]= f (α( y0 ), y0 ) [β′( y0 ) −α′( y0 )],

ибо α( y0 ) =β( y0 ) . Последняя формула может быть записана также в виде
I′( y0 ) = f (β( y0 ), y0 ) β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) α′( y0 ).	(6)

Легко видеть, что формула (6) является частным случаем формулы (5) (она получается из (5), если положить в (5) β( y0 ) = α( y0 ) ).

16

Так как у нас y0 – любое, принадлежащее [c, d], то приходим к выводу, что I′( y) существует для любого y [c, d] и что

			β( y )
		I′( y) = ∫ f y′( x, y) dx + f (β( y), y) β′( y) − f (α( y), y) α′( y) .
			α( y )
					§7. Примеры к главе 1
				1
		1. Дано: I( y) = ∫ x2 + y2 dx . Найти lim I( y) .
			−1			y→0
		Так	как подынтегральная			функция f ( x, y) =	x2 + y2	непрерывна на
всей плоскости Oxy ,					то она	непрерывна, в частности, в		прямоугольнике
		−1 ≤ x ≤1,		где	d > 0 – любое конечное число. По теореме §2 заключа-
( P ) =
		−d ≤ y ≤ d,

ем, что допустим предельный переход по параметру под знаком интеграла, когда y → 0 . Имеем

1

1

1

lim

∫

x2 + y2 dx = ∫lim

x2 + y2 dx = ∫ x dx =

y→0

−1

−1

y→0

−1

0

1

0

1

x2

x2

= 1

1

= ∫−x dx + ∫x dx = −

+

+

=1.

−1

0

2

−1

2

0

2

2

1+y

dx

2. Дано: I( y) = ∫

. Найти

lim I( y) .

1 + x

2

+ y

2

y

y→0

Здесь подынтегральная функция f ( x, y) =

1

. Она непрерывна

1 + x2 + y2

на всей плоскости Oxy . Функции α( y) = y , β( y) =1 + y непрерывны для всех

y (−∞,+∞) .			Следовательно, в			частности,	f ( x, y) непрерывна	в области
		y ≤ x ≤1 + y,		где	d > 0	– любое	конечное число, а	функции
( D ) =
		−d ≤ y ≤ d,

α( y), β( y) непрерывны на промежутке [−d, d]. Видим, что выполнены условия теоремы о непрерывности интеграла как функции параметра (см. §6). По этой теореме I( y) C([−d, d]), а значит, I( y) непрерывна в точке y = 0 . Сле-

довательно, lim I( y) = I(0) , т. е.

y→0

17

[0, 1]. Здесь

f ( x, y) = x y

1+y

dx

1

dx

1

π

lim

∫

= ∫

= arctg x

=

.

0

4

1 + x

2

+ y

2

1 + x

2

y→0

y

0

1

xb − xa

3. Вычислить ∫

dx ( a > 0 ,

b > 0 ), применяя интегрирование по па-

ln x

0

раметру под знаком интеграла.

Отметим прежде всего, что данный интеграл – несобственный, Подынтегральная функция имеет две особые точки. Это – точки x = 0 и x =1. Имеем:

1)	lim	xb − xa			= 0 подынтегральная функция в правой полуокрестно-
			ln x
	x→+0
сти точки x = 0 – ограниченная.
2)	lim		xb − xa		= lim	bxb−1 −axa−1	=	lim (bxb −axa ) = b −a – опреде-
			ln x
	x→1−0				x→1−0	1 x		x→1−0

ленное число. подынтегральная функция в левой полуокрестности точки x =1 – ограниченная.

Положим	xb − xa
			, x (0, 1);
~		ln x
f	(x) =	0, x = 0;
		b −a,	x =1.

~			~	данный интеграл
Ясно, что f ( x) C([0, 1])			f ( x) R([0, 1]), а значит,
1	xb − xa
∫		dx сходится.
	ln x
0			b
	Введем в рассмотрение интеграл I( x) = ∫x y dy ( a > 0 ,			b > 0 ), x [0, 1].

a

Этот интеграл представляет собой функцию параметра x , определенную в промежутке определена и непрерывна в прямоугольнике

( P ) = a ≤ y ≤ b,

А тогда по теореме об интегрировании по параметру под зна-

0 ≤ x ≤1.

ком интеграла (см. §5) имеем:

1	1	b	y		b 1		y
∫	I( x) dx = ∫					∫x
		∫x		dy dx = ∫				dx dy .
0	0	a			a	0

18

b

x y

y=b

xb − xa

Так как

I( x) = ∫x y dy =

=

,

то предыдущее равенство примет

a

ln x

y=a

ln x

вид:

1

b 1

x

b

− x

a

y

∫

dx = ∫

∫x

ln x

dx dy

0

x=1

a

0

1

xb − xa

b x y+1

b

dy

y=b

b +1

∫

dx = ∫

dy = ∫

= ln ( y +1)

y=a

= ln

.

ln x

y +1

y +

1

a +1

0

a

x=0

a

y2

4. Вычислить I′( y) , если I( y) = ∫e−yx2 dx .

y

Здесь

f ( x, y) = e−yx2 ,

α( y) = y ,

β( y) = y2 ; α( y) ≤β( y) ,

если

y (−∞, 0] U[1, +∞) ;

α( y) ≥β( y) , если y [0, 1]. Пусть d1 > 0 – любое ко-

нечное число;

d2 >1 – любое конечное число. Введем в рассмотрение области

−d ≤ y ≤ 0,

0 ≤ y ≤1,

1

≤ y ≤ d

,

(

1

(

(

2

D1 ) =

D2 ) =

D3 ) =

y

≤ x ≤ y2;

y2 ≤ x ≤ y;

y ≤ x ≤ y2.

В каждой из этих трех областей

f ( x, y) непрерывна и имеет непрерывную

f ′( x, y) = −x2e−yx2 .

y

В каждом из промежутков: [−d1, 0];

[0, 1]; [1, d2 ] существуют α′( y),

β′( y) ,

причем α′( y) =1, β′( y) = 2 y . По теореме о дифференцировании по параметру (см. §6) заключаем, что для любого y ([−d1, 0] U[1, d2 ]) I′( y) существует и

y2

I′( y) = − ∫x2e−yx2 dx +e−y5 2 y −e−y3 .

y

Пусть теперь

y

–

любое из промежутка [0, 1]. Имеем

~

I( y) = −I ( y) , где

~

y

−yx2

∫e

dx . По теореме о дифференцировании по параметру (см. §6) для

I ( y) =

y2

~

~

y

2

−yx2

−y3

−y5

любого

y [0, 1]

= − ∫x

e

dx +e

−e

2 y .

I

′( y) существует и I ′( y)

y [0, 1]

y2

I′( y) ,

Следовательно,

для

любого

существует

причем

19

	~		y	2		−yx2		−y5		−y3
		′( y) , т. е.	I′( y) = ∫x		e		dx +e		2 y −e
	I′( y) = −I
			y2

y2

I′( y) = − ∫x2e−yx2 dx +e−y5 2 y −e−y3 , y [0, 1].

y

Глава 2. Двойные интегралы

§1. Область и ее диаметр

Предварительно напомним некоторые сведения, относящиеся к понятию кривой на плоскости.

1. Если ϕ(t) и ψ(t) – две функции, определенные и непрерывные на промежутке [a,b], то множество точек плоскости {(ϕ(t), ψ(t))}, t [a, b], называ-

ется непрерывной кривой.

2. Если ϕ(a) = ϕ(b) и ψ(a) = ψ(b), то непрерывная кривая называется

замкнутой.

3. Замкнутая кривая называется самонепересекающейся, если две точки кривой (ϕ(u), ψ(u)) и (ϕ(v), ψ(v)) при u < v могут совпасть лишь тогда, когда

u = a , v = b .

4. Замкнутая самонепересекающаяся кривая ( K ) делит плоскость на два связных множества ( D) и (G) . (Любые две точки каждого их этих множеств можно соединить непрерывной кривой, не пересекающей ( K ). Если же одна из этих точек принадлежит ( D) , а другая – принадлежит (G) , то всякая соединяющая их непрерывная кривая пересекает ( K ).) Точки, лежащие на ( K ), не входят ни в ( D) , ни в (G) . Одно из множеств ( D) , (G) является ограниченным, а другое – нет. То из этих двух множеств, которое является ограниченным, будем называть областью, ограниченной контуром ( K ). (У нас на рис. 2.1 ( D)

– область, ограниченная контуром ( K ).) Если к точками области ( D) присоединить точки контура ( K ), то полученное множество будем называть замкну-

20