Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Госы 5к Надя / лекции_3 / int_ zaw_ot_ par / Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145

.pdf
Скачиваний:
37
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
2.55 Mб
Скачать

Возьмем произвольное разбиение сетью простых кривых области ( D ) на части ( Dk ) и составим интегральную сумму Римана для функции αf ( x, y) . Будем иметь

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ(αf ) = αf ( xk , yk )Fk = αf ( xk , yk )Fk = α σ( F).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По условию,

f ( x, y) R(

 

 

 

 

)

lim σ( f )

 

 

существует, конечный и равный

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫ f ( x, y) dF .

Но

тогда

lim σ(αf ) = α lim σ( f ) = α ∫∫ f ( x, y) dF ,

 

т. е.

( D )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ→0

 

 

λ→0

( D )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim σ(αf ) существует, конечный ∫∫αf ( x, y) dF существует, причем

λ→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( D )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫αf ( x, y) dF = α ∫∫ f ( x, y) dF .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( D )

 

( D )

 

 

 

 

то (f ( x, y) ± g( x, y)) R(

 

 

3°. Если

f ( x, y) R(

 

 

 

) и

g( x, y) R(

 

),

 

 

) ,

D

D

D

причем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫(f ( x, y) ± g( x, y))dF = ∫∫ f ( x, y) dF ± ∫∫g( x, y) dF .

 

 

 

 

 

 

( D )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( D )

 

 

 

 

( D )

 

 

 

 

 

 

Берем произвольное разбиение сетью простых кривых области (

 

) на

D

части (

 

 

и

составляем

интегральную

 

 

сумму

Римана

для функции

Dk )

 

f ( x, y) ± g( x, y) . Будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

σ( f ± g) = (f ( xk , yk ) ± g( xk , yk ))Fk = f ( xk , yk )Fk ±g( xk , yk )Fk =

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= σ( f ) ±σ( g) .

 

 

 

 

 

 

 

 

По условию

f ( x, y) R(

 

 

)

и g( x, y) R(

 

)

 

существуют конечные

D

D

lim σ( f ) и

lim σ( g) . Но тогда существует конечный lim σ( f ± g), причем

λ→0

λ→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ→0

 

 

 

 

 

 

lim σ( f ± g) = lim σ( f ) ± lim σ( g)

∫∫(f ( x, y) ± g( x, y))dF существует,

λ→0

λ→0

 

 

 

 

 

λ→0

( D )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

причем ∫∫(f ( x, y) ± g( x, y))dF = ∫∫ f ( x, y) dF ± ∫∫g( x, y) dF .

 

 

 

 

 

 

( D )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( D )

 

 

 

 

 

 

( D )

 

 

 

 

 

 

 

4°. Пусть

f ( x, y) R(

 

) . Если изменить значения функции

f ( x, y)

вдоль

D

какой-нибудь простой кривой ( L) (с тем лишь условием, чтобы и измененная

31

функция оставалась ограниченной), то вновь полученная функция также интегрируема в ( D ) и ее двойной интеграл по области ( D ) равен ∫∫ f ( x, y) dF .

( D )

Если составить интегральные суммы Римана для измененной и исходной функций, то они могут разниться лишь теми слагаемыми, которые относятся к областям ( Dk ), задевающим кривую ( L). Но, по обобщенной теореме о про-

стой кривой, общая площадь этих областей стремится к нулю при λ → 0 , откуда уже легко заключить, что обе интегральные суммы стремятся к общему пределу, т. е. к I = ∫∫ f ( x, y) dF .

( D )

Таким образом, существование и величина двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функцией вдоль конечного числа простых кривых.

5°. Если область ( D ), в которой задана функция f ( x, y), разложена простой кривой ( L) на две области ( D1 ) и ( D2 ) , то из интегрируемости функции

f ( x, y) во всей области (

 

)

следует ее интегрируемость в областях (

 

 

 

D

D1 ) и

(

 

 

 

f ( x, y) в обеих областях (

 

 

D2 ) , и обратно – из интегрируемости функции

D1 )

и (

 

 

 

 

 

 

 

D2 ) вытекает ее интегрируемость в области ( D ). При этом

 

 

 

 

 

 

∫∫ f ( x, y) dF = ∫∫ f ( x, y) dF + ∫∫ f ( x, y) dF .

(1)

 

 

 

( D )

( D1 )

( D2 )

 

 

 

Разложим области ( D1 ) и ( D2 ) произвольными сетями простых кривых на части; тем самым и ( D ) разложится на части ( D1 ), ( D2 ), K, ( Dn ). Если значком kотметить частичные области, содержащиеся в ( D1 ) , а значком k′′ – частичные области, содержащиеся в ( D2 ) , то

n

ωk Fk = ωkFk+ ωk′′Fk′′ . k=1

n

1) Пусть функция f ( x, y) R( D ) . Но тогда lim ωk Fk = 0 , а, следова-

λ→0 k=1

тельно, и подавно λ→lim0 ωkFk= 0 и λ→lim0 ωk′′Fk′′ = 0 . Последнее означает,

что

f ( x, y) R(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D1 ) и f ( x, y) R( D2 ).

 

 

 

2) Пусть теперь дано,

что функция f ( x, y) R(

 

 

f ( x, y) R(

 

 

D1 ) и

D2 ). Но

тогда lim

ωkFk= 0

и lim ωk′′Fk′′ = 0 , а,

следовательно, и

 

λ→0

 

 

 

λ→0

 

 

 

lim

ωk Fk

= 0 f ( x, y) R(

 

) .

 

 

 

D

 

 

 

λ→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

n

Однако нужно помнить, что ωk Fk построена не для произвольного раз-

k=1

биения области ( D ) на части: ведь мы исходим из разложения порознь областей ( D1 ) и ( D2 ) . Чтобы от произвольного разложения области ( D ) перейти к

разложению рассмотренного частного вида, нужно присоединить к линиям деления кривую ( L). Тогда соответствующие суммы будут разниться лишь слагаемыми, отвечающими тем частичным областям, которые задевают кривую ( L). Но по обобщенной теореме о простой кривой общая площадь этих облас-

тей стремится к нулю при λ → 0 и, следовательно, соответствующие суммы будут разниться на бесконечно малую величину. Значит, условие интегрируемости функции f ( x, y) в ( D ) будет выполнено.

Доказываемая формула (1) получается из равенства:

n

 

f ( xk , yk )Fk = f ( xk, yk)Fk+f ( xk′′, yk′′ )Fk′′

k=1

 

переходом в нем к пределу при λ → 0 .

 

6°. Пусть f ( x, y) R( D ) и g( x, y) R( D ), и пусть всюду в ( D ) выполня-

ется неравенство f ( x, y) g( x, y). Тогда

∫∫ f ( x, y) dF ∫∫g( x, y) dF .

( D )

( D )

Произвольной сетью простых кривых разобьем ( D ) на части ( Dk ). В каждой частичной области ( Dk ) берем произвольную точку ( xk , yk ) . Ясно, что f ( xk , yk ) g( xk , yk ) , k =1, n . Умножим обе части этого неравенства на Fk

( Fk > 0 ). Получим

f ( xk , yk )Fk g( xk , yk )Fk . Просуммируем полученные не-

равенства

по

значку

k

от

1

до

n .

Будем

иметь

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( xk , yk )Fk g( xk , yk )Fk . Переходя здесь к пределу при λ → 0 , полу-

k=1

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чим

 

∫∫ f ( x, y) dF ∫∫g( x, y) dF .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( D )

 

( D )

 

 

 

 

 

 

 

7°. Пусть

f ( x, y) R(

 

)

и пусть всюду в

(

 

):

m f ( x, y) M .

Тогда

D

D

m F ∫∫ f ( x, y) dF M F .

( D )

Это следует из свойств 6°, 2°, 1°.

33

8°. Теорема о среднем значении. Пусть f ( x, y) R( D ) и пусть всюду в

( D ): m f ( x, y) M . Тогда: существует число µ, удовлетворяющее условию

m ≤ µ ≤ M , такое, что будет ∫∫ f ( x, y) dF = µ F .

( D )

Выше (см. 7°) установлено, что в этом случае выполняется неравенство

mF ∫∫ f ( x, y) dF MF . Разделим все части

этого неравенства на

F

( D )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( F > 0 ): m

1

∫∫ f ( x, y) dF M . Обозначим

1

∫∫ f ( x, y) dF = µ (ясно,

что

F

F

 

 

 

 

 

 

( D )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( D )

 

 

m ≤ µ ≤ M ). Тогда

∫∫ f ( x, y) dF = µ F , а это и требовалось установить.

 

 

 

 

 

 

 

( D )

 

 

 

 

 

 

9°. Частный случай теоремы о среднем

значении. Если

функция

f ( x, y) C(

 

) , то в (

 

) обязательно найдется хотя бы одна точка (ξ, η)

та-

D

D

кая, что будет:

 

 

∫∫ f ( x, y) dF = f (ξ, η) F .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( D )

 

 

 

 

 

 

По условию f ( x, y) C(

 

)

 

по теореме Вейерштрасса f ( x, y) дости-

D

гает в (

 

) своего

наименьшего

 

m и наибольшего M значений.

Так

как

D

f ( x, y) C(

 

) , то

f ( x, y) R(

 

) . Тогда по теореме о среднем

значении

D

D

∫∫ f ( x, y) dF = µ F , где m ≤ µ ≤ M . Значения m и M функция f ( x, y) при-

( D )

нимает в ( D ). Если же m < µ < M , то по теореме о промежуточном значении для функции f ( x, y) C( D ) заключаем: в области ( D ) обязательно найдется хотя бы одна точка (ξ, η) такая, что будет f (ξ, η) = µ, а значит, и в этом слу-

чае

∫∫ f ( x, y) dF = f (ξ, η) F .

 

 

 

 

 

 

 

( D )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10°. Если функция

f ( x, y) R(

 

) , то и функция

 

f ( x, y)

 

R(

 

 

), причем

D

 

 

D

 

∫∫ f ( x, y) dF

 

∫∫

 

f ( x, y)

 

dF .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( D )

 

 

( D )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По условию f ( x, y) R(

 

)

 

 

f ( x, y) – ограниченная в (

 

), т. е. су-

 

D

 

 

D

ществует число

L > 0

такое, что

 

f ( x, y)

 

L в (

 

). Последнее означает, что

 

 

D

34

функция

 

 

 

 

 

f ( x, y)

 

 

– ограниченная

 

 

в (

 

 

).

 

 

Следовательно,

существуют

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x, y)

 

 

 

,

 

~

 

 

f ( x, y)

 

 

, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m = inf{f ( x, y)}, M =sup{f ( x, y)}, m = inf

 

 

 

 

 

M =sup

 

 

 

 

 

( D )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( D )

 

 

 

~

 

 

 

( D ){

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

}

 

 

 

( D )

{

 

 

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значит,

существуют

Ω = M m и

 

 

~

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

колебание функции

 

 

Ω=

 

 

M m (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

f ( x, y) в ( D ), а – колебание

 

в ( D )). Легко понять, что Ω≤Ω.

 

 

 

 

 

Возьмем произвольное разбиение области (

 

 

 

 

) сетью простых кривых на

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

части ( Dk ), k =1, n . Пусть ωk

– колебание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– колебание

 

f ( x, y) в ( Dk ), а ωk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

≤ωk

,

k =1, n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в ( Dk ). Имеем 0 ≤ωk

0 ≤ωk Fk ≤ωk Fk , k =1, n .

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

n ~

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 ωk Fk ωk Fk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

n

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как f ( x, y) R(

 

) , то

 

lim

ωk Fk = 0 . Тогда из (2) заключаем,

 

что

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ→0

k

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x, y)

R( D ). Имеем, далее,

 

 

 

 

 

ωk Fk = 0 . Последнее означает, что

 

 

 

 

 

 

 

λ→0

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( xk , yk )Fk

 

 

f ( xk , yk )

 

Fk ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ( f )

 

≤ σ(| f |).

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т. е.

 

 

 

Переходя в последнем неравенстве к пределу при λ → 0 ,

 

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫ f ( x, y) dF

∫∫

 

f ( x, y)

 

dF .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( D )

 

 

 

 

 

( D )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35

§5. Вычисление двойного интеграла в случае прямоугольной области

Пусть ограниченная функция f (x, y) задана в прямоугольнике

= a x b, (P )

c y d.

1) Пусть при каждом закрепленном y

из [c, d]

функция

f (x, y) интегри-

руема

на [a,b], т. е.

при

каждом закрепленном

y

из

[c, d]

существует

b

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

f (x, y) dx . Следовательно,

f (x, y) dx

представляет собой функцию аргу-

a

y , заданную

 

a

 

[c, d].

 

 

 

мента

на

промежутке

Станем

обозначать

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x, y) dx = ϕ( y) ,

y [c, d]. Допустим

теперь,

что эта

функция

a

 

d

 

d b

 

 

 

d

b

 

ϕ( y) R([c, d]). Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ( y) dy = ∫ ∫ f ( x, y) dx dy = dyf ( x, y) dx назы-

 

 

c

 

c a

 

 

 

c

a

 

вается повторным интегралом от функции f (x, y) в (P ).

2) Допустим еще, что при каждом закрепленном x из [a,b] существует

d

f (x, y) dy . Ясно, что каждому x из [a,b] будет отвечать свое, вполне опре-

c

d

 

 

d

 

 

 

 

 

деленное значение интеграла

f (x, y) dy . Следовательно,

f (x, y) dy

пред-

 

c

 

 

c

[a,b].

ставляет собой функцию аргумента x ,

определенную на промежутке

d

 

 

 

 

 

 

 

Станем обозначать f (x, y) dy = ψ( x) ,

x [a,b]. Допустим, что эта функция

c

b d

 

 

 

 

 

 

b

b

d

 

ψ(x) R([a,b]). Тогда ψ(x) dx = ∫ ∫

f (x, y) dy dx = dxf ( x, y) dy

назы-

a

a c

 

a

c

 

вается еще одним повторным интегралом от функции

f (x, y) в (

 

).

 

P

 

36

Теорема 1. Если у ограниченной функции f (x, y), заданной в прямоуголь-

нике

(

 

),

существуют

одновременно

 

 

Iдв. = f ( x, y) dxdy

и

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( P )

 

 

 

 

 

 

 

d

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Iповт. = dyf ( x, y) dx , то они равны, т. е. Iдв. = Iповт..

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

a

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( Pik )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yk+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

xi xi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.4. К вычислению двойного интеграла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в случае прямоугольной области

 

 

 

 

 

 

 

Разобьем (

 

) отрезками прямых x = xi

( i = 0,1, 2, K, n ,

x0 = a ,

xn = b ),

P

y = yk

( k = 0, 1, 2, K, m,

y0 = c ,

 

ym = d ),

на

 

частичные

прямоугольники

(

 

),

 

где

 

(

 

) =

xi x xi+1,

 

 

Пусть

m

= inf

{

f ( x, y) ,

P

 

 

P

 

 

 

ik

 

 

 

 

 

ik

 

 

 

yk+1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yk y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( Pik )

 

 

Mik = sup{f ( x, y)}. Значит, если точка (x, y) (

 

 

 

 

 

 

 

Pik ), то

 

 

 

 

 

 

 

 

( Pik )

 

 

 

 

 

mik f (x, y) Mik .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

Возьмем любое

y из [ yk , yk+1]

и закрепим его.

Сделав это,

проинтегрируем

неравенство (1) по x от xi

до xi+1 . Получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mik (xi+1 xi ) f (x, y) dx Mik ( xi+1 xi ).

 

 

 

(2)

 

 

 

 

xi+1

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интеграл

f (x, y) dx существует,

так как существует по условию Iповт., а это

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x, y) R([a,b]); тем более

значит, что при любом закрепленном y из [c, d]

f (x, y) R([xi , xi+1]). Просуммируем неравенства (2) по значку i от 0 до n 1

37

(во всех этих неравенствах считаем

y одним и тем же, взятым из [ yk , yk+1]).

Будем иметь

b

 

 

n1

n1

 

mik (xi+1 xi ) f ( x, y) dx Mik ( xi+1 xi ) .

(3)

i=0

a

i=0

 

Проинтегрируем неравенство (3) по y от yk

до yk+1 . Получим

n1

yk+1

b

n1

mik(xi+1 xi )( yk+1 yk )dyf (x, y)dx Mik (xi+1 xi )( yk+1 yk ). (4)

i=0

yk

a

i=0

Просуммируем неравенства (4) по значку k от 0 до m 1. Будем иметь

 

 

 

m1n1

 

 

d

 

b

 

 

 

 

∑∑mik (xi+1

xi )( yk+1 yk )

dy

f ( x, y) dx

144424443

 

 

 

 

 

k=0 i=0

=Fik

 

c

 

a

 

1444442444443

 

 

 

 

 

 

 

m1n1

=s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑∑Mik ( xi+1 xi )( yk+1 yk ) s Iповт. S .

144424443

 

 

 

 

 

 

 

k=0 i=0

=Fik

 

 

 

 

 

1444442444443

 

 

 

 

Так как s Iдв. S ,

=S

(S s) Iповт. Iдв. (S s) , т. е.

то

 

Iповт. Iдв.

 

S s . По условию, Iдв.

существует lim (S s) = 0 . Следова-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ→0

тельно, Iповт. Iдв. = 0 Iдв. = Iповт..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. Совершенно аналогично устанавливается:

 

 

 

 

 

 

Если у ограниченной функции

f (x, y), заданной в прямоугольнике (

 

),

P

существуют одновременно Iдв. =

f ( x, y) dxdy

~

b

d

 

 

 

 

и Iповт. = dxf (x, y) dy , то

~

 

( P )

 

 

a

c

 

 

 

 

 

 

 

 

Iдв. = Iповт..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2.

Пусть

функция

f (x, y) определена и

непрерывна в

 

 

a x b,

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

ϕ( y) = f ( x, y) dx ,

y [c, d].

Тогда функция

( P ) =

 

 

c y d.

 

a

 

 

 

 

 

 

ϕ( y) C([c, d]).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эта теорема была доказана ранее. См. главу 1, §3. О непрерывности интеграла как функции параметра.

Замечание. Совершенно аналогично устанавливается справедливость утверждения:

38

d

Пусть f ( x, y) C( P ) и пусть ψ( x) = f ( x, y) dy , x [a,b]. Тогда функ-

c

ция ψ(x) C([a,b]).

Следствие. Если функция f (x, y) определена и непрерывна в ( P ), то су-

d

b

~

b

d

 

ществуют Iповт. = dyf ( x, y) dx

 

 

 

и Iповт. = dxf ( x, y) dy .

 

c

a

 

a

c

 

 

 

 

 

b

 

Действительно,

в этом

случае ϕ( y) = f ( x, y) dx C([c, d]), а

d

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

ψ( x) = f ( x, y) dy C([a, b]).

 

Следовательно,

ϕ( y) R([c, d]);

c

ψ(x) R([a,b]), т.

Ранее (см. §3, f ( x, y) R( P ) , т.

d

b

~

 

 

е. ϕ( y) dy = Iповт. и

 

 

ψ( x) dx = Iповт. существуют.

c

a

 

 

 

теорема

2) было доказано, что если f ( x, y) C(

 

) , то

P

е. существует Iдв. = f ( x, y) dxdy .

( P )

Таким образом, приходим к выводу: если f ( x, y) C( P ) , то существуют

~

одновременно Iдв. , Iповт., Iповт.. А тогда по теореме 1 настоящего параграфа, получаем, что Iдв. = Iповт., т. е.

 

 

d

 

b

 

 

 

 

 

 

f ( x, y) dxdy = dyf ( x, y) dx .

 

 

(5)

( P )

c

 

a

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и Iдв. = Iповт., т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

d

 

 

 

 

 

 

f ( x, y) dxdy = dxf ( x, y) dy .

 

 

(6)

( P )

a

 

c

 

 

 

 

 

 

Пример 1. Вычислить I =

 

dxdy

 

 

 

 

 

3 x 4,

 

 

, где (P ) =

 

 

 

 

2

 

 

 

( P )(x + y)

 

 

 

 

1 y 2.

 

 

 

dxdy

 

2

4

dx

 

 

 

По формуле (5) имеем

 

= dy

 

. Находим

сначала

(x + y)

2

(x + y)

2

( P )

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

внутренний интеграл:

39

 

 

 

 

4

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x=4

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

+ y)

2

x + y

 

x=3

y

+3

y +4

 

 

 

 

 

А тогда

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxdy

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

y +3

 

y=2

 

 

 

 

5

 

 

4

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

= ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ln

 

ln

 

= ln

 

.

 

2

 

 

 

 

 

 

+

 

 

y +4

 

 

 

 

 

 

( P )

(x + y)

1

y +3

 

 

y

4

 

 

 

 

 

 

 

y=1

 

 

 

 

6

 

 

5

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Вычислить I =

 

 

 

y dxdy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 x 1,

 

 

 

 

 

 

 

, где

(P ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2 3 2

 

 

y 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( P )

(1 + x

 

+ y

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

Здесь для вычисления I удобнее воспользоваться формулой (6), т. е. взять

внешнее интегрирование

 

по

 

x ,

а

 

 

внутреннее

 

– по

 

y .

Будем иметь:

1

 

1

 

 

 

y dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I = dx

 

 

 

 

 

 

 

 

. Находим внутренний интеграл:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x

2

+ y

2

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0 (1

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

y dy

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

= 1

 

 

 

 

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 2 = −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 + x

2

+ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

)

 

 

 

1 + x2 + y2

 

y=0

 

 

x2

+1

 

x

2 + 2

 

 

 

А тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

=ln1+ 2

+ln

 

2 =ln

2 + 2 .

I =

 

+1

 

 

 

 

 

dx =ln x +

 

 

 

0

 

x2

 

 

 

x2

 

+

2

 

 

x +

x2 +2

x=0

 

1+ 3

 

 

 

 

 

1+ 3

Замечание. Если вычислять I по формуле (5), то квадратуры окажутся бо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

dx

 

 

 

 

лее сложными. В самом деле, будем иметь:

I = y dy

 

 

 

 

 

 

. Нахо-

 

 

+ x

2

+ y

2

3 2

дим внутренний интеграл:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0 (1

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2dx

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 2 =

2

 

 

 

 

 

 

 

=

2

 

.

 

А тогда

0 (1 + x

 

+ y

 

)

 

 

 

1 + y

 

 

1 + x2 + y2

x=0

1 + y

 

 

2 + y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

y dy

 

 

 

 

 

 

 

1 ln

2 + y2 1

 

1 ln

3 1 1 ln

2 1 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

=

 

 

0 (1 + y2 ) 2 + y2

 

2

2 + y2 +1 y=0

(

2

 

3 +1

2

2 +1

 

 

 

 

1

 

 

(

 

 

 

 

 

 

)(

 

)

 

1

 

(

 

 

)

 

 

)

 

 

 

2 + 2

 

 

 

 

 

=

 

ln

 

 

3

1 2

+1

=

 

ln

 

 

3 1 2

 

2

+1 2

 

= ln

 

 

 

.

 

 

 

 

2

(

 

 

 

 

 

 

)(

 

)

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1 +

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

+1 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40