Госы 5к Надя / лекции_3 / int_ zaw_ot_ par / Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145
.pdfВозьмем произвольное разбиение сетью простых кривых области ( D ) на части ( Dk ) и составим интегральную сумму Римана для функции αf ( x, y) . Будем иметь
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
σ(αf ) = ∑αf ( xk , yk )Fk = α∑ f ( xk , yk )Fk = α σ( F). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k=1 |
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
По условию, |
f ( x, y) R( |
|
|
|
|
) |
lim σ( f ) |
|
|
существует, конечный и равный |
||||||||||||||||||
D |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ f ( x, y) dF . |
Но |
тогда |
lim σ(αf ) = α lim σ( f ) = α ∫∫ f ( x, y) dF , |
|
т. е. |
|||||||||||||||||||||||
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ→0 |
|
|
λ→0 |
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim σ(αf ) существует, конечный ∫∫αf ( x, y) dF существует, причем |
||||||||||||||||||||||||||||
λ→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∫∫αf ( x, y) dF = α ∫∫ f ( x, y) dF . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( D ) |
|
( D ) |
|
|
|
|
то (f ( x, y) ± g( x, y)) R( |
|
|
||||||||||||||
3°. Если |
f ( x, y) R( |
|
|
|
) и |
g( x, y) R( |
|
), |
|
|
) , |
|||||||||||||||||
D |
D |
D |
||||||||||||||||||||||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∫∫(f ( x, y) ± g( x, y))dF = ∫∫ f ( x, y) dF ± ∫∫g( x, y) dF . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
|
||||
Берем произвольное разбиение сетью простых кривых области ( |
|
) на |
||||||||||||||||||||||||||
D |
||||||||||||||||||||||||||||
части ( |
|
|
и |
составляем |
интегральную |
|
|
сумму |
Римана |
для функции |
||||||||||||||||||
Dk ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
f ( x, y) ± g( x, y) . Будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
σ( f ± g) = ∑(f ( xk , yk ) ± g( xk , yk ))Fk = ∑ f ( xk , yk )Fk ±∑g( xk , yk )Fk = |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= σ( f ) ±σ( g) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
По условию |
f ( x, y) R( |
|
|
) |
и g( x, y) R( |
|
) |
|
существуют конечные |
|||||||||||||||||||
D |
D |
|||||||||||||||||||||||||||
lim σ( f ) и |
lim σ( g) . Но тогда существует конечный lim σ( f ± g), причем |
|||||||||||||||||||||||||||
λ→0 |
λ→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ→0 |
|
|
|
|
|
|
||
lim σ( f ± g) = lim σ( f ) ± lim σ( g) |
∫∫(f ( x, y) ± g( x, y))dF существует, |
|||||||||||||||||||||||||||
λ→0 |
λ→0 |
|
|
|
|
|
λ→0 |
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
причем ∫∫(f ( x, y) ± g( x, y))dF = ∫∫ f ( x, y) dF ± ∫∫g( x, y) dF . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
4°. Пусть |
f ( x, y) R( |
|
) . Если изменить значения функции |
f ( x, y) |
вдоль |
|||||||||||||||||||||||
D |
какой-нибудь простой кривой ( L) (с тем лишь условием, чтобы и измененная
31
функция оставалась ограниченной), то вновь полученная функция также интегрируема в ( D ) и ее двойной интеграл по области ( D ) равен ∫∫ f ( x, y) dF .
( D )
Если составить интегральные суммы Римана для измененной и исходной функций, то они могут разниться лишь теми слагаемыми, которые относятся к областям ( Dk ), задевающим кривую ( L). Но, по обобщенной теореме о про-
стой кривой, общая площадь этих областей стремится к нулю при λ → 0 , откуда уже легко заключить, что обе интегральные суммы стремятся к общему пределу, т. е. к I = ∫∫ f ( x, y) dF .
( D )
Таким образом, существование и величина двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функцией вдоль конечного числа простых кривых.
5°. Если область ( D ), в которой задана функция f ( x, y), разложена простой кривой ( L) на две области ( D1 ) и ( D2 ) , то из интегрируемости функции
f ( x, y) во всей области ( |
|
) |
следует ее интегрируемость в областях ( |
|
|
|
|||||
D |
D1 ) и |
||||||||||
( |
|
|
|
f ( x, y) в обеих областях ( |
|
|
|||||
D2 ) , и обратно – из интегрируемости функции |
D1 ) |
||||||||||
и ( |
|
|
|
|
|
|
|
||||
D2 ) вытекает ее интегрируемость в области ( D ). При этом |
|
|
|
||||||||
|
|
|
∫∫ f ( x, y) dF = ∫∫ f ( x, y) dF + ∫∫ f ( x, y) dF . |
(1) |
|||||||
|
|
|
( D ) |
( D1 ) |
( D2 ) |
|
|
|
Разложим области ( D1 ) и ( D2 ) произвольными сетями простых кривых на части; тем самым и ( D ) разложится на части ( D1 ), ( D2 ), K, ( Dn ). Если значком k′ отметить частичные области, содержащиеся в ( D1 ) , а значком k′′ – частичные области, содержащиеся в ( D2 ) , то
n
∑ωk Fk = ∑ωk′Fk′ + ∑ωk′′Fk′′ . k=1
n
1) Пусть функция f ( x, y) R( D ) . Но тогда lim ∑ωk Fk = 0 , а, следова-
λ→0 k=1
тельно, и подавно λ→lim0 ∑ωk′Fk′ = 0 и λ→lim0 ∑ωk′′Fk′′ = 0 . Последнее означает,
что |
f ( x, y) R( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D1 ) и f ( x, y) R( D2 ). |
|
|
|
|||||||||||
2) Пусть теперь дано, |
что функция f ( x, y) R( |
|
|
f ( x, y) R( |
|
|
||||||||
D1 ) и |
D2 ). Но |
|||||||||||||
тогда lim |
∑ωk′Fk′ = 0 |
и lim ∑ωk′′Fk′′ = 0 , а, |
следовательно, и |
|||||||||||
|
λ→0 |
|
|
|
λ→0 |
|
|
|
||||||
lim |
∑ωk Fk |
= 0 f ( x, y) R( |
|
) . |
|
|
|
|||||||
D |
|
|
|
|||||||||||
λ→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
n
Однако нужно помнить, что ∑ωk Fk построена не для произвольного раз-
k=1
биения области ( D ) на части: ведь мы исходим из разложения порознь областей ( D1 ) и ( D2 ) . Чтобы от произвольного разложения области ( D ) перейти к
разложению рассмотренного частного вида, нужно присоединить к линиям деления кривую ( L). Тогда соответствующие суммы будут разниться лишь слагаемыми, отвечающими тем частичным областям, которые задевают кривую ( L). Но по обобщенной теореме о простой кривой общая площадь этих облас-
тей стремится к нулю при λ → 0 и, следовательно, соответствующие суммы будут разниться на бесконечно малую величину. Значит, условие интегрируемости функции f ( x, y) в ( D ) будет выполнено.
Доказываемая формула (1) получается из равенства:
n |
|
∑ f ( xk , yk )Fk = ∑ f ( xk′, yk′ )Fk′ +∑ f ( xk′′, yk′′ )Fk′′ |
|
k=1 |
|
переходом в нем к пределу при λ → 0 . |
|
6°. Пусть f ( x, y) R( D ) и g( x, y) R( D ), и пусть всюду в ( D ) выполня- |
|
ется неравенство f ( x, y) ≤ g( x, y). Тогда |
|
∫∫ f ( x, y) dF ≤ ∫∫g( x, y) dF . |
|
( D ) |
( D ) |
Произвольной сетью простых кривых разобьем ( D ) на части ( Dk ). В каждой частичной области ( Dk ) берем произвольную точку ( xk , yk ) . Ясно, что f ( xk , yk ) ≤ g( xk , yk ) , k =1, n . Умножим обе части этого неравенства на Fk
( Fk > 0 ). Получим |
f ( xk , yk )Fk ≤ g( xk , yk )Fk . Просуммируем полученные не- |
||||||||||||
равенства |
по |
значку |
k |
от |
1 |
до |
n . |
Будем |
иметь |
||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ f ( xk , yk )Fk ≤ ∑g( xk , yk )Fk . Переходя здесь к пределу при λ → 0 , полу- |
|||||||||||||
k=1 |
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
чим |
|
∫∫ f ( x, y) dF ≤ ∫∫g( x, y) dF . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
( D ) |
|
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
7°. Пусть |
f ( x, y) R( |
|
) |
и пусть всюду в |
( |
|
): |
m ≤ f ( x, y) ≤ M . |
Тогда |
||||
D |
D |
m F ≤ ∫∫ f ( x, y) dF ≤ M F .
( D )
Это следует из свойств 6°, 2°, 1°.
33
8°. Теорема о среднем значении. Пусть f ( x, y) R( D ) и пусть всюду в
( D ): m ≤ f ( x, y) ≤ M . Тогда: существует число µ, удовлетворяющее условию
m ≤ µ ≤ M , такое, что будет ∫∫ f ( x, y) dF = µ F .
( D )
Выше (см. 7°) установлено, что в этом случае выполняется неравенство
mF ≤ ∫∫ f ( x, y) dF ≤ MF . Разделим все части |
этого неравенства на |
F |
||||||||||||||||
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( F > 0 ): m ≤ |
1 |
∫∫ f ( x, y) dF ≤ M . Обозначим |
1 |
∫∫ f ( x, y) dF = µ (ясно, |
что |
|||||||||||||
F |
F |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
m ≤ µ ≤ M ). Тогда |
∫∫ f ( x, y) dF = µ F , а это и требовалось установить. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
9°. Частный случай теоремы о среднем |
значении. Если |
функция |
||||||||||||||||
f ( x, y) C( |
|
) , то в ( |
|
) обязательно найдется хотя бы одна точка (ξ, η) |
та- |
|||||||||||||
D |
D |
|||||||||||||||||
кая, что будет: |
|
|
∫∫ f ( x, y) dF = f (ξ, η) F . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|||
По условию f ( x, y) C( |
|
) |
|
по теореме Вейерштрасса f ( x, y) дости- |
||||||||||||||
D |
||||||||||||||||||
гает в ( |
|
) своего |
наименьшего |
|
m и наибольшего M значений. |
Так |
как |
|||||||||||
D |
||||||||||||||||||
f ( x, y) C( |
|
) , то |
f ( x, y) R( |
|
) . Тогда по теореме о среднем |
значении |
||||||||||||
D |
D |
∫∫ f ( x, y) dF = µ F , где m ≤ µ ≤ M . Значения m и M функция f ( x, y) при-
( D )
нимает в ( D ). Если же m < µ < M , то по теореме о промежуточном значении для функции f ( x, y) C( D ) заключаем: в области ( D ) обязательно найдется хотя бы одна точка (ξ, η) такая, что будет f (ξ, η) = µ, а значит, и в этом слу-
чае
∫∫ f ( x, y) dF = f (ξ, η) F .
|
|
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
10°. Если функция |
f ( x, y) R( |
|
) , то и функция |
|
f ( x, y) |
|
R( |
|
|
), причем |
||||||||||||||||
D |
|
|
D |
||||||||||||||||||||||||
|
∫∫ f ( x, y) dF |
|
≤ ∫∫ |
|
f ( x, y) |
|
dF . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
( D ) |
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
По условию f ( x, y) R( |
|
) |
|
|
f ( x, y) – ограниченная в ( |
|
), т. е. су- |
|||||||||||||||||||
|
D |
|
|
D |
|||||||||||||||||||||||
ществует число |
L > 0 |
такое, что |
|
f ( x, y) |
|
≤ L в ( |
|
). Последнее означает, что |
|||||||||||||||||||
|
|
D |
34
функция |
|
|
|
|
|
f ( x, y) |
|
|
– ограниченная |
|
|
в ( |
|
|
). |
|
|
Следовательно, |
существуют |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x, y) |
|
|
|
, |
|
~ |
|
|
f ( x, y) |
|
|
, а |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
m = inf{f ( x, y)}, M =sup{f ( x, y)}, m = inf |
|
|
|
|
|
M =sup |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
~ |
|
|
|
( D ){ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
( D ) |
{ |
|
|
|
|
} |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
значит, |
существуют |
Ω = M − m и |
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
колебание функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Ω= |
|
|
M − m ( Ω – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
f ( x, y) в ( D ), а Ω – колебание |
|
в ( D )). Легко понять, что Ω≤Ω. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Возьмем произвольное разбиение области ( |
|
|
|
|
) сетью простых кривых на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
части ( Dk ), k =1, n . Пусть ωk |
– колебание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– колебание |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f ( x, y) в ( Dk ), а ωk |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f ( x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ωk |
, |
k =1, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
в ( Dk ). Имеем 0 ≤ωk |
0 ≤ωk Fk ≤ωk Fk , k =1, n . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
n ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ ∑ωk Fk ≤ ∑ωk Fk . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
∑n |
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Так как f ( x, y) R( |
|
) , то |
|
lim |
ωk Fk = 0 . Тогда из (2) заключаем, |
|
что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ→0 |
k |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x, y) |
R( D ). Имеем, далее, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∑ωk Fk = 0 . Последнее означает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
λ→0 |
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑n |
|
|
|
|
|
|
≤ ∑n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( xk , yk )Fk |
|
|
f ( xk , yk ) |
|
Fk , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
σ( f ) |
|
≤ σ(| f |). |
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
т. е. |
|
|
|
Переходя в последнем неравенстве к пределу при λ → 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ f ( x, y) dF |
≤ ∫∫ |
|
f ( x, y) |
|
dF . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
§5. Вычисление двойного интеграла в случае прямоугольной области
Пусть ограниченная функция f (x, y) задана в прямоугольнике
= a ≤ x ≤ b, (P )
c ≤ y ≤ d.
1) Пусть при каждом закрепленном y |
из [c, d] |
функция |
f (x, y) интегри- |
|||||||
руема |
на [a,b], т. е. |
при |
каждом закрепленном |
y |
из |
[c, d] |
существует |
|||
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
∫ f (x, y) dx . Следовательно, |
∫ f (x, y) dx |
представляет собой функцию аргу- |
||||||||
a |
y , заданную |
|
a |
|
[c, d]. |
|
|
|
||
мента |
на |
промежутке |
Станем |
обозначать |
||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x, y) dx = ϕ( y) , |
y [c, d]. Допустим |
теперь, |
что эта |
функция |
||||||
a |
|
d |
|
d b |
|
|
|
d |
b |
|
ϕ( y) R([c, d]). Тогда |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ϕ( y) dy = ∫ ∫ f ( x, y) dx dy = ∫dy∫ f ( x, y) dx назы- |
||||||||||
|
|
c |
|
c a |
|
|
|
c |
a |
|
вается повторным интегралом от функции f (x, y) в (P ).
2) Допустим еще, что при каждом закрепленном x из [a,b] существует
d
∫ f (x, y) dy . Ясно, что каждому x из [a,b] будет отвечать свое, вполне опре-
c |
d |
|
|
d |
|
||
|
|
|
|
||||
деленное значение интеграла |
∫ f (x, y) dy . Следовательно, |
∫ f (x, y) dy |
пред- |
||||
|
c |
|
|
c |
[a,b]. |
||
ставляет собой функцию аргумента x , |
определенную на промежутке |
||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
Станем обозначать ∫ f (x, y) dy = ψ( x) , |
x [a,b]. Допустим, что эта функция |
||||||
c |
b d |
|
|
|
|
|
|
b |
b |
d |
|
||||
ψ(x) R([a,b]). Тогда ∫ψ(x) dx = ∫ ∫ |
f (x, y) dy dx = ∫dx∫ f ( x, y) dy |
назы- |
|||||
a |
a c |
|
a |
c |
|
||
вается еще одним повторным интегралом от функции |
f (x, y) в ( |
|
). |
|
|||
P |
|
36
Теорема 1. Если у ограниченной функции f (x, y), заданной в прямоуголь-
нике |
( |
|
), |
существуют |
одновременно |
|
|
Iдв. = ∫∫ f ( x, y) dxdy |
и |
|||||||||||||||||||||||||
P |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( P ) |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iповт. = ∫dy∫ f ( x, y) dx , то они равны, т. е. Iдв. = Iповт.. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
c |
|
a |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( Pik ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
yk+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
yk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
xi xi+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.4. К вычислению двойного интеграла |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в случае прямоугольной области |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Разобьем ( |
|
) отрезками прямых x = xi |
( i = 0,1, 2, K, n , |
x0 = a , |
xn = b ), |
|||||||||||||||||||||||||||
P |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = yk |
( k = 0, 1, 2, K, m, |
y0 = c , |
|
ym = d ), |
на |
|
частичные |
прямоугольники |
||||||||||||||||||||||||||
( |
|
), |
|
где |
|
( |
|
) = |
xi ≤ x ≤ xi+1, |
|
|
Пусть |
m |
= inf |
{ |
f ( x, y) , |
||||||||||||||||||
P |
|
|
P |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
ik |
|
|
|
|
|
ik |
|
|
|
≤ yk+1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
|
} |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yk ≤ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( Pik ) |
|
|
|||||||||||
Mik = sup{f ( x, y)}. Значит, если точка (x, y) ( |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Pik ), то |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( Pik ) |
|
|
|
|
|
mik ≤ f (x, y) ≤ Mik . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||||||
Возьмем любое |
y из [ yk , yk+1] |
и закрепим его. |
Сделав это, |
проинтегрируем |
||||||||||||||||||||||||||||||
неравенство (1) по x от xi |
до xi+1 . Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mik (xi+1 − xi ) ≤ ∫ f (x, y) dx ≤ Mik ( xi+1 − xi ). |
|
|
|
(2) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
xi+1 |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интеграл |
∫ f (x, y) dx существует, |
так как существует по условию Iповт., а это |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y) R([a,b]); тем более |
|||||||||
значит, что при любом закрепленном y из [c, d] |
f (x, y) R([xi , xi+1]). Просуммируем неравенства (2) по значку i от 0 до n −1
37
(во всех этих неравенствах считаем |
y одним и тем же, взятым из [ yk , yk+1]). |
||
Будем иметь |
b |
|
|
n−1 |
n−1 |
|
|
∑mik (xi+1 − xi ) ≤ ∫ f ( x, y) dx ≤ ∑Mik ( xi+1 − xi ) . |
(3) |
||
i=0 |
a |
i=0 |
|
Проинтегрируем неравенство (3) по y от yk |
до yk+1 . Получим |
||
n−1 |
yk+1 |
b |
n−1 |
∑mik(xi+1 −xi )( yk+1 − yk )≤ ∫ dy∫ f (x, y)dx ≤∑Mik (xi+1 −xi )( yk+1 − yk ). (4) |
|||
i=0 |
yk |
a |
i=0 |
Просуммируем неравенства (4) по значку k от 0 до m −1. Будем иметь
|
|
|
m−1n−1 |
|
|
d |
|
b |
|
|
|
|
∑∑mik (xi+1 |
− xi )( yk+1 − yk ) ≤ |
∫ |
dy |
∫ |
f ( x, y) dx ≤ |
|
144424443 |
|
|
|||||||
|
|
|
k=0 i=0 |
=Fik |
|
c |
|
a |
|
1444442444443 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
m−1n−1 |
=s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ ∑∑Mik ( xi+1 − xi )( yk+1 − yk ) s ≤ Iповт. ≤ S . |
||||||
144424443 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
k=0 i=0 |
=Fik |
|
|
|
|
|
1444442444443 |
|
|
|
|
|||||
Так как s ≤ Iдв. ≤ S , |
=S |
−(S − s) ≤ Iповт. − Iдв. ≤(S − s) , т. е. |
|||||||
то |
|||||||||
|
Iповт. − Iдв. |
|
≤ S − s . По условию, Iдв. |
существует lim (S − s) = 0 . Следова- |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ→0 |
тельно, Iповт. − Iдв. = 0 Iдв. = Iповт.. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Замечание. Совершенно аналогично устанавливается: |
|
|
|
|
||||
|
|
Если у ограниченной функции |
f (x, y), заданной в прямоугольнике ( |
|
), |
|||||
P |
||||||||||
существуют одновременно Iдв. = ∫∫ |
f ( x, y) dxdy |
~ |
b |
d |
||||||
|
|
|
|
|||||||
и Iповт. = ∫dx∫ f (x, y) dy , то |
||||||||||
~ |
|
( P ) |
|
|
a |
c |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Iдв. = Iповт.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Теорема 2. |
Пусть |
функция |
f (x, y) определена и |
непрерывна в |
||||
|
|
a ≤ x ≤ b, |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
ϕ( y) = ∫ f ( x, y) dx , |
y [c, d]. |
Тогда функция |
|||||
( P ) = |
||||||||||
|
|
c ≤ y ≤ d. |
|
a |
|
|
|
|
|
|
ϕ( y) C([c, d]). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта теорема была доказана ранее. См. главу 1, §3. О непрерывности интеграла как функции параметра.
Замечание. Совершенно аналогично устанавливается справедливость утверждения:
38
d
Пусть f ( x, y) C( P ) и пусть ψ( x) = ∫ f ( x, y) dy , x [a,b]. Тогда функ-
c
ция ψ(x) C([a,b]).
Следствие. Если функция f (x, y) определена и непрерывна в ( P ), то су-
d |
b |
~ |
b |
d |
|
ществуют Iповт. = ∫dy∫ f ( x, y) dx |
|
|
|
||
и Iповт. = ∫dx∫ f ( x, y) dy . |
|
||||
c |
a |
|
a |
c |
|
|
|
|
|
b |
|
Действительно, |
в этом |
случае ϕ( y) = ∫ f ( x, y) dx C([c, d]), а |
|||
d |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
ψ( x) = ∫ f ( x, y) dy C([a, b]). |
|
Следовательно, |
ϕ( y) R([c, d]); |
c
ψ(x) R([a,b]), т.
Ранее (см. §3, f ( x, y) R( P ) , т.
d |
b |
~ |
|
|
е. ∫ϕ( y) dy = Iповт. и ∫ |
|
|
||
ψ( x) dx = Iповт. существуют. |
||||
c |
a |
|
|
|
теорема |
2) было доказано, что если f ( x, y) C( |
|
) , то |
|
P |
е. существует Iдв. = ∫∫ f ( x, y) dxdy .
( P )
Таким образом, приходим к выводу: если f ( x, y) C( P ) , то существуют
~
одновременно Iдв. , Iповт., Iповт.. А тогда по теореме 1 настоящего параграфа, получаем, что Iдв. = Iповт., т. е.
|
|
d |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ f ( x, y) dxdy = ∫dy∫ f ( x, y) dx . |
|
|
(5) |
||||||||
( P ) |
c |
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и Iдв. = Iповт., т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ f ( x, y) dxdy = ∫dx∫ f ( x, y) dy . |
|
|
(6) |
||||||||
( P ) |
a |
|
c |
|
|
|
|
|
|
||
Пример 1. Вычислить I = ∫∫ |
|
dxdy |
|
|
|
|
|
3 ≤ x ≤ 4, |
|
||
|
, где (P ) = |
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||
( P )(x + y) |
|
|
|
|
1 ≤ y ≤ 2. |
|
|||||
|
|
dxdy |
|
2 |
4 |
dx |
|
|
|
||
По формуле (5) имеем ∫∫ |
|
= ∫dy∫ |
|
. Находим |
сначала |
||||||
(x + y) |
2 |
(x + y) |
2 |
||||||||
( P ) |
|
1 |
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
внутренний интеграл:
39
|
|
|
|
4 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x=4 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
− |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
(x |
+ y) |
2 |
x + y |
|
x=3 |
y |
+3 |
y +4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
А тогда |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dxdy |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y +3 |
|
y=2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
4 |
|
25 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∫∫ |
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
dy |
= ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
−ln |
|
= ln |
|
. |
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
y +4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
( P ) |
(x + y) |
1 |
y +3 |
|
|
y |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
y=1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
5 |
|
24 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 2. Вычислить I = ∫∫ |
|
|
|
y dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤1, |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, где |
(P ) = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 3 2 |
|
|
≤ y ≤1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( P ) |
(1 + x |
|
+ y |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||
Здесь для вычисления I удобнее воспользоваться формулой (6), т. е. взять |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
внешнее интегрирование |
|
по |
|
x , |
а |
|
|
внутреннее |
|
– по |
|
y . |
Будем иметь: |
1 |
|
1 |
|
|
|
y dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I = ∫dx∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Находим внутренний интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
+ x |
2 |
+ y |
2 |
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
0 |
|
0 (1 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
y dy |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
2 3 2 = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
(1 + x |
2 |
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
) |
|
|
|
1 + x2 + y2 |
|
y=0 |
|
|
x2 |
+1 |
|
x |
2 + 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
А тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=ln1+ 2 |
+ln |
|
2 =ln |
2 + 2 . |
|||||||||||||||||||
I =∫ |
|
+1 |
|
|
|
|
|
dx =ln x + |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
x2 |
|
|
|
x2 |
|
+ |
2 |
|
|
x + |
x2 +2 |
x=0 |
|
1+ 3 |
|
|
|
|
|
1+ 3 |
||||||||||||||||
Замечание. Если вычислять I по формуле (5), то квадратуры окажутся бо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||
лее сложными. В самом деле, будем иметь: |
I = ∫y dy∫ |
|
|
|
|
|
|
. Нахо- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ x |
2 |
+ y |
2 |
3 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
дим внутренний интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 (1 |
|
) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
2 3 2 = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
. |
|
||||||||||||||||||
А тогда |
0 (1 + x |
|
+ y |
|
) |
|
|
|
1 + y |
|
|
1 + x2 + y2 |
x=0 |
1 + y |
|
|
2 + y2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
y dy |
|
|
|
|
|
|
|
1 ln |
2 + y2 −1 |
|
1 ln |
3 −1 − 1 ln |
2 −1 = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
I = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
0 (1 + y2 ) 2 + y2 |
|
2 |
2 + y2 +1 y=0 |
( |
2 |
|
3 +1 |
2 |
2 +1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
)( |
|
) |
|
1 |
|
( |
|
|
) |
|
|
) |
|
|
|
2 + 2 |
|
|
|
|||||
|
|
= |
|
ln |
|
|
3 |
−1 2 |
+1 |
= |
|
ln |
|
|
3 −1 2 |
|
2 |
+1 2 |
|
= ln |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
( |
|
|
|
|
|
|
)( |
|
) |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 + |
3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+1 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40