Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Госы 5к Надя / лекции_3 / int_ zaw_ot_ par / Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145

.pdf
Скачиваний:
37
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
2.55 Mб
Скачать

§3. Криволинейные интегралы второго рода по замкнутым плоским кривым. Формула Грина

1°. Станем рассматривать криволинейные интегралы второго рода вида

 

 

 

P( x, y) dx + Q( x, y) dy ,

 

(1)

 

 

 

( K )

 

 

 

 

где ( K ) – замкнутый самонепересекающийся кон-

 

z

тур, расположенный в плоскости Oxy . Если на

 

 

контуре ( K )

выбрать какое-нибудь

направление

O

y

интегрирования, то оказывается безразличным, ка-

II

 

кую точку на ( K ) взять за начало (а значит, и ко-

x A

B

нец) пути интегрирования. В самом деле, пусть A

( K )

и B – любые две различные точки на ( K ). Имеем:

 

I

Рис. 3.13. К определению

Pdx + Qdy =

Pdx + Qdy +

Pdx + Qdy =

положительного обхода

(AA

(AI B

(BII A

 

контура ( K )

=

Pdx + Qdy +

Pdx + Qdy =

Pdx + Qdy .

 

 

(BII A

 

(AI B

(BB

 

 

Замечание. Особенность обсуждаемого случая заключается в том, что указание начальной и (совпадающей с ней) конечной точки на этот раз не определяет направления интегрирования на ( K ). Конечно, можно было бы в каждом случае указывать особо, какое именно направление имеется в виду. Но обычно поступают иначе, а именно: из двух возможных направлений одно принимается за положительное, другое – за отрицательное.

Условимся за положительное направление обхода контура ( K ) принимать такое направление, когда наблюдатель (у которого направление от ног к голове совпадает с направлением оси Oz ), обходящий контур ( K ) в этом направлении, оставляет ближайшую к нему часть области, ограниченной ( K ), слева от себя. Это соглашение относится к случаю правой системы координат.

В дальнейшем интеграл (1), взятый по ( K ) в положительном направлении, будем обозначать символом: P( x, y) dx + Q( x, y) dy .

( K )

71

2°. Формула Грина.

I. Пусть ( D) – область, ограниченная замкнутым контуром ( K ). Пусть ( K ) состоит из отрезков прямых: x = a , x = b ( a < b ) и из кривых, заданных уравнения-

ми: y = ϕ( x), x [a, b];

y = ψ( x),

x [a, b]. Предполагается, что

ϕ( x) и

ψ( x) непрерывны на [a,b] и такие, что ϕ( x) < ψ( x) , x [a, b]. Такую область ( D) будем называть областью типа I. Пусть в ( D ) задана непрерывная функция

y

y ( x)

B

 

A

(D)

 

 

 

A

y ( x)

B

x

 

O a

 

 

b

Рис. 3.14. К выводу формулы Грина

P( x, y) , имеющая в ( D ) непрерывную частную производную Py . Рассмотрим

двойной интеграл

I = ∫∫Py dxdy .

( D )

Мы знаем, что этот двойной интеграл выражается через повторный интеграл следующим образом:

b

y( x)

b

[P( x, y)

 

yy((xx)) ]dx =

I = dx

Py dy I =

 

 

 

a

y( x)

a

 

 

 

b

b

b

=

[P(x, ψ( x))P(x,ϕ( x))]dx = P(x, ψ( x))dx P(x,ϕ( x))dx .

a

a

a

Но

b

 

 

 

 

P( x, y) dx = −

P( x, y) dx ,

P(x, ψ( x))dx =

a

 

b

 

(AB

 

(BA

 

 

 

P(x,ϕ( x))dx = P( x, y) dx .

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

(AB

 

 

P( x, y) dx = 0 и

Поэтому I = −

P( x, y) dx

P( x, y) dx .

Так

как

(BA

 

(AB

 

 

 

(BB

P( x, y) dx = 0 , то можем написать

 

 

 

 

(AA

P dx

 

P dx

 

P dx

P dx = − P( x, y) dx .

I = −

 

 

(AB

(BB

 

(BA

(AA

( K )

 

Таким образом, получили

72

∫∫Py dxdy = − P( x, y) dx .

(2)

( D )

( K )

 

Замечание. Формула (2) установлена для области типа I, но она верна и тогда, когда область ( D) прямыми, параллельными оси Oy , может быть разло-

жена на конечное число областей типа I (рис. 3.15).

В самом деле, для каждой области типа I, на которые разложена область ( D) , пишем формулу (2), а затем складываем соответствующие части полученных соотношений. Так как криволинейные интегралы по вспомогательным прямым линиям равны нулю, то получим формулу (2), в которой ( D) – вся область, а ( K ) – контур всей этой области.

y

(D3)

(D1)

(D2)

x

Рис. 3.15. К выводу формулы Грина

y

A

Bx ( y)

d

x ( y)

 

(D)

c

A

B x

Рис. 3.16. К выводу формулы Грина

II. Пусть ( D) – область, ограниченная замкнутым контуром ( K ), и пусть теперь ( K ) состоит из отрезков прямых y = c , y = d ( c < d и из кривых, заданных уравнениями: x = α( y), x ( y) , где α( y) и β( y) – функции, непрерывные на [c, d] и такие, что α( y) ( y) , y [c, d] (рис. 3.16). Такую область ( D) будем называть областью типа II.

Пусть в ( D ) задана непрерывная функция Q( x, y) , имеющая в ( D ) непре-

Q

рывную частную производную x . Рассмотрим двойной интеграл

I = ∫∫∂∂Qx dxdy .

( D )

Мы знаем, что этот интеграл выражается через повторный интеграл следующим образом:

d

x( y )

I = dy

c

x( y )

Q

 

 

d

 

 

 

 

x( y )

 

 

 

 

 

dx

 

I = [Q( x, y)

 

x( y ) ]dy =

x

 

 

 

 

 

c

d

d

= Q(β( y), y)dy Q(α( y), y)dy .

c

c

73

Но

 

 

d

 

 

 

 

Q( x, y) dy ;

 

 

 

Q(β( y), y)dy =

 

 

d

c

 

 

 

(BB

 

 

 

 

 

 

 

Q( x, y) dy = −

Q( x, y) dy .

 

Q(α( y), y)dy =

 

c

Q( x, y) dy +

 

(AA

 

(AA

Q( x, y) dy = 0 и

Поэтому

I =

Q( x, y) dy . Так

как

 

(BB

(AA

 

 

 

(AB

Q( x, y) dy = 0 , то можем написать

 

 

 

 

(BA

 

 

 

 

 

Q( x, y) dy +

Q( x, y) dy = Q( x, y) dy .

I = Q( x, y) dy + Q( x, y) dy +

(AB

 

(BB

 

(BA

 

(AA

( K )

Таким образом, получили:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫

Q

dxdy =

Q( x, y) dy .

(3)

 

 

x

 

 

( D )

 

 

 

( K )

 

 

 

Замечание. Формула (3) верна и тогда, когда область ( D) прямыми, параллельными оси Ox , разлагается на конечное число областей типа II. Это устанавливается совершенно аналогично тому, как это сделано в предыдущем замечании.

Пусть область ( D) такая, что она прямыми линиями, параллельными оси Oy , разлагается на конечное число областей типа I, а прямыми, параллельными

оси Ox – на конечное число областей типа II. Пусть в ( D ) заданы функции

P( x, y) , Q( x, y) , непрерывные там вместе с частными производными

P

и

 

 

 

 

 

 

y

 

Q

. Тогда верны одновременно формулы (2) и (3). Вычитая из формулы (3)

x

соответствующие части формулы (2), получим

 

 

 

 

 

 

Q

 

P

 

 

 

P( x, y) dx + Q( x, y) dy =

∫∫ x

y

 

(4)

 

 

 

dxdy .

 

 

( K )

( D )

 

 

 

 

(4) – формула Грина. Она преобразует криволинейный интеграл второго рода по замкнутому самонепересекающемуся контуру в двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.

Определение 1.

1. Область, ограниченная одним замкнутым самонепересекающимся контуром, называется односвязной.

74

2. Область,

ограниченная замкнутым

самонепересекающимся

контуром

( K1 ) и (n 1)

замкнутыми самонепересекающимися контурами ( K2 ) , ( K3 ),

K , ( Kn ) , лежащими внутри ( K1 ) и вне друг друга, называется n -связной.

Теорема. Формула Грина

Q

 

P

 

 

 

 

 

 

P( x, y) dx + Q( x, y) dy =

∫∫ x

y

(5)

 

 

 

dxdy

 

( K )

( D )

 

 

 

верна и для многосвязной области, если под контуром ( K ) понимать объединение всех контуров ( K1 ), ( K2 ) , K , ( Kn ) , ограничивающих область ( D) , при-

чем направление интегрирования такое, что наблюдатель, обходящий контур ( K ) в этом направлении, оставляет ближайшую к нему часть области, ограниченной ( K ), слева от себя (система координат предполагается правой).

(K3)

( K )

(K2)

Односвязная область

(K1)

Трехсвязная область

y

 

(K2)

(K3)

B3

 

 

 

B1

A2

B2

A3

 

 

 

A1

 

 

 

 

(K1)

 

 

 

 

 

x

Рис. 3.17. К выводу формулы Грина для многосвязных областей

Рассмотрим для простоты трехсвязную область ( D) . Возьмем на ( K1 )

точки A1 и B1; на ( K2 ) – точки A2 и B2 ; на ( K3 ) – точки A3 и B3 . Проведем линии: (A1A2 ; (B2 A3 ; (B3B1 . Тогда область ( D) разобьется на две односвяз-

ные области. Написав формулу Грина для каждой из этих двух односвязных областей и сложив результаты, мы получим формулу (5). (По каждой вспомогательной кривой: (A1A2 , (B2 A3 , (B3B1 интегрирование ведется дважды в двух

противоположных направлениях. Следовательно, криволинейные интегралы по вспомогательным кривым взаимно уничтожаются.)

75

§4. Вопрос о независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

Пусть ( D) – область, ограниченная одним замкнутым самонепересекающимся контуром ( K ) (значит, ( D) – односвязная область). Пусть в ( D) заданы

две непрерывные функции P( x, y) и Q( x, y) .

 

 

 

 

P( x, y)

 

y

 

Будем

говорить,

что

функции

и

 

Q( x, y) образуют

в

( D) пару типа «α»,

если

(K)

 

 

(D)

криволинейный

интеграл

второго

рода

 

P dx +Q dy , взятый по

незамкнутому

пути

A

B

 

(AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

(AB , целиком лежащему в ( D) , не зависит от

Рис. 3.18. К определению

формы пути (а зависит только от концов пути).

и

интеграла, не зависящего от

Будем

говорить,

что

функции

P( x, y)

Q( x, y) образуют в ( D) пару типа «β», если для

формы пути

 

 

любого замкнутого самонепересекающегося кон-

y (K)

 

тура (C), целиком лежащего в ( D) , оказывается:

 

P dx + Q dy = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

( D) I

(C)

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

A

B

Лемма 1. Если функции P( x, y) и Q( x, y)

об-

 

 

разуют в области ( D) пару типа « α», то они обра-

II

x

Рис. 3.19. К доказательству

зуют в ( D) также и пару типа «β».

 

 

 

Пусть P( x, y)

и Q( x, y)

– пара типа « α» в

леммы 1

( D) . Возьмем в ( D) любой замкнутый самонепе-

 

 

 

 

ресекающийся контур (C). Выберем и закрепим

на (C) любые две точки A и B. Эти точки разобьют (C) на две дуги: (AI B и

(AII B . Имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P dx + Q dy = P dx + Q dy + P dx + Q dy =

 

 

 

 

C

(AII B

 

(BI A

 

 

 

 

 

 

=

P dx +Q dy P dx + Q dy .

 

 

 

 

(1)

 

(AII B

(AI B

 

 

 

 

 

 

 

У нас P и Q – пара типа « α» в ( D) . Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

P dx +Q dy = P dx + Q dy .

 

 

 

 

 

 

(AII B

(AI B

 

 

 

 

 

 

 

76

y

 

 

 

 

А тогда из (1)

следует, что P dx + Q dy = 0 . Так

(K)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

(D) I

B

 

как (C) – любой замкнутый самонепересекаю-

A

 

щийся контур, лежащий в ( D) , то последнее озна-

 

 

II

x

чает, что P( x, y) и

Q( x, y)

пара типа «β» в

 

 

 

 

 

 

 

( D) .

 

 

 

 

 

Рис. 3.20а. К доказательству

Лемма 2. Если функции P( x, y)

и Q( x, y) об-

 

леммы 2

 

разуют в области ( D) пару типа «β», то они обра-

 

 

 

 

 

зуют в ( D) также и пару типа « α».

 

 

Пусть P( x, y) и Q( x, y) – пара типа «β» в ( D) . Возьмем в ( D)

любые

две точки A и B и соединим их двумя различными линиями:

(AI B и (AII B ,

целиком лежащими в ( D) . Лемма 2 будет доказана, если показать, что

 

 

 

 

 

P dx +Q dy = P dx + Q dy .

 

 

(2)

 

 

 

 

(AI B

(AII B

 

 

 

 

Установим соотношение (2) в следующих двух простых случаях.

 

 

1) Линии

(AI B и

(AII B не имеют других общих точек, кроме точек A и

B (см. рис. 3.20а). В этом случае наши линии образуют замкнутый самонепере-

секающийся контур. Так как функции P и Q – пара типа «β» в ( D) , то

 

 

 

 

P dx + Q dy = 0

 

y (K)

 

 

 

 

 

 

(AII BI A

 

 

 

 

II

 

P dx +Q dy + P dx + Q dy = 0

(D)

 

I

B

 

(AII B

 

 

(BI A

 

A

 

P dx +Q dy P dx + Q dy = 0

 

 

III

x

 

 

 

(AII B

 

 

(AI B

 

Рис. 3.20б. К доказательству

 

 

P dx +Q dy =

P dx + Q dy .

 

 

 

 

леммы 2

 

 

(AII B

(AI B

 

 

 

 

 

Видим, что соотношение (2) в этом случае уста-

 

 

 

новлено.

(AI B и (AII B кроме точек A и B имеют еще и другие общие

2) Линии

точки,

но существует линия (AIII B , которая пересекается с ними только в

точках A и B (см. рис. 3.20б). Тогда, по доказанному в случае 1), имеем:

 

 

P dx +Q dy = P dx + Q dy,

P dx + Q dy = P dx + Q dy ,

(AI B

 

(AIII B

(AII B

(AIII B

 

 

а значит, и

 

 

P dx +Q dy = P dx + Q dy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(AI B

(AII B

 

 

 

 

Видим, что соотношение (2) установлено и в этом случае.

 

 

 

77

3) В более сложных случаях утверждение леммы 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

принимаем без доказательства. Рис. 3.20в – пример как

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

раз того случая, который не подходит ни к 1), ни к 2).

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие. Свойство пар

функций

 

иметь

 

в

 

 

области

 

 

 

 

 

 

II

 

 

( D) тип « α» равносильно свойству иметь тип «β».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Пусть в односвязной области ( D)

зада-

Рис. 3.20в. К лемме 2

ны функции P( x, y) и Q( x, y) . Пусть P( x, y) , Q( x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

непрерывны в ( D) и имеют там непрерывные частные производные

 

P

и

 

Q

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

x

Тогда для того, чтобы функции P( x, y)

 

и Q( x, y) были парой типа «β» (а зна-

чит, и парой типа « α») в ( D) , необходимо и достаточно, чтобы всюду в ( D)

было:

P

=

Q

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Необходимость. Дано: P( x, y) и Q( x, y) – пара типа «β» в ( D) . Требу-

ется доказать, что P =

Q

всюду в ( D) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (K)

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассуждаем от противного. Допустим, что со-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отношение

 

 

P

=

 

Q

 

выполняется

 

не

 

всюду в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

(D)

 

 

 

 

M0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(γδ)

 

 

 

 

 

( D) . Но тогда в

 

( D) имеется точка

M0 ( x0 , y0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

P

 

 

 

0 . Пусть для опреде-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

такая,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

() M0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.21. К доказательству

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

теоремы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ленности

 

 

 

 

 

 

 

 

. Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

() M0

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– функция непрерывная в ( D) , то по теореме о стабильности знака существует

u ( M

0

) такая, что u ( M

0

) ( D)

и что

Q

P

> 0

 

в

u ( M

0

) ( u ( M

0

)

δ

 

 

 

 

 

 

δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

δ

 

 

 

 

δ

 

 

 

замкнутый круг радиуса δ с центром в точке

M0 ; (γδ )

– контур этого круга).

 

 

 

 

 

Q

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

 

 

 

C(u

 

( M

0

)), то эта разность достигает в u ( M

0

)

своего

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

наименьшего m значения. Ясно, что m > 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По формуле Грина имеем

 

Q

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P dx + Q dy =

∫∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫

dxdy = m πδ

2

> 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

dxdy m

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

))

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(γ

δ

 

 

 

 

(u ( M

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u ( M

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

78

а это невозможно, ибо P( x, y) и Q( x, y) – пара типа «β» в ( D) . Таким обра-

зом, предположение, что соотношение Py = Qx выполняется не всюду в ( D) ,

приводит к противоречию.

Достаточность. Дано: Py = Qx всюду в ( D) . Требуется доказать, что

функции P( x, y) и Q( x, y) образуют в ( D) пару типа «β».

Возьмем любой замкнутый самонепересекающийся контур (C), целиком лежащий в ( D) . Пусть () – область, ограниченная контуром (C). По формуле

Грина имеем

 

Q

 

P

 

 

 

 

P dx + Q dy =

∫∫ x

y

 

 

 

 

 

dxdy = 0

C

 

()14243

 

 

 

=0

в (

)

 

P dx + Q dy = 0 функции P( x, y)

C

y

(K)

()

(C) (D)

x

Рис. 3.22. К доказательству теоремы

и Q( x, y) – пара типа «β» в ( D) .

y (C)

(K1)

 

(K2)

x

Рис. 3.23. К замечанию

Замечание. Важно подчеркнуть, что доказанное утверждение верно при условии, что область ( D) – односвязная.

Действительно, если бы область ( D) была, например, двухсвязной с внешним контуром ( K1 ) и внутренним контуром ( K2 ) (см. рис. 3.23), то для конту-

ра (C), охватывающего контур ( K2 ) , мы имели бы:

 

 

 

 

P dx + Q dy +

P dx + Q dy =

∫∫

Q

P

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxdy = 0,

 

 

 

(C), обл. слева

( K2 ), обл. слева ( )

 

 

 

 

 

ибо

Q

P

= 0 всюду в ( D) , а значит, и в (

 

) (() – область, ограниченная

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

контурами (C) и ( K2 ) ). Значит,

P dx +Q dy + P dx + Q dy = 0 P dx +Q dy P dx + Q dy = 0

(C) ( K2 ) (C) ( K2 )

79

P dx +Q dy =

P dx + Q dy ( 0 , вообще говоря).

(C)

( K2 )

 

 

 

Значит, P( x, y) и Q( x, y) не есть пара типа «β» в ( D) .

 

Пример. Пусть P( x, y) =

 

y

, Q( x, y) = −

x

. Эти функции опре-

x2 + y2

x2 + y2

 

 

 

делены и непрерывны на плоскости Oxy всюду, за исключением точки O(0, 0) .

Имеем

P

=

x2 y2

;

Q

=

x2 y2

 

 

Q

=

P

всюду на плоско-

y

( x2 + y2 )2

x

( x2 + y2 )2

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сти Oxy , кроме точки O(0, 0) . Значит,

для любого замкнутого самонепересе-

кающегося контура (C), не охватывающего начала координат, будет:

 

 

 

P dx +Q dy =

 

y dx x dy

= 0 ,

 

 

 

 

 

 

x

2

+ y

2

 

 

 

 

 

 

(C)

 

 

 

(C)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так как P( x, y) и Q( x, y)

ром ( K ) (см. рис. 3.24).

y

(D) (C)

– пара типа «β» в области ( D) , ограниченной конту-

 

 

 

y

(K)

 

 

 

 

 

O

x

 

 

(K ) R

 

(C)

 

x

 

2

 

 

(K1)

 

 

 

Рис. 3.24. К примеру Рис. 3.25. К примеру

Пусть (C) – окружность радиуса R с центром в точке O(0, 0) . Вычислим

I =

y dx x dy

. Параметрическими уравнениями (C) будут:

x

2

+ y

2

(C)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = Rcos t,

t [0, 2π].

 

 

 

 

 

 

 

 

А тогда

 

 

 

 

y = Rsin t,

 

 

 

 

2π

 

 

2π

 

 

 

 

 

R2 sin2 t R2 cos2 t

 

 

 

I =

 

 

dt = − dt = −2π (0) .

 

 

 

R

2

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

P( x, y) и Q( x, y) в области ( D1 ) , ограниченной контуром ( K1 ), не есть пара типа «β», ибо нарушена непрерывность в точке O(0, 0) , расположенной внутри контура ( K1 ). Если же выключить точку O(0, 0) , окружив ее контуром

80