- •§ 21. Непрерывность функции
- •1. Основные определения.
- •4. Непрерывность сложной функции
- •5. Применение непрерывности функций при вычислении пределов
- •§22. Точки разрыва и их классификация
- •§23. Свойства непрерывных функций
- •1. Свойства функций, непрерывных в точке
- •2. Свойства функций, непрерывных на промежутке
- •§24. Непрерывность обратной функции
- •§25. Непрерывность элементарных функций
- •1. Определение элементарной функции.
- •2. Степенная функция.
- •3. Показательно- степенная функция
- •4. Гиперболические функции
- •5.Обратные тригонометрические функции
- •§26. Равномерная непрерывность функций
§23. Свойства непрерывных функций
1. Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна в точке x0, то она ограничена в некоторой окрестности V(x0) этой точки.
Доказательство.
Т.к. f(x) непрерывна в точке x0, то согласно определению существует . Следовательно, по теореме о том, что функция, имеющая предел в точке, ограничена в некоторой окрестности этой точки, получаем, что f(x) ограничена в V(x0).
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке x0 и (), то.
Доказательство.
Проведем доказательство для .
f(x) непрерывна в точке x0, значит, по определению . Тогда по определению предела функции в точке для числа >0выполнено. Тогда
. Прибавим ко всем частям неравенства , получим: xV(x0, ).
Случай доказывается аналогично.
2. Свойства функций, непрерывных на промежутке
Теорема 3. (первая теорема Больцано-Коши). Пусть f(x) непрерывна на [a;b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда существует точка c(a;b), такая, что f(c)=0.
Доказательство.
Пусть для определенности f(a)<0, f(b)>0, разделим отрезок [a;b] пополам точкой . Еслиf(c1)=0, то теорема доказана и c=c1.
Пусть f(c1)0. Если f(c1)<0, то на концах отрезка [c1;b] f(x) имеет значение разных знаков. Если f(c1)>0, то на концах отрезка [a;c1] функция имеет значение разных знаков. Обозначим через [a1;b1] ту половину [a;b], на концах которой функция принимает значения разных знаков f(a1)<0, f(b1)>0.
Разделим [a1;b1] пополам точкой . Еслиf(c2)=0, то c=c2 и теорема доказана. Если f(c2)0, то положим илив зависимости от того, на каком из отрезков функция принимает значения разных знаков. Получимf(a2)<0, f(b2)>0. Продолжим процесс деления далее. Возможны два случая:
После конечного числа шагов получим точку . Тогдаи теорема доказана.
В любой точке деления . В этом случае процесс деления продолжается бесконечно. В результате получим последовательность отрезков [a1;b1], [a2;b2], …[an;bn]…, которая является последовательностью вложенных отрезков.
. Длина n-го отрезка . Следовательно, по теореме о вложенных отрезках существует точка с принадлежащая всем отрезкам этой последовательности, при этом .
Так как по условию , тоf(x) непрерывна в точке c[a;b]. По определению по Гейне это означает:
, .
Так как .
Теорема 4 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть и на концах [a;b] принимает различные значения f(a)=A, f(b)=B, AB. Тогда, каково бы ни было число : A<<B, на (a;b) найдется точка с: f(c)=.
Доказательство.
Пусть A<B. Возьмем : A<<B. Рассмотрим вспомогательную функцию на [a;b], она непрерывна на [a;b] как разность двух непрерывных функций.
.
Значит, для на [a;b] выполняется условие первой теоремы Больцано-Коши. Следовательно, .
.
Данная теорема утверждает, что любое число, промежуточное между двумя значениями непрерывной функции, также является значением этой функции.
Первая теорема Больцано - Коши является частным случаем второй (с=0).
Следствие. Если функция f(x), заданная на некотором промежутке D, непрерывна на D, то совокупность ее значений f(D) также представляет собой некоторый промежуток.
Доказательство.
Обозначим (m и M могут быть числами или ). Тогда вf(D) не может быть y: y<m и y>M. Покажем что . Выберем. По определению нижней грани, по определению верхней грани.
Получим , то есть. Тогда по второй теореме Б.-К..
Mы получили, что .
Концы промежутка (m;M) могут как принадлежать, так и не принадлежать f(D), т.е. f(D) может быть интервалом (m;M), полуинтервалом [m;M), (m;M] или отрезком [m;M], т.е.
Теорема 5 (первая теорема Вейерштрасса). Если f(x) непрерывна на [a;b], то f(x) ограничена на [a;b].
Доказательство.
Предположим противное, что f(x) не ограничена на [a;b]. Пусть вначале f(x) не ограничена сверху на [a;b]. Это значит, что .
M=1 ,
M=2 ,
…………………….
M=n ,
……………………..
В результате получим последовательность (xn): , т.е.. Следовательно, (xn) ограничена, а .
По теореме Больцано - Вейерштрасса из ограниченной последовательности (xn) можно выделить сходящуюся подпоследовательность , . В точке с функция непрерывна, следовательно, - конечное число. С другой стороны,. Полученное противоречие доказывает, что предположение неверно, значит,f(x) ограничена сверху на [a;b].
Аналогично доказывается, что f(x) ограничена снизу на [a;b]. Следовательно, f(x) ограничена на [a;b].
Замечание. Теорема 5 справедлива только для отрезка.
Пример. , но не ограничена на нем:.
Действительно, .
1) , возьмем;
2) , возьмемх- любое из интервала(0;1), .
Пусть f(x) определена на множестве E.
Определение. Функция f(x) имеет в точке x0 наибольшее (наименьшее) значение на множестве E, если xE выполнено .
Еслиf(x) имеет на E наибольшее значение M, то ; еслиf(x) имеет на E наименьшее значение m, то . Обратное не всегда верно:f(x) может иметь верхнюю (нижнюю) грань, но не иметь наибольшего (наименьшего) значения.
Пример. .
,
но наибольшего и наименьшего значений нет.
Теорема 6 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то на этом отрезке она достигает своих нижней и верхней граней (или имеет наибольшее и наименьшее значения).
Доказательство.
Так как , тоf(x) ограничена на [a;b] (по первой теореме Вейерштрасса). Следовательно, , и х[a;b] .
Покажем, что f(x) достигает наибольшего значения M на [a;b], т.е. . От противного. Пусть. Рассмотрим вспомогательную функцию, непрерывную как частное двух непрерывных функций (M-f(x)0, т. к. f(x)<M). Следовательно, по первой теореме Вейерштрасса (х) ограничена на [a;b]. Значит, :х[a;b]
.
Получили, что число является верхней границей дляf(x), но это противоречит тому, что M – наименьшая верхняя граница функции f(x) (по определению sup). Таким образом, предположение неверно и, значит, .
Аналогично доказывается, что . Т.е. непрерывная на отрезке функция имеет наибольшее и наименьшее значения.
Замечание. Для интервалов и полуинтервалов вторая теорема Вейерштрасса не выполняется.
Например, , но не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Следствие 1. Если , то множеством ее значений будет [m;M], где .
Следствие 2. 1) Если f(x) непрерывна и возрастает на [a;b], то множеством ее значений будет .
2) Если f(x) непрерывна и убывает на [a;b], то множество ее значений будет .