Введение в анализ

Логические символы:

- квантор общности;

х – «для всех х» («для любого х», « для всякого х»);

- квантор существования;

х- «существует х»;

(  ) – «не существует»;

- следствие (из первого высказывания следует второе);

- равносильность утверждений, стоящих по разные стороны от знака ;

: ( | ) – « такой, что » («для которого»);

! – единственный.

§1. Действительные числа

1. Понятие действительного числа

Понятие числа прошло длинный путь развития. Вначале в связи с необходимостью подсчёта предметов возникли простейшие числа - натуральные ={1;2;3;4;…;n;…}. На действуют операции сложения и умножения, то есть m,n, m+n и mn.

Введение вычитания привело к расширению множества до– множествацелых чисел:={0;±1;±2;±3;…}.

Введение деления расширило множество целых чисел до множества рациональных чисел: =.

На множестве определены операции сложения, вычитания, умножения, деления (кроме деления на нуль).

- упорядоченное множество, то есть a,bлибоa<b, либо a>b.

- плотное множество, то есть a,b: a<b промежуточное рациональное числоc, то есть c: a<c<b (например: ).

Ясно, что a,b бесконечно много промежуточных рациональных чисел. не является непрерывным множеством (если отметить все рациональные числа точками на числовой оси, то на ней будут "дыры"- точки, которым не соответствует никакое рациональное число).

Необходимость решать задачи, неразрешимые на множестве , привело к возникновению идеи "дополнения" множества рациональных чисел. Например: в неразрешимо уравнение . То есть, нет такого рационального числа, квадрат которого равен 2 Для доказательства этого факта вначале введём определение. Два рациональных числаиназываютсяравными, если =. Поэтому каждое рациональное число можно единственнымобразом представить в виде несократимой дроби , гдеp и q - взаимно простые.

Утверждение. х :.

Доказательство.

Пусть :=. Пусть дробь- несократима (в противном случае её можно сократить). Из равенства (1)- чётное, то есть=(2). Тогда (подставим (2) в (1)):==- чётное- чётное. Получим, чтоиявляются четными, то есть дробьможно сократить. Полученное противоречие доказывает, что наше допущение неверно и не существует рационального числа, квадрат которого равен.

Число является иррациональным. Изобразим на числовой оси.

Существуют различные подходы к определению иррационального числа. Один из них через понятие бесконечной десятичной дроби. Любое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби: (=;==). Если число представимо в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, то оно являетсяиррациональным: (=1,414213…;=1,732050…; π=3,141592…;=2,71828…).

Определение 1. Множеством действительных чисел называется совокупность всех рациональных и иррациональных чисел: (I- множество иррациональных чисел).

Определение 2. Действительным числом называется любая бесконечная периодическая или непериодическая дробь.

Действительные числа изображаются точками на числовой прямой и заполняют всю прямую, без "дыр". Множество непрерывно.

Свойство непрерывности R. Пусть - произвольные множества изи и выполняется . Тогда и выполняется .