- •Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •§1. Метрические пространства. Пространство
- •§2. Понятие функции нескольких переменных
- •§3. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •2. Повторные пределы
- •3. Непрерывность функции n переменных
- •§4. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных
- •2. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных
- •§6. Производная по направлению. Градиент
- •1. Производная по направлению
- •2. Градиент
- •§7. Производные и дифференциалы высших порядков
- •1. Частные производные высших порядков
- •2. Дифференциалы высших порядков
- •3. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •§8. Неявные функции
- •1. Неявные функции одной переменной
- •2. Уравнения касательной и нормали к кривой
- •3. Неявные функции нескольких переменных
- •4. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
- •§ 9. Экстремум функции нескольких переменных
- •1. Понятие экстремума, необходимое и достаточное условия
- •2. Экстремум неявно заданной функции
- •3. Нахождение наибольших и наименьших значений
2. Повторные пределы
Для функций нескольких переменных наряду с обычным понятием предела функции (при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам) вводится понятие повторного предела, получаемого в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том или ином порядке. (Обычный предел функции n переменных называется n-кратным: двойным, тройным и т.д.)
Рассмотрим случай функции двух переменных. Пусть функция определена в области G. Пусть область G такова, что х может принимать (независимо от у) любые значения в некотором множестве Х, для которого х0 – предельная точка, а переменная у (независимо от х) изменяется на множестве Y. Тогда G можно символически обозначить G =XY. При фиксированном значении переменной у функция f(x;y) становится функцией одной переменной х. Если при фиксированном yY существует , то, вообще говоря, этот предел зависит от наперед зафиксированногоу: . Теперь можно рассматривать. Пусть он существует и равенА: =А. Тогда говорят, что в точке (х0;у0) существует повторный предел функции f(x;y)
. (1)
При этом называется внутренним пределом в повторном пределе (1).
Другой повторный предел
(2)
получится, если предельные переходы произвести в обратном порядке. В (2) внутренний предел - .
Повторные пределы (1) и (2) вовсе не обязательно равны.
Всякая перестановка двух предельных переходов по разным переменным должна быть обоснована. Одно из таких обоснований дает следующая теорема. Она также устанавливает связь между двойными и повторными пределами. Вообще говоря, из существования двойного предела не следует существование повторных пределов, и из существования повторных не следует существование двойного.
Теорема. Пусть в точке (х0;у0) существует (конечный или бесконечный) двойной предел , а такжеyY существует внутренний предел . Тогда существует повторный предел . Аналогично, если, ихХ существует внутренний предел , тосуществует повторный предел =А.
Если и оба внутренних предела, то существуют и оба повторных предела, и .
Замечание. Обратное утверждение неверно. Если существуют и равны оба повторных предела, то двойной не обязательно существует.
Пример 6. .
,
,
,
но не существует (см. пример 2).
3. Непрерывность функции n переменных
Определение 1. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке M0(x0;y0), если она определена в некоторой окрестности этой точки, и предел функции равен значению функции в этой точке:
. (1)
Аналогично определяется непрерывность в точке функции n переменных.
Обозначим х=х0+х, у=у0+у. Тогда (1) можно переписать с. о.:
или .
Величина называетсяполным приращением функции z=f(x,y) в точке (x0;y0). Т. о., получаем эквивалентное определение непрерывности функции в точке.
Определение 2. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке M0(x0;y0), если бесконечно малым приращениям аргументов х и у соответствует бесконечно малое полное приращение функции: .
Если переменную у0 оставить постоянной, а переменной х0 придать некоторое приращение х, то функция z=f(x,y) получит приращение , которое называетсячастным приращением функции z в точке (х0, у0) по переменной х. Аналогично, если переменная х0 остается постоянной, а у0 получает приращение у, то -частное приращение функции z в точке (х0,у0) по переменной у.
Для функций нескольких переменных вводится понятие непрерывности по каждой из независимых переменных.
Определение. Частным приращением функции u=f(x1,x2,…xn) в точке по переменной xj называется величина
.
Определение. Функция u=f(x1,x2,…,xn) называется непрерывной в точке М0 по переменной xj , если
.
Пример 1. Доказать, что функция
непрерывна в точке О(0;0) по каждой переменной х и у, но не является непрерывной по совокупности переменных.
Частное приращение функции по переменной х в точке О(0;0):
.
Следовательно, функция непрерывна в т. О(0;0) по переменной х.
Частное приращение функции по переменной у в точке О(0;0):
.
Следовательно, функция непрерывна в т. О(0;0) по переменной у.
Но функция не является непрерывной в т.О(0;0) по совокупности переменных, т.к. предел функции в этой точке не существует (см. пример 2 из п.2).
Определение. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Определение. Точка M0(x0;y0), в которой не выполняется условие непрерывности, называется точкой разрыва функции z=f(x;y).
Это может быть, например, в следующих случаях:
z=f(x;y) определена во всех точках некоторой окрестности точки М0, кроме самой точки М0;
функция непрерывна во всех точках V(М0), но не существует;
функция непрерывна во всех точках V(М0), и существует , но.
Пример 2. Найти точки разрыва функции .
Функция может иметь разрыв лишь в точках, где =0
Итак, данная функция имеет разрыв на прямых у=х, у=-х, х=2.