- •Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •§1. Метрические пространства. Пространство
- •§2. Понятие функции нескольких переменных
- •§3. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •2. Повторные пределы
- •3. Непрерывность функции n переменных
- •§4. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных
- •2. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных
- •§6. Производная по направлению. Градиент
- •1. Производная по направлению
- •2. Градиент
- •§7. Производные и дифференциалы высших порядков
- •1. Частные производные высших порядков
- •2. Дифференциалы высших порядков
- •3. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •§8. Неявные функции
- •1. Неявные функции одной переменной
- •2. Уравнения касательной и нормали к кривой
- •3. Неявные функции нескольких переменных
- •4. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
- •§ 9. Экстремум функции нескольких переменных
- •1. Понятие экстремума, необходимое и достаточное условия
- •2. Экстремум неявно заданной функции
- •3. Нахождение наибольших и наименьших значений
2. Уравнения касательной и нормали к кривой
Пусть дано уравнение (1) F(x;y)=0, и для функции F(x;y) в окрестности точки (х0;y0) выполнены условия теоремы 1. Тогда в окрестности точки х0 V(х0) уравнение (1) задает функцию у=f(х), определенную, непрерывную и дифференцируемую в некоторой окрестности точки х0 и f(х0)=y0. Графиком этой функции является некоторая кривая. Так как существует , то существует касательная и нормаль к кривой (1).
Для функции y=f(x) уравнение касательной точке х0 имеет вид:
, (3)
нормали: . (4)
Из теоремы 1 следует . (5)
Подставляя (5) в (3), (4), получим
–уравнение касательной;
или
–уравнение нормали.
3. Неявные функции нескольких переменных
Пусть дано уравнение . (6)
- функция (n+1)-й переменной. Если в каждой точке существует единственное значениеy, которое совместно с x удовлетворяет уравнению (13), то уравнение (13) на множестве G определяет функцию n переменных , (7)
и имеет место тождество наG.
Теорема 2 (достаточное условие существования и дифференцируемости неявной функции n переменных). Пусть функция F и ее частные производные непрерывны в некоторой окрестности точки, и пусть, а . Тогда уравнение (13) определяет функцию определенную, непрерывную и дифференцируемую в некоторой окрестности точки, причем, а частные производныенаходятся по формулам:
.
Рассмотрим частный случай. Пусть на дано уравнение
F(x;y;z)=0. (8)
Пусть это уравнение определяет неявную функцию z=f(x;y), дифференцируемую на , т.е. справедливо тождество (9)F(x;y;f(x;y))0. Правая часть (9) – сложная функция отх и у. в силу условий теоремы 2 (существуют непрерывные ) эта функция дифференцируема наD. Дифференцируя (9) по x, получим:
.
Отсюда . (10)
Дифференцируя (9) по y, получим:
.
Отсюда . (11)
Пример 2. Пусть уравнение определяет функциюz=f(x;y). Найти
.
По формулам (10), (11):
,
,
.
Подставляя сюда выражение для и заменяя z на f(x;y), найдем .
Тогда .
4. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
Пусть уравнение (8) F(x;y;z)=0 определяет поверхность. Тогда (8) называется уравнением поверхности.
Пусть в окрестности (x0;y0;z0) выполняется условия теоремы 2. Тогда в окрестности точки (x0;y0) определена функция z=f(x;y), дифференцируемая в этой окрестности. Тогда поверхность z=f(x;y) имеет касательную плоскость и нормаль в точке (x0;y0).
–уравнение касательной плоскости,
–уравнение нормали.
Так как , то
–
уравнение касательной плоскости,
–уравнение нормали.
Неявные функции могут определяться системой функциональных уравнений.
§ 9. Экстремум функции нескольких переменных
1. Понятие экстремума, необходимое и достаточное условия
Пусть функция z=f(x;y) задана в некоторой окрестности точки M0(x0;y0) V(M0).
Определение 1. Функция z=f(x;y) имеет в точке M0(x0;y0) строгий максимум (строгий минимум), если , такая, чтовыполнено неравенствоf(x;y)<f(х0;y0) (f(x;y)>f(х0;y0)).
Определение 2. Функция z=f(x;y) имеет в точке M0(x0;y0) максимум (минимум), если , такая, чтовыполнено неравенствоf(x;y)f(х0;y0) (f(x;y)f(х0;y0)).
Определение 3. Функция z=f(x;y) имеет в точке M0(x0;y0) (строгий) экстремум, если она имеет в этой точке (строгий) максимум или (строгий) минимум.
Точку М0 называют точкой (строгого) экстремума, а значение функции в ней, т.е. f(M0) – (строгим) экстремумом.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Пусть функция z=f(x;y) достигает экстремума в точке M0(x0;y0). Если в этой точке существуют частные производные и , то они в этой точке равны нулю, то есть =0и =0.
Доказательство.
Пусть z=f(x;y) имеет в точке M0(x0;y0) максимум. Тогда , такая, чтовыполнено
f(x;y)f(х0;y0). (1)
Рассмотрим точки окрестности V(M0), для которых y=y0. На этом множестве точек, т.е. на , функцияf(x;y) превращается в функцию f(x;y0) одной переменной х. Из (1) следует, что f(x;y0)f(х0;y0) . Это означает, что функция одной переменной f(x;y0) имеет в точке х0 максимум. По условию . Она совпадает с в точке х0, т.е =. На основании необходимого условия экстремума функции одной переменной =0. Следовательно, =0.
Аналогично, рассмотрим точки окрестности V(M0), для которых х=х0. На этом множестве точек, функция f(x;y) становится функцией f(x0;y) одной переменной у. Из (1) следует, что f(x0;y)f(х0;y0) . Значит, функция одной переменной f(x0;y) имеет в точке у0 максимум. По необходимому условию экстремума функции одной переменной =0. Следовательно, =0.
Замечание. Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке (х0;y0), то условие равносильно условиюdf(х0;y0)=0.
Следствие. Если функция z=f(x;y) имеет экстремум в точке (х0;y0) и дифференцируема этой точке, то df(х0;y0)=0.
Определение 3. Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками функции z=f(x;y).
Определение 4. Точки, в которых частные производные равны нулю (или не существуют) называются критическими точками функции z=f(x;y).
Из теоремы 1 и определения 3 следует, что если функция дифференцируема, то точки экстремума являются стационарными точками. Обратное неверно. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.
Пример. Рассмотрим функцию z=f(x;y)=x2-y2, f(0;0)=0.
, (0;0) – стационарная точка.
Рассмотрим . На оси Ох f(x;0)=x2>0, на оси Оу f(0;y)=-y2<0. Следовательно, в любой окрестности есть значения функции, как большиеf(0;0)=0, так и меньшие f(0;0)=0. Значит, точка (0;0) не может быть точкой экстремума.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума).(без доказательства)
Пусть функция z=f(x;y) определена и имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М0(x0;y0) V(x0;y0). Пусть М0(x0;y0) - стационарная точка, то есть и . Обозначим
.
Тогда
1) если то z=f(x;y) имеет в точке М0(x0;y0) экстремум, причем при A<0 (C<0)- локальный максимум, при - локальный минимум;
2) если , то точка М0(x0;y0) не является точкой экстремума;
3) если , то никакого заключения о характере стационарной точки сделать нельзя, требуются дополнительные исследования.
Теорема 3.Пусть df(х0;y0)=0. Если d2f(х;y) сохраняет знак в некоторой достаточно малой окрестности точки (х0;y0), то в этой точке функция имеет строгий экстремум, причем, если d2f(х0;y0)<0, то строгий максимум, а если d2f(х0;y0)>0, то строгий минимум.
В таком виде достаточное условие экстремума переносится на случай функций любого числа переменных.
Пример 1. Исследовать функцию f(x;y)=xy(a-x-y), a>0 на экстремум.
.
Найдем стационарные точки.
fx=y(a-x-y)-xy=y(a-2x-y), fy=x(a-x-y)-xy=x(a-x-2y)
Стационарные точки: О(0;0), М(а;0), N(0;a), .
Проверим, являются ли они точками экстремума.
, ,.
О(0;0): А=0, В=а, С=0, АС-В2=0-а2<0 экстремума нет;
М(а;0): А=0, В=-а, С=-2а, АС-В2=0-а2<0 экстремума нет;
N(0;a): А=-2a, В=-а, С=0, АС-В2=0-а2<0 экстремума нет;
: , , ,
К – точка экстремума, т.к. A<0, то - точка максимума.