- •III. Приложения определённого интеграла
- •§1. Площадь плоской фигуры
- •3. Условия квадрируемости фигур
- •4. Кривые с нулевой площадью
- •5. Свойства площади
- •6. Вычисление площади плоской фигуры
- •I. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах
- •II. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями
- •III. Площадь в полярных координатах
- •§2. Кубируемые тела и их объёмы
- •1. Понятие кубируемого тела и его объема
- •2. Объём прямого цилиндрического тела
- •3. Вычисление объёма тела вращения
- •§3. Вычисление длины гладкой кривой
- •1. Понятие спрямляемой кривой и её длины
- •2. Вычисление длины гладкой кривой
- •§4. Площадь поверхности
III. Приложения определённого интеграла
Лк (2ч)
§1. Площадь плоской фигуры
Понятие границы множества и плоской фигуры
Пусть - координатная плоскость, то есть плоскость с фиксированной прямоугольнойсистемой координат, а - множество пар действительных чисел: . Междуи можно установить взаимно – однозначное соответствие:
.
В силу этого точки,, а такжеи будем отождествлять, то есть .
Определение 1. Открытым кругом с центром в точке и радиусомr называется множество точек
.
Для числовой прямой открытый круг – интервал.
Определение 2. - окрестностью точки называется открытый круг радиуса с центром в точке .
Обозначается .
Пусть E - некоторое множество, ( или).
Определение 3. Точка называетсявнутренней точкой множества E , если некоторая - окрестность этой точки принадлежит Е (т. е. Е).
Определение 4. Точка называетсявнешней точкой множества E, если некоторая - окрестность точки не принадлежитЕ (т. е. Е).
Определение 5. Точка называетсяграничной точкой множества E, если любая -окрестность точки содержит точки, принадлежащие множествуE, и точки, не принадлежащие Е (т.е. выполненои, где).
Другими словами, граничная точка множества – это точка, которая не является ни внутренней, ни внешней точкой этого множества. Граничная точка множества E может, как принадлежать, так и не принадлежать E.
Определение 6. Совокупность всех граничных точек множества E называется границей множества E и обозначается .
Пример.Рассмотрим - прямоугольник.
, Е А – внутренняя точка множества Е;
, Е В – внешняя точка множества Е;
, - граничные точки множестваЕ.
Определение 7. Множество E называется открытым, если его граница ему не принадлежит.
Определение 7 (эквивалентно определению 7). Множество E называется открытым, если все его точки – внутренние.
Определение 8. Множество E называется замкнутым, если его граница ему принадлежит.
Определение 9. Множество E называется ограниченным, если его можно заключить в круг радиуса .
Определение 10. Плоской фигурой F называется ограниченное множество точек из .
Границу фигуры F обозначают .
Понятие квадрируемой фигуры и её площади
Определение 11. Многоугольной фигурой на плоскости называется объединение конечного числа лежащих на этой плоскости ограниченных многоугольников.
(Состоит из двух частей)
Понятие площади такой фигуры даётся в средней школе. Площадь многоугольной фигуры P будем обозначать . Она обладает следующими свойствами:
.
Если P и P не имеют общих внутренних точек, то .
(инвариантность) Если , то
(монотонность) Если , то.
Пусть- произвольная плоская фигура, граница которой состоит из одной или нескольких простых замкнутых кривых. Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры Р, целиком содержащиеся в F, и многоугольные фигуры Q, целиком содержащие F. Многоугольные фигуры P называются вписанными, а Q - описанными.
(из 4 свойства).
Рассмотрим множества и.
Покажем, что ограничено сверху, а– снизу.
Фиксируем . Тогда, значит, множествоограничено сверху., следовательно, множествоограниченно снизу. Значит,имеет верхнюю грань, а– нижнюю. Обозначим
, .
Величина называетсянижней площадью, -верхней площадью фигуры F.
(1).
Определение 12. Плоская фигура называется квадрируемой (или имеющей площадь), если её верхняя площадь совпадает с нижней площадью. При этом число называетсяплощадью фигуры .