- •I. Числовые ряды
- •§1. Основные понятия
- •1. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды
- •2. Остаток сходящегося ряда
- •3. Свойства сходящихся рядов
- •4. Необходимое условие сходимости ряда
- •§ 2. Положительные ряды
- •§3. Сходимость произвольных рядов (Критерий Коши сходимости числового ряда)
- •§4. Знакопеременные ряды
- •1. Абсолютная и условная сходимость
- •2. Свойства сходящихся рядов
- •3. Признаки абсолютной сходимости рядов
- •§5. Знакочередующиеся ряды
- •1. Признак Лейбница
- •2. Оценка остатка ряда Лейбница.
§3. Сходимость произвольных рядов (Критерий Коши сходимости числового ряда)
Признаки сравнения, признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши являются достаточными условиями сходимости положительных рядов. Было сформулировано необходимое и достаточное условие сходимости положительных рядов. А для произвольных рядов – только необходимое условие. Теперь мы рассмотрим необходимое и достаточное условие сходимости произвольных рядов. На практике им пользоваться неудобно. Оно больше пригодится в теории.
Вопрос о сходимости числового ряда – это фактически вопрос о существовании конечного предела последовательности его частичных сумм. Напомним поэтому необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности.
Определение. Последовательность называетсяфундаментальной, если выполнено(*)
Замечание. Пусть . Тогда. Следовательно, определение фундаментальной последовательности можно сформулировать таким образом:
последовательность называетсяфундаментальной, если выполнено.
Теорема 1 (критерий Коши сходимости числовой последовательности). Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
Теорема 2 (критерий Коши сходимости числового ряда). Для того чтобы числовой ряд сходился необходимо и достаточно, чтобывыполнено
(1).
Справедливость этого утверждения следует из определения сходимости ряда и теоремы 1.
§4. Знакопеременные ряды
1. Абсолютная и условная сходимость
Определение. Знакопеременным называется числовой ряд, членами которого являются действительные числа любого знака
.
(то есть в знакопеременном ряду – бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов).
Наряду с рядом рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов:
.
Определение. Ряд называетсяабсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов.
Теорема 3. Если сходится ряд из модулей , то сходится и ряд.
Замечание. Всякий положительный сходящийся ряд сходится абсолютно. Всякий отрицательный сходящийся ряд сходится абсолютно. (Члены ряда умножим на (-1), от этого сходимость не изменится). Если в сходящемся ряде конечное число отрицательных или положительных членов, то он также абсолютно сходится (эти члены отбрасываются).
Пример. .
Δ Рассмотрим ряд из модулей . Он сходится при. Следовательно, данный ряд абсолютно сходится при.Δ
Как видим из последней теоремы, если ряд сходится абсолютно, то он и просто сходится.
Бывают случаи, когда ряд сходится, а ряд из модулей его членов расходится.
Определение. Ряд называетсяусловно (неабсолютно) сходящимся, когда он сходится, а ряд из модулей его членов расходится.
2. Свойства сходящихся рядов
Сочетательное свойство
Понятие суммы бесконечного ряда существенно отличается от понятия суммы конечного числа слагаемых тем, что включает в себя предельный переход. В некоторых случаях привычные нам свойства конечных сумм нарушаются.
Рассмотрим сходящийся ряд
(А).
Будем объединять члены ряда (А) произвольным образом в группы, не меняя при этом их расположения:
(1)
Здесь - некоторая возрастающая последовательность номеров.
Теорема 4. Ряд, составленный из сумм (1) сходящегося ряда (А):
всегда сходится и имеет ту же сумму , что и ряд (А).
То есть сходящийся ряд обладает сочетательным свойством.
Здесь есть аналогия с конечными суммами. Но она нарушается, если применять сочетательное свойство в обратном порядке.
Если дан сходящийся ряд , каждый член которого представляет собой сумму конечного числа слагаемых, то опустив скобки, мы получим новый ряд (А), который может оказаться расходящимся.
Например, ряд (1-1)+(1-1)+…+(1-1)+… сходится, а ряд, полученный из него опусканием скобок: расходится.
Конечно, если, опустив скобки, мы получим сходящийся ряд (А), то его сумма будет та же, что и у ряда .
Переместительное свойство
Пусть дан сходящийся ряд (А), S - его сумма. Если представить члены ряда произвольным образом, то получим новый ряд
.
Каждый член ряда тождественен определенному членуисходного ряда.
Теорема 5 (Дирихле). Если ряд (А) абсолютно сходится, то ряд , полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.
То есть абсолютно сходящийся ряд обладает переместительным свойством.
Заметим, что условно сходящиеся ряды переместительным свойством не обладают.
Теорема 6 (Римана). Если ряд (А) сходится условно, то какое бы ни взять наперед число L, конечное или равное , можно так представить члены в этом ряде, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именноL.
Пример. Δ Рассмотрим условно сходящийся ряд
(условную сходимость докажем позже). Обозначим его сумму S.
Переставим члены ряда таким образом: за первым членом ряда поместим два отрицательных, взятых в порядке их следования в данном ряде; потом – второй положительный, а затем опять два отрицательных и так далее. Получим ряд:
Покажем, что после перестройки ряд остался сходящимся, но его сумма стала .
Для этого рассмотрим частичную сумму ряда с номером кратным 3:
,
где - частичная суммачленов ряда (А).
Так как , то.
Частичные суммы с номерами не делящимися на 3 можно записать следующим образом:
.
Следовательно, .
Поэтому и . Значит, ряд, в котором переставили члены, сходится и его сумма в два раза меньше суммы исходного ряда. Δ
Умножение рядов
Пусть даны два сходящихся ряда:
(А) (В)
При умножении рядов все возможные парные произведения, получаемые при умножении каждого члена первого ряда на каждый член второго ряда, можно записывать в виде бесконечной (направо и вниз) прямоугольной матрицы:
Эти произведения можно многими способами располагать в виде последовательности. Например, можно выписывать их по диагонали (так впервые сделал Коши):
(АВ)
Теорема 7. Если оба ряда (А) и (В) сходятся абсолютно, и имеют суммы и, то их произведение (то есть ряд, составленный из произведенийзанумерованных в любом порядке) также абсолютно сходится, при этом его сумма равна.
Отметим, другой способ нумерации произведений по квадратам: