Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Госы 5к Надя / лекции_2 / числ_ряды.doc
Скачиваний:
57
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
1.05 Mб
Скачать

§3. Сходимость произвольных рядов (Критерий Коши сходимости числового ряда)

Признаки сравнения, признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши являются достаточными условиями сходимости положительных рядов. Было сформулировано необходимое и достаточное условие сходимости положительных рядов. А для произвольных рядов – только необходимое условие. Теперь мы рассмотрим необходимое и достаточное условие сходимости произвольных рядов. На практике им пользоваться неудобно. Оно больше пригодится в теории.

Вопрос о сходимости числового ряда – это фактически вопрос о существовании конечного предела последовательности его частичных сумм. Напомним поэтому необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности.

Определение. Последовательность называетсяфундаментальной, если выполнено(*)

Замечание. Пусть . Тогда. Следовательно, определение фундаментальной последовательности можно сформулировать таким образом:

последовательность называетсяфундаментальной, если выполнено.

Теорема 1 (критерий Коши сходимости числовой последовательности). Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Теорема 2 (критерий Коши сходимости числового ряда). Для того чтобы числовой ряд сходился необходимо и достаточно, чтобывыполнено

(1).

Справедливость этого утверждения следует из определения сходимости ряда и теоремы 1.

§4. Знакопеременные ряды

1. Абсолютная и условная сходимость

Определение. Знакопеременным называется числовой ряд, членами которого являются действительные числа любого знака

.

(то есть в знакопеременном ряду – бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов).

Наряду с рядом рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов:

.

Определение. Ряд называетсяабсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов.

Теорема 3. Если сходится ряд из модулей , то сходится и ряд.

Замечание. Всякий положительный сходящийся ряд сходится абсолютно. Всякий отрицательный сходящийся ряд сходится абсолютно. (Члены ряда умножим на (-1), от этого сходимость не изменится). Если в сходящемся ряде конечное число отрицательных или положительных членов, то он также абсолютно сходится (эти члены отбрасываются).

Пример. .

Δ Рассмотрим ряд из модулей . Он сходится при. Следовательно, данный ряд абсолютно сходится при.Δ

Как видим из последней теоремы, если ряд сходится абсолютно, то он и просто сходится.

Бывают случаи, когда ряд сходится, а ряд из модулей его членов расходится.

Определение. Ряд называетсяусловно (неабсолютно) сходящимся, когда он сходится, а ряд из модулей его членов расходится.

2. Свойства сходящихся рядов

Сочетательное свойство

Понятие суммы бесконечного ряда существенно отличается от понятия суммы конечного числа слагаемых тем, что включает в себя предельный переход. В некоторых случаях привычные нам свойства конечных сумм нарушаются.

Рассмотрим сходящийся ряд

(А).

Будем объединять члены ряда (А) произвольным образом в группы, не меняя при этом их расположения:

(1)

Здесь - некоторая возрастающая последовательность номеров.

Теорема 4. Ряд, составленный из сумм (1) сходящегося ряда (А):

всегда сходится и имеет ту же сумму , что и ряд (А).

То есть сходящийся ряд обладает сочетательным свойством.

Здесь есть аналогия с конечными суммами. Но она нарушается, если применять сочетательное свойство в обратном порядке.

Если дан сходящийся ряд , каждый член которого представляет собой сумму конечного числа слагаемых, то опустив скобки, мы получим новый ряд (А), который может оказаться расходящимся.

Например, ряд (1-1)+(1-1)+…+(1-1)+… сходится, а ряд, полученный из него опусканием скобок: расходится.

Конечно, если, опустив скобки, мы получим сходящийся ряд (А), то его сумма будет та же, что и у ряда .

Переместительное свойство

Пусть дан сходящийся ряд (А), S - его сумма. Если представить члены ряда произвольным образом, то получим новый ряд

.

Каждый член ряда тождественен определенному членуисходного ряда.

Теорема 5 (Дирихле). Если ряд (А) абсолютно сходится, то ряд , полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

То есть абсолютно сходящийся ряд обладает переместительным свойством.

Заметим, что условно сходящиеся ряды переместительным свойством не обладают.

Теорема 6 (Римана). Если ряд (А) сходится условно, то какое бы ни взять наперед число L, конечное или равное , можно так представить члены в этом ряде, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именноL.

Пример. Δ Рассмотрим условно сходящийся ряд

(условную сходимость докажем позже). Обозначим его сумму S.

Переставим члены ряда таким образом: за первым членом ряда поместим два отрицательных, взятых в порядке их следования в данном ряде; потом – второй положительный, а затем опять два отрицательных и так далее. Получим ряд:

Покажем, что после перестройки ряд остался сходящимся, но его сумма стала .

Для этого рассмотрим частичную сумму ряда с номером кратным 3:

,

где - частичная суммачленов ряда (А).

Так как , то.

Частичные суммы с номерами не делящимися на 3 можно записать следующим образом:

.

Следовательно, .

Поэтому и . Значит, ряд, в котором переставили члены, сходится и его сумма в два раза меньше суммы исходного ряда. Δ

Умножение рядов

Пусть даны два сходящихся ряда:

(А) (В)

При умножении рядов все возможные парные произведения, получаемые при умножении каждого члена первого ряда на каждый член второго ряда, можно записывать в виде бесконечной (направо и вниз) прямоугольной матрицы:

Эти произведения можно многими способами располагать в виде последовательности. Например, можно выписывать их по диагонали (так впервые сделал Коши):

(АВ)

Теорема 7. Если оба ряда (А) и (В) сходятся абсолютно, и имеют суммы и, то их произведение (то есть ряд, составленный из произведенийзанумерованных в любом порядке) также абсолютно сходится, при этом его сумма равна.

Отметим, другой способ нумерации произведений по квадратам:

Соседние файлы в папке лекции_2