Госы 5к Надя / ДУ / Лекция 3
.docЛекция №3
7. Уравнения в полных дифференциалах.
Вопросы:
1. Понятие дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Необходимое и достаточное условие того, что уравнение является уравнениям в полных дифференциалах.
2. Уравнения, сводящиеся к уравнениям в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Частные случаи нахождения интегрирующего множителя.
3. Уравнения Лагранжа и Клеро.
Запишем уравнение в дифференциальной форме
. (1)
Если левая часть уравнения (1) является полным дифференциалом некоторой функции , т.е.
,
то уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах.
Так как уравнение в полных дифференциалах можно записать в виде
,
то его общим интегралом будет
.
В общем случае определить является ли дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах трудно. Укажем признак, позволяющий ответить на этот вопрос, а также один из способов нахождения функции .
Предположим, что в уравнении (1) функции и непрерывны в некоторой односвязной области G, например, в прямоугольнике с центром в заданной точке , и не обращаются одновременно в нуль в этой точке. Кроме того, предположим, что в области G существуют непрерывные частные производные и .
Теорема. Для того чтобы при сделанных предположениях относительно функций и уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в области G выполнялось тождество
. (2)
Доказательство. Докажем необходимость условия (2). Пусть уравнение (1) – уравнение в полных дифференциалах. Тогда
,
так что
, . (3)
Дифференцируя тождества (3) соответственно по у и по х, получим
, .
Но в силу непрерывности частных производных и правые части тождеств равны по теореме Шварца о смешенных производных, а, следовательно, равны и левые части, т.е. имеет место тождество (2).
Докажем теперь достаточность условия (2). Пусть это условие выполнено. Покажем, что тогда можно найти такую функцию , чтобы выполнялось равенство , или равносильные ему тождества (3).
Выберем сначала функцию так, чтобы она удовлетворяла первому из условий (3). Т.е. в качестве функции можно выбрать
, (4)
где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция от у.
Определим функцию так, чтобы функция удовлетворяла и второму условию из (3), т.е. чтобы частная производная по у от функции, стоящей в правой части формулы (4), была тождественно равна функции . Для этого достаточно потребовать, чтобы удовлетворяла условию
.
Заметим, что
.
Поэтому
или
,
откуда
.
Подставляя найденное значение в формулу (4), получим искомую функцию в виде
.
Теорема доказана.
Подставляя найденную функцию в формулу и полагая , получим общий интеграл уравнения (1) в виде
. (5)
Пример. Рассмотрим уравнение .
Решение. Здесь , , так что условие (2) выполнено и, следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Применяя формулу (5) при , получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения в виде
или
.
В некоторых, правда весьма редких, случаях, когда уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах, все же удается подобрать функцию , после умножения на которую левая часть (1) превращается в полный дифференциал
.
Такая функция называется интегрирующим множителем. Из определения интегрирующего множителя имеем
или
,
,
откуда
,
. (6)
Таким образом, для нахождения интегрирующего множителя мы получили уравнение в частных производных.
Отметим некоторые частные случаи, когда удается сравнительно легко найти решение уравнения (6), т.е. найти интегрирующий множитель.
1. . Тогда и уравнение (6) примет вид
.
Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от у, необходимо и достаточно, чтобы правая часть последнего равенства была функцией только от х.
Пример. Рассмотрим уравнение .
Решение. Здесь , .
Имеем .
Следовательно,
, , , .
Уравнение
есть уравнение в полных дифференциалах. Решите это уравнение самостоятельно.
2. Аналогично , если . Тогда и уравнение (6) примет вид
,
.
Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от х, необходимо и достаточно, чтобы правая часть последнего равенства была функцией только от у.
Пример. .
Решение. Здесь , . Имеем
.
Следовательно,
, , .
Уравнение
является уравнением в полных дифференциалах. Решите это уравнение самостоятельно.
8. Уравнения Лагранжа и Клеро.
Уравнение вида
, (7)
линейные относительно х и у, называется уравнением Лагранжа.
Уравнение (7) может быть проинтегрировано путем введения параметра . Действительно,
, .
Но и, следовательно,
или
.
В результате мы получили линейное по отношению к х и уравнение, которое легко может быть проинтегрировано методом вариации постоянной. Интеграл этого линейного уравнения совместно с уравнением
определяет интегральные кривые исходного уравнения.
Пример. Проинтегрировать уравнение
.
Решение. Полагаем . Тогда .
Дифференцируя, находим
,
откуда или .
Получили уравнение 1-го порядка, линейное относительно х. Решая его, находим
,
,
.
Подставляя найденное значение х в выражение для у, окончательно получим
,
,
Интересный частный случай возникает, если в уравнении Лагранжа , т.е. когда уравнение имеет вид
. (8)
Уравнение, имеющее вид (8) называется уравнением Клеро.
Полагая , получим
и, дифференцируя, найдем: или , откуда
1. , или 2. .
Общее решение уравнения Клеро имеет вид
.
Уравнение Клеро может иметь еще особое решение, которое получается исключением р из уравнений , .
Пример. Проинтегрировать уравнение
, .
Решение. Полагая , получим
.
Дифференцируя последнее уравнение и заменяя на , найдем
,
откуда
.
Исследуем оба множителя левой части последнего уравнения. Приравнивая к нулю первый множитель, получим
,
откуда и общее решение исходного уравнения есть
.
Приравнивая к нулю второй множитель, будем иметь
.
Исключая р из этого уравнения и из уравнения , получим - особое решение исходного уравнения.